Как пользоваться логарифмической линейкой

Общее использование

Отметки на линейках расположены в логарифмической шкале для умножения или деления чисел путем добавления или вычитания длин на шкалах.

Две логарифмические шкалы логарифмической линейки

Ниже приведены примеры обычно используемых логарифмических шкал, где большее количество приводит к более высокому значению:

Шкала магнитуд Рихтера и шкала моментных магнитуд (MMS) для силы землетрясений и движения на Земле

Логарифмический масштаб позволяет легко сравнивать значения, охватывающие большой диапазон, например, на этой карте.
Уровень шума , с блоками децибел
Непер для величин амплитуды, поля и мощности
Уровень частоты с единицами измерения цент , второстепенная секунда , большая секунда и октава для относительной высоты звука нот в музыке.
Логит для шансов в статистике
Шкала опасности технических воздействий Палермо
Логарифмическая шкала времени
Подсчет f-ступеней для соотношений фотографической экспозиции
Правило девяток, используемое для оценки низкой вероятности
Энтропия в термодинамике
Информация в теории информации
Кривые гранулометрического состава почвы

Карта Солнечной системы и расстояния до Альфы Центавра в логарифмическом масштабе.

Ниже приведены примеры обычно используемых логарифмических шкал, где большее количество приводит к более низкому (или отрицательному) значению:

pH для кислотности
Шкала звездной величины яркости звезд
Шкала Крамбейна для размера частиц в геологии
Поглощение света прозрачными образцами

Некоторые из наших чувств действуют логарифмически ( закон Вебера-Фехнера ), что делает логарифмические шкалы для этих входных величин особенно подходящими. В частности, наш слух воспринимает равные отношения частот как равные различия в высоте тона. Кроме того, исследования маленьких детей в изолированном племени показали, что логарифмические шкалы являются наиболее естественным отображением чисел в некоторых культурах.

Использовать

Прирост населения Англии нанесен на логарифмическую шкалу (1,67 десятилетия).

Правило слайда имеет преимущество свойств логарифмической шкалы , чтобы умножение.

Графики в полулогарифмической системе отсчета используются для отображения эволюции величин, одна из которых имеет линейную эволюцию (в общем, независимую переменную на оси x), а другая — экспоненциальную эволюцию.

Пример: динамика цен:

В экономике стоимость международных валют , запасов , товаров и других торговых продуктов, подверженных инфляции цен, записывается в логарифмической шкале на оси Y, а время — на оси Y. Линейно по оси x -ось.

Пример: частотная характеристика:

В электронике , то частотная характеристика системы, и , в частности из фильтра , как правило , представлена на полу-логарифмической диаграмму, с логарифмической шкалой для частот на осях абсцисс и линейный масштаб по оси ординат, закончил в децибелах , относительный к напряжению, полученному на определенной частоте (например, 1000 Гц ).

Поскольку децибелы являются логарифмической единицей, с точки зрения электрического напряжения или отношений напряжений , масштаб также является логарифмическим, что позволяет на диаграмме Боде построить асимптотические графики в виде прямых линий.

Графики в логарифмической метке на обеих осях подходят для размеров, включающих обе независимые переменные, поскольку зависимая переменная может принимать очень разные значения. Когда один из них пропорционален высоте другого в степени , график рисует линию, наклон которой пропорционален показателю степени.

Конструкция лестницы

Мы знаем минимальное x _min и максимальное x _max значения, которые должны быть представлены, и длину l шкалы между этими двумя значениями.

Длина l соответствует умножению на r = x _max ÷ x _min .

Точка, размещенная в середине, находится на одинаковом расстоянии x _min и x _max . Значение, соответствующее средней точке, является средним геометрическим из крайних значений .
Иксмянет×ИксмвИкс{\ displaystyle {\ sqrt {x_ {min} \ times x_ {max}}}}

Вместо того, чтобы вычислять это шаг за шагом, мы используем фундаментальное свойство логарифмов:

журнал ( a × b ) = журнал ( a ) + журнал ( b )

Мы можем вычислить отношения значений благодаря экспоненциальной функции , которая является обратной функцией логарифмической функции.

Чтобы масштабировать ось в соответствии с вашими потребностями, вы можете рассчитать соотношение стоимости на единицу длины на оси. Логарифм прогрессии на единицу длины получается простым делением: log ( r ) ÷ l, а значение прогрессии равно r 1 / l .

Таким образом, если мы разделим расстояние l на n равных сегментов, отношение значений, которое соответствует каждому сегменту, составит r 1 / n . Общая длина, соответствующая разнице между x _min и x _max , таким образом, хорошо соответствует умножению на r , в то время как длина каждого сегмента соответствует умножению на ту же величину.

Точки, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга, обозначают значения в геометрической прогрессии .

Пример построения логарифмической шкалы:

Минимальное значение: 0,1
Максимальное значение: 100
относительное отклонение: r = 100 ÷ 0,1 = 1000
длина оси: 600 пикселей

Мы хотим, чтобы были указаны числа, кратные 10. Для отношения 1000 есть три умножения на 10, что соответствует трем модулям длиной 600 ÷ 3 = 200 пикселей.

В этих модулях мы хотим указать расположение каждого значения от 2 до 9.

Умножение на 2 соответствует расстоянию между 0,1 и 0,2, 1 и 2, 10 и 20. Соответствующая длина получается по правилу трех логарифмов :, что дает 60,2 пикселя.600×бревно⁡(2)бревно⁡(1000){\ displaystyle {\ frac {600 \ times \ log (2)} {\ log (1000)}}}
Точно так же умножение на 3 дает 95,4 пикселя между 0,1 и 0,3, 1 и 3 и 10 и 30. Очевидно, мы должны округлить.600×бревно⁡(3)бревно⁡(1000){\ displaystyle {\ frac {600 \ times \ log (3)} {\ log (1000)}}}
Их кратные числа легко получить: расстояние между 1 и 4 — это расстояние между двумя умножениями на два, то есть 120,4 пикселя; от 1 до 8, то есть от трех умножений на два, то есть 180,6; от 1 до 6 — умножение на три и умножение на два, то есть 95,4 + 60,2 = 155,6 пикселей; а между 1 и 9 — два умножения на 3, то есть 190,8 пикселей.
Градуировку 5 легко получить: поскольку дважды пять равно десяти, длина от 0,5 до 1, от 5 до 10, от 50 до 100 составляет 60,2 пикселя (поэтому мы можем отметить, что умножение на 5 соответствует длине 200 — 60,2 = 139,8 пикселей).
Остается разместить только 7, используя ту же процедуру правила трех логарифмов.
Длина этих сегментов действительна для умножений, а также для делений.
Сдвиг на один пиксель вправо соответствует увеличению exp (log (1000) ÷ 600) ≈ 1.0115795

Каждый из модулей воспроизводится трижды, форма неизменна, меняется только легенда точек.

Примечание. Основание логарифма, по которому выполняются вычисления, не имеет значения.

Строительство без счетной машины

2, умноженное на себя в десять раз, дает 1024. Таким образом, с точностью до 2% длина сегмента в десять раз превышает длину сегмента, соответствующего умножению на 2 между двумя крайними точками шкалы от 0,1 до 100, и, следовательно, этот сегмент имеет размер 600 ÷ 10 ≈ 60 пикселей. С такой длиной мы можем разместить 2, 4, 5 и 8, как показано выше.
7 × 7 дает 49, или от 50 до 2%. Длина для 100 равна двум модулям по 200 пикселей, то есть 400 пикселей, мы вычитаем длину для 2, так как необходимо разделить значение на два, остаток 339,8; а значение 7 равно половине или 169,9, которое округляется до 169, поскольку 7 × 7 немного меньше 50.
3 × 3 равно 9. Нам известна длина, соответствующая 8, 3 × 60,2 = 180,6 пикселей, что соответствует 10, 200 пикселям, длина, соответствующая 9, находится между двумя, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3; число, соответствующее 3, составляет половину, которая округляется до 95.

Когда конкретное значение берется за эталон (например, 1), расстояние от точки, представляющей число, до точки, представляющей это значение, называется его логарифмической координатой .

Разновидности

Стандартная линейка логарифмическая имеет длину измерительной шкалы 25 см. Выпускался еще карманный вариант длиной 12,5 см и устройство повышенной точности 50 см. Существовало деление линеек на первый и второй сорта в зависимости от качества исполнения

Внимание уделялось четкости наносимых штрихов, обозначений и вспомогательных линий. Движок и корпус должны были быть ровными и идеально подогнаны друг к другу

Изделия второго сорта могли иметь незначительные царапины и точки на целлулоиде, но они не искажали обозначений. Также мог присутствовать незначительный люфт в пазах и прогиб.

Существовали и другие карманные (похожие на часы диаметром 5 см) варианты устройства – логарифмическая дисковая (типа «Спутник») и круговая (КЛ-1) линейки. Они отличались и конструкцией, и меньшей точностью измерений. В первом случае для установки чисел на замкнутых круговых логарифмических шкалах использовалась прозрачная крышка с линией-визиром. Во втором – механизм управления (две вращающиеся ручки) был смонтирован на корпусе: одной управлялся дисковый движок, другая управляла стрелкой-визиром.

Возможности

Логарифмической линейкой общего назначения можно было осуществлять деление и умножение чисел, возведить их в квадрат и куб, извлекать корень, решать уравнения. Кроме этого, по шкалам производились тригонометрические вычисления (синус и тангенс) по заданным углам, определялись мантиссы логарифмов и обратные действия — находились числа по их значениям.

Правильность вычислений во многом зависела от качества линейки (длинны ее шкал). В идеале можно было надеяться на точность до третьего знака после запятой. Такие показатели были вполне достаточными для технических расчетов в XIX веке.

Возникает вопрос: как пользоваться логарифмической линейкой? Одного знания назначения шкал и способов нахождения на них чисел еще не достаточно для произведения расчетов. Чтобы использовать все возможности линейки, нужно понимать, что такое логарифм, знать его характеристики и свойства, а также принципы построения и зависимости шкал.

Для уверенной работы с устройством требовались определенные навыки. Сравнительно простые вычисления с одним бегунком. Для удобства движок (чтобы не отвлекал) можно удалять. Установив черту на значения любого числа на основной (D) шкале можно сразу же по визиру получить результат возведения его в квадрат на шкале выше (A) и в куб — на самой верхней (K). Внизу (L) будет значение его логарифма.

Деление и умножение чисел производится с помощью движка. Применяются свойства логарифмов. Согласно им, итог умножения двух чисел равен результату сложения их логарифмов (аналогично: деление и разница). Зная это, можно достаточно быстро производить расчеты, используя графические шкалы.

Чем сложна логарифмическая линейка? Инструкция по ее правильному использованию шла в комплекте с каждым экземпляром. Кроме знания свойств и характеристик логарифмов, нужно было уметь правильно находить исходные числа на шкалах и уметь в нужном месте считывать результаты, в том числе самостоятельно определять точное место расположения запятой.

Линейки бывают разные, даже круглые

Тем не менее, главное достоинство, которым обладает линейка логарифмическая — ее простота, а следовательно, надежность. По сравнению с другими способами расчетов (пока не было калькуляторов), операции выполнялись куда быстрее. Но есть и моменты, о которых не следует забывать. Производить вычисления можно лишь с мантиссами, то есть целой (до девяти) и дробной частью числа, с точностью до двух (трех, у кого очень хорошее зрение) десятичных знаков. Порядок цифры нужно было держать в голове. Был и еще один недостаток. Линейка логарифмическая хоть и небольшая, но и карманным устройством ее назвать трудно — 30 сантиметров все-таки.

Однако размеры не стали преградой для пытливых умов. Для тех, кто по роду деятельности должен иметь счетное приспособление всегда при себе, была изобретена компактная линейка логарифмическая. Круговая шкала со стрелками придавала ей сходство с часами, и некоторые модели дорогих хронометров содержали ее на своем циферблате. Конечно, возможности этого устройства и его точность несколько уступали соответствующим параметрам классической линейки, но зато его всегда можно было носить в кармане. Да и выглядело оно более эстетично!

Не стоит забывать, что именно с помощью логарифмической линейки человек впервые ступил на Луну.

Уильям Отред, выпускник Итонской школы и Кембриджского королевского колледжа, пастор церкви в Олсбери в графстве Суррей, был страстным математиком и с удовольствием преподавал любимый предмет многочисленным ученикам, с которых не брал никакой платы. «Маленького роста, черноволосый и черноглазый, с проницательным взглядом, он постоянно что-то обдумывал, чертил какие-то линии и диаграммы в пыли, — так описывал Отреда один из биографов. — Когда ему попадалась особенно интересная математическая задача, бывало, что он не спал и не ел, пока не находил ее решения». В 1631 году Отред опубликовал главный труд своей жизни — учебник Clavis Mathematicae («Ключ математики»), выдержавший несколько переизданий на протяжении почти двух веков. Однажды, обсуждая «механические вычисления» с помощью линейки Гюнтера со своим учеником Уильямом Форстером, Отред отметил несовершенство этого метода. Между делом учитель продемонстрировал свое изобретение — несколько концентрических колец с нанесенными на них логарифмическими шкалами и двумя стрелками. Форстер был восхищен и позднее писал: «Это превосходило любой из инструментов, которые были мне известны. Я удивлялся, почему он скрывал это полезнейшее изобретение многие годы…» Сам Отред говорил, что он «просто изогнул и свернул шкалу Гюнтера в кольцо», и к тому же был уверен, что «настоящее искусство не нуждается в инструментах…», их использование он считал допустимым только после овладения этим искусством. Однако ученик настоял на публикации, и в 1632 году Отред написал (на латыни), а Форстер перевел на английский брошюру «Круги пропорций и горизонтальный инструмент», где была описана логарифмическая линейка.

Авторство этого изобретения оспаривал другой его ученик — Ричард Деламэйн, опубликовавший в 1630 году книгу «Граммелогия, или Математическое кольцо». Некоторые утверждают, что он просто украл изобретение у учителя, но возможно, он пришел к похожему решению независимо. Еще один претендент на авторство — лондонский математик Эдмунд Уингейт, предложивший в 1626 году использовать две линейки Гюнтера, скользящие друг относительно друга. До современного состояния инструмент довели Роберт Биссакер, сделавший линейку прямой (1654), Джон Робертсон, снабдивший ее бегунком (1775), и Амеде Маннгейм, оптимизировавший расположение шкал и бегунка.

Логарифмическая линейка значительно облегчила сложные вычисления для инженеров и ученых. В XX веке до появления калькуляторов и компьютеров логарифмическая линейка была таким же символом инженерных специальностей, каким для врачей является фонендоскоп.

Человеку, не знакомому с использованием логарифмической линейки, она покажется работой Пикассо. Она имеет как минимум три различных шкалы, почти на каждой из которых цифры расположены даже не на одинаковом расстоянии друг от друга. Но разобравшись, что к чему, вы поймете, почему логарифмическая линейка была такой удобной во времена до изобретения карманных калькуляторов. Правильно расположив нужные цифры на шкале, вы сможете выполнить умножение двух любых чисел гораздо быстрее, чем выполняя расчеты на бумаге.

Чтение

Чтение весов немного сбивает с толку новичков.

В самом деле, количество делений между цифрами обычно непостоянно от одного конца шкалы до другого, потому что пробелы меняются, и нельзя бесконечно сжимать градуировки, когда цифры сужаются.

Кроме того, некоторые шкалы читаются слева направо, а другие — справа налево.

Как бы все это усложняло, часто подразумеваются нули, так что, например, на шкале куба иногда отмечают степени 10 не 10-100-1000, а 1-1-1.

Наконец, мало информации об использовании весов.

Поэтому пользователь должен руководствоваться здравым смыслом, чтобы

определить направление чтения (обратное читается справа налево)
посчитайте деления, чтобы узнать, равна ли линия 0,1 (9 делений между двумя цифрами), 0,2 (4 деления) или 0,5 (1 деление)
определить амплитуду шкалы (единицы от 1 до 10, квадраты от 1 до 100, кубики от 1 до 1000, например), чтобы не перепутать 2 и 20 например
определить использование каждой лестницы (используя внешний вид лестницы и надписи, часто расположенные на концах)

Линейка логарифмическая: история

Прообразом счетного устройства была шкала для вычислений английского математика Э. Гантера. Он придумал ее в 1623 г., вскоре после открытия логарифмов, для упрощения работы с ними. Шкала использовалась в сочетании с циркулем. Им отмеривались необходимые градуированные отрезки, которые потом складывались или вычитались. Операции с числами заменялись действиями с логарифмами. Используя их основные свойства, умножить, делить, возводить в степень или вычислять корень числа оказалось намного проще.

В 1623 году линейка логарифмическая была усовершенствована У. Отредом. Он добавил вторую подвижную шкалу. Она перемещалась вдоль основной линейки. Отмерять отрезки и считывать результаты исчислений стало легче. Для повышения точности устройства в 1650 году была реализована попытка увеличения длины шкалы за счет ее расположения по спирали на вращающемся цилиндре.

Добавление в конструкцию бегунка (1850 г.) сделало процесс исчисления еще более удобными. Дальнейшее усовершенствование механизма и способа нанесения логарифмических шкал на стандартную линейку не добавили точности прибору.

Актуальность

Как пользоваться логарифмической линейкой, в наше время знают и помнят немногие, и с уверенностью можно утверждать, что число таких людей будет снижаться.

Логарифмическая линейка из разряда карманных счетных приспособлений давно стала раритетом. Для уверенной работы с ней нужна постоянная практика. Методика расчетов с примерами и разъяснениями тянет на брошюру в 50 листов.

Для среднестатистического человека, далекого от высшей математики, логарифмическая линейка может представлять какую-то ценность разве что справочными материалами, размещенными на обратной стороне корпуса (плотность некоторых веществ, температура плавления и пр.). Преподаватели даже не утруждаются вводить запрет на ее наличие при сдаче экзаменов и зачетов, понимая, что разобраться с тонкостями ее использования современному студенту очень сложно.

В век компьютерных технологий большинство расчетов при проектировании техники полностью автоматизировано, инженерам остается лишь ввести через удобный интерфейс требуемые параметры.

XX столетие называли по-разному. Оно было и атомным, и космическим, и информационным. Авиаконструкторы совершенствовали самолеты, и они превращались из неуклюжих бипланов в стремительные сверхзвуковые МиГи, «Миражи» и «Фантомы». Гигантские авианосцы и подводные лодки стали бороздить моря и океаны на всех широтах. В Лос-Аламосе (штат Нью-Мексико) испытывали а в подмосковном Обнинске начала давать энергию первая АЭС. Взмывали ввысь ракеты…

Устройство

Линейка логарифмическая (стандартная) изготавливалась из плотной древесины, стойкой к истиранию. Для этого в промышленных масштабах использовалось грушевое дерево. Из него изготавливался корпус и движок — планка меньшего размера, монтируемая во внутреннем пазе. Ее можно перемещать параллельно основанию. Бегунок изготавливался из алюминия или стали со смотровым окошком из стекла или пластика. На него нанесена тонкая вертикальная линия (визир). Бегунок двигается по боковым направляющим и подпружинивается стальной пластинкой. Корпус и движок облицованы светлым целлулоидом, на котором тиснением нанесены шкалы. Их деления заполнены типографской краской.

На лицевой стороне линейки располагаются семь шкал: четыре- на корпусе и три — на движке. На боковых гранях нанесена простая измерительная разметка (25 см) с делениями 1 мм. Шкалы (C) на движке внизу и (D) на корпусе сразу под ней считаются главными. На основании сверху располагается кубическая разметка (K), под ней — квадратичная (A). Ниже (сверху на движке) есть точно такая же симметричная вспомогательная шкала (B). Внизу на корпусе еще есть разметка для значений логарифмов (L). В самом центре лицевой части линейки между разметками (B) и (C) нанесена обратная шкала чисел (R). С другой стороны движка (планку можно вынуть из пазов и перевернуть) присутствуют еще три шкалы для расчета тригонометрических функций. Верхняя (Sin) — предназначена для синусов, нижняя (Tg) — тангенсов, средняя (Sin и Tg) — общая.

Составные части

Курсор линейки скольжения

Линейка скольжения обычно состоит из двух фиксированных градуированных фиксированных линейок, в которые помещается подвижная линейка, также градуированная, а также курсора, перемещающегося в продольном направлении (последний иногда снабжен увеличительным стеклом). Самые красивые модели полностью двусторонние, они состоят из двух линейок, соединенных перемычками, образуя мобильную линейку, что позволяет использовать большее количество шкал.
Центральная линейка может скользить относительно двух других и позволяет смещать градуировку. Он часто градуирован с обеих сторон: с одной стороны X²y, X³, 1 / X, Xy, а с другой — тригонометрические функции .
Центральный курсор облегчает чтение и интерполяцию между градуировками; в основном оно используется для запоминания значения во время связанных вычислений (например, правило трех).
Также существуют круглые (расчетная окружность) или винтовые (расчетная спираль) версии.

История

Расчетный круг для расчета времени выдержки для фотопечати

Расчет круга на часах Breitling Navitimer

Расчетный круг использовался немецкими инженерами ( Музей Белых песков ).

Шотландский Джон Напье изобретен в в логарифмы , математические основы некоторых функций линеек.

Эдмунд Гюнтер ( 1 581 — 1 626 ) затем преподавал астрономию в Грешам колледже. Мы обязаны ему изобретением нескольких геометрических инструментов, таких как сектор, с помощью которого рисуются точные линии солнечных часов. Он изобрел так называемую шкалу «Гюнтера» или логарифмическое правило в 1620 году , которое упростило вычислительные операции: по этому правилу было достаточно добавить или удалить разницу с помощью компаса для умножения или деления числа почтальоном.

Чтобы упростить эту операцию, Эдмонд Вингейт в 1627 году придумал сдвинуть две отдельные лестницы [ исх. желаемый] , один против другого, что дает начало концепции логарифмической линейки.

Англичанин Уильям Отред изобрел круговую логарифмическую линейку в 1630 году , воплотив идею в виде двух логарифмических шкал, начерченных на двух концентрических кругах.

Мистер Милберн , около 1670 года, прослеживает первые логарифмические спирали. Современная и успешная версия была произведена и продана во Франции Леоном Аппулло примерно в 1930 году.

В году Роберт Биссакер придал инструменту классическую форму (подвижный стержень в фиксированной форме).

Некоторые приписывают редактирование этих двух правил Сету Партриджу . Описание версии Партриджа дано в книге «Описание и использование инструмента, называемого двойной шкалой пропорций» , работа Партриджа, Лондон, 1671 г., существующая в Национальной библиотеке .

Амеде Мангейм , тогдашний профессор Политехнической школы, добавила (1850 г.) к нему движущийся указатель (курсор), позволяющий легче читать и «сохранять» промежуточный результат. Правило типа Мангейма — первое современное правило.

Намотка двух длинных логарифмических шкал на цилиндр давала теоретически превосходную точность вычислений — Отис Кинг в Англии, А. Лафай во Франции, оба примерно в 1921 году, затем Фуллер. Запутанный и трудночитаемый аспект этих логарифмических спиралей был причиной их отказа.

Примерно в 1950 году Андре Сежурне , учитель подготовительного класса по искусству и ремеслам в лицее Вольтера в Париже, усовершенствовал обычную логарифмическую линейку, добавив к ней шкалы LL1, LL2, LL3. Это правило слайдов Log-Log. Он консультирует компанию Graphoplex при создании ее первых правил.

Шкалы Log-Log были известны уже в межвоенный период: правило «Electro» с LL2 и LL3 с 1920-х годов, правило «Дармштадт» с LL1, LL2 и LL3 в 1935 году. Андре Сежурне транслировал журнал «Electro» Log »(Graphoplex). 640), который применялся практически только во Франции.

Использование логарифмической линейки стало широко распространяться во Франции с конца Второй мировой войны , наиболее распространенными французскими брендами были Tavernier Gravet Graphoplex, а среди импортных правил — Nestler, Aristo и Faber-Castell Германия, японское Sun Hemmi из бамбука и Американский пикетт из алюминия. Его правление продолжалось до середины 1980-х годов, несмотря на появление первых калькуляторов, которые , как правило, были единственным инструментом, разрешенным во время экзаменов и соревнований (появление калькуляторов памяти). Круговой п о 86-228 из28 июля 1986 г., разрешив и рекомендуя использовать калькуляторы во время экзаменов, в конце концов отодвинул его на задний план. Тем не менее, в 2016 году он все еще разрешен для участия в Concours commun Mines-Ponts и конкурсе École polytechnique .

Правила слайдов все еще существуют в некоторых профессиях, таких как аэронавигация. Некоторые специализированные аналоговые измерительные устройства (например, люксметры ) также оснащены встроенным вычислительным кругом для облегчения использования измерений.

Как рассчитывали ракеты и

Исторические хроники демонстрируют процесс работы над этими достижениями. Ученые и инженеры в белых халатах, стоя у кульманов и сидя за заваленными чертежами столами, производят сложнейшие технические и научные расчеты на арифмометрах. Порой в руках у Туполева, Курчатова или Теллера вдруг оказывалась вещь, незнакомая современному молодому человеку — логарифмическая линейка. Фото тех, чья молодость прошла в послевоенные десятилетия, вплоть до 80-х годов, также зафиксировали этот немудреный предмет, успешно заменявший им калькулятор во время учебы в институте или аспирантуре. Да и диссертации тоже считали на ней, на родненькой.

Быстрые вычисления

Прилагаемая (ниже) инструкция предлагает умножать и делить в три движения: вращением подвижной шкалы на указатель, вращением стрелки до нужного значения, и вращением циферблата до другого значения. Однако гораздо интереснее использовать оба циферблата, подвижный и неподвижный с обратной стороны линейки, и делать вычисления в два движения. При этом возможно получать сразу весь спектр значений, просто вращая циферблат, и тут же считывая значения.

Для этого на неподвижном циферблате нужно стрелкой выставить либо множитель (в случае умножения), либо делимое (в случае деления), и, перевернув линейку, вращением подвижного циферблата выставить второй множитель на стрелку, либо делитель на указатель, и сразу прочитать результат. Продолжая вращать циферблат, тут же считываем другие значения функции. Обычный калькулятор такое не умеет делать.

Дюймы в сантиметры

К примеру, нам нужно преобразовать сантиметры в дюймы, либо наоборот. Для этого вращением головки с красной точкой выставляем на неподвижном циферблате стрелкой значение 2,54. После этого будем смотреть, сколько в нашем 24″ мониторе сантиметров — вращением головки с чёрной точкой подвижного циферблата выставляем на стрелке значение 24, и считываем с неподвижного указателя значение 61 см (2.54*24=60.96). При этом можно легко узнать и обратные значения, например узнаем сколько дюймов в нашем 81 см телевизоре, для этого вращением головки с чёрной точкой подвижного циферблата устанавливаем на неподвижном указателе значение 81, и считываем на стрелке значение 32″ (81 ⁄ 2 .54=31.8898).

Градусы Фарингейта в градусы Цельсия

На неподвижном циферблате выставляем значение 1.8, из градусов по Фаренгейту вычитаем в уме 32 и устанавливаем полученное значение напротив неподвижного указателя, считываем на стрелке градусы по Цельсию. Для обратного вычисления устанавливаем значение на стрелке, и к значению на указателе прибавляем в уме 32.

20*1.8+32 = 36+32 = 68

(100-32)/1.8 = 68 ⁄ 1 .8 = 37.8 (37.7778)

Мили в километры

Выставляем на неподвижной шкале значение 1.6, вращением подвижной шкалы получаем мили в километрах или километры в милях.

Посчитаем скорость разгона машины времени в фильме “Назад в будущее”: 88*1.6=141км/ч (140.8)

Время и расстояние от скорости

Чтобы узнать за сколько времени проедем 400 километров при скорости 60 км/ч, выставляем на неподвижном циферблате значение 6, и крутим подвижный циферблат до значения 4, получаем 6.66 часов (6 часов 40 минут).

Определение

В логарифмической шкале значения располагаются на экспоненциально растущей оси . Точки, разделенные одинаковым расстоянием, представляют значения с одинаковым соотношением.

Логарифмический масштаб определяется только для строго положительных значений.

Сравнение линейной шкалы и логарифмической шкалы

На рисунке выше показаны два типа шкал:

На линейной шкале две градуировки с разницей в 10 находятся на постоянном расстоянии.
На логарифмической шкале две градуировки с соотношением 10 находятся на постоянном расстоянии.

В логарифмической шкале большие числа сжимаются, перемещаются ближе к 1 и легко представляются, в то время как числа меньше 1 расширяются и очень быстро возвращаются к отрицательной бесконечности.

Логарифмические единицы

Иногда мы используем логарифмические единицы, то есть значение которых является логарифмом отношения между двумя значениями величины. Логарифмическая базис выбирается в зависимости от привычек дисциплины , которая использует их:

натуральный логарифм , основание которого равно нуль , облегчает определенные расчеты и оценивается более непосредственно благодаря ряду Тейлора , но не допускает интуитивный доступ к десятичному порядку. Непер является натуральным логарифмом отношения между двумя силами.
десятичный логарифм (основание 10) непосредственно дает представление о порядке величины, поскольку характеристика , то есть знак и часть перед запятой, дает его непосредственно. Его удобочитаемость делает его полезным во многих областях техники , хотя и в измененной форме. Он используется в статистике , а в химии определяет pH .
Децибела , который обычно используется в телекоммуникационных , электроники и акустики определяется как 10 раз десятичного логарифма отношения между двумя силами; но если бы таблицы логарифмов и более поздние карманные калькуляторы не обеспечили более легкий доступ к десятичному логарифму, мы бы строго сказали, что децибел — это базовый логарифм 10 0,1 (или около 1,26) отношения между двумя степенями. Действительно, именно этому множителю соответствует децибел.
логарифм с основанием 2 используется в вычислениях с битами и в музыке с октавами .
Аналогично, полутона из закаленного масштаба в музыке, которая является двенадцатой частью октавы, является базовым логарифм 2 1 ÷ 12 (или около 1,06) от частоты .

Линейная шкала с логарифмической шкалой эквивалентна логарифмической шкале с точки зрения рассматриваемой величины.

По какому принципу устроена линейка логарифмическая?

Главный принцип работы этого деревянного предмета, аккуратно оклеенного целлулоидными белыми шкалами, основан на логарифмическом исчислении, как это и следует из названия. Точнее, на Ведь каждый, кто учил знает, что их сумма равна логарифму произведения, а, следовательно, правильно нанеся деления на подвижные части, можно добиться того, что умножение (а значит, и деление), возведение в квадрат (и извлечение корня) станут делом несложным.

Линейка логарифмическая стала популярной еще в XIX веке, когда главным средством для проведения вычислений были обычные счеты. Это изобретение — настоящая находка для тогдашних ученых и инженеров. Не сразу все они разобрались в том, как пользоваться этим устройством. Чтобы научиться всем премудростям и выявить ее возможности в полной мере, поклонники нового счетного механизма должны были прочесть специальные пособия, достаточно объемные. Но дело того стоило.

Производство

В прошлом правила скольжения изготавливались из корпусной древесины: самшита, груши, красного дерева или черного дерева, чтобы обеспечить равномерность скольжения, стабильность формы и долговечность, необходимые для многократного использования. Кости и слоновая кость зарезервированы для роскошных версий. В XIX — м веке, самшит покрыты целлулоида требуется , а иногда появляется металл. В современную эпоху в основном используются пластмассовые материалы , поэтому полоски изготавливаются из акрила или поликарбоната, скользящих на тефлоновых подшипниках. Бамбук для своих размерных свойств устойчивости и хорошее скольжение используется на Востоке. Маркировка окрашена или, лучше сказать, выгравирована, что предлагает решение, которое является одновременно точным и долговечным, но более дорогим.