Построение с помощью циркуля и линейки описание геометрических фигур, алгоритмы построения отрезков и углов, задачи с решениями

Именование

Слово многоугольник происходит от позднего латинского polygōnum (существительное), от греческого πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), существительного, использующего средний язык от πολύγωνος ( polygōnos / polugōnos , прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники называются (а иногда классифицируют) в соответствии с числом сторон, сочетая греческий -derived числового префикса с суффиксом -угольник , например , пятиугольник , двенадцатиугольником . Треугольник , четырехугольник и девятиугольник исключение.

Помимо десятиугольников (10-сторонних) и додекагонов (12-сторонних) математики обычно используют числовые обозначения, например 17-угольник и 257-угольник.

Исключения существуют для побочных подсчетов, которые легче выразить в устной форме (например, 20 и 30) или которые используются не математиками. Некоторые специальные многоугольники также имеют свои собственные имена; например, правильный пятиугольник звезды также известен как пентаграмма .

**Имена многоугольников и прочие свойства**
Имя	Стороны	Характеристики
моногон	1	Обычно не считается многоугольником, хотя в некоторых дисциплинах, таких как теория графов, иногда используется этот термин.
Digon	2	Обычно не считается многоугольником на евклидовой плоскости, хотя может существовать как сферический многоугольник .
треугольник (или тригон)	3	Простейший многоугольник, который может существовать в евклидовой плоскости. Можно выложить самолет плиткой .
четырехугольник (или четырехугольник)	4	Простейший многоугольник, который может пересекаться; простейший многоугольник, который может быть вогнутым; простейший многоугольник, который может быть нециклическим. Можно выложить самолет плиткой .
пятиугольник	5	Простейший многоугольник, который может существовать как правильная звезда. Звездный пятиугольник известен как пентаграмма или пентакль.
шестиугольник	6	Можно выложить самолет плиткой .
семиугольник (или септагон)	7	Простейший многоугольник такой, что правильную форму невозможно построить с помощью циркуля и линейки . Однако его можно построить, используя конструкцию Нойсиса .
восьмиугольник	8
нонагон (или эннеагон)	9	«Нонагон» смешивает латинский [ novem = 9] с греческим; «эннеагон» — чисто греческое.
десятиугольник	10
hendecagon (или undecagon)	11	Простейший многоугольник такой, что правильную форму нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла .
двенадцатиугольник (или двенадцатиугольник)	12
трехугольник (или трехугольник)	13
тетрадекагон (или тетракаидакагон)	14
пятиугольник (или пятиугольник)	15
hexadecagon (или hexakaidecagon)	16
гептадекагон (или гептадекагон)	17	Конструируемый многоугольник
octadecagon (или octakaidecagon)	18
enneadecagon (или enneakaidecagon)	19
икосагон	20
икоситетракон (или икосикаитетракон)	24
триаконтагон	30
тетраконтагон (или тессараконтагон)	40
пятиугольник (или пятиконтагон)	50
шестиугольник (или шестиугольник)	60
гептаконтагон (или hebdomecontagon)	70
восьмиугольник (или огдоэконтагон)	80
эннеконтагон (или эннеконтагон)	90
гектогон (или гекатонтагон)	100
257-угольник	257	Конструируемый многоугольник
чилигон	1000	Философы, включая Рене Декарта , Иммануила Канта , Дэвида Юма , использовали хилиагон в качестве примера в своих дискуссиях.
мириагон	10 000	Используется в качестве примера в некоторых философских дискуссиях, например, в « Размышлениях о первой философии» Декарта.
65537-угольник	65 537	Конструируемый многоугольник
мегагон	1 000 000	Как и в случае с примером хилиагона Рене Декарта, многоугольник с миллионами сторон использовался как иллюстрация четко определенной концепции, которую невозможно визуализировать. Мегагон также используется как иллюстрация схождения правильных многоугольников в круг.
апейрогон	∞	Вырожденный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Создание высших имен

Чтобы создать имя многоугольника с более чем 20 и менее чем 100 ребрами, объедините префиксы следующим образом. Термин «кай» применяется к 13-угольникам и выше, использовался Кеплером и поддерживался Джоном Х. Конвеем для ясности конкатенированных префиксных чисел при именовании квазирегулярных многогранников .

Десятки	и	Единицы	последний суффикс
-kai-	1	-hena-	-угольник
20	icosi- (icosa- в одиночестве)	2	-ди-
30	триаконта- (или триконта-)	3	-три-
40	тетраконта- (или тессаракта-)	4	-тетра-
50	пентаконта- (или пентеконта-)	5	-penta-
60	гексаконта- (или гексеконта-)	6	-hexa-
70	гептаконта- (или гебдомеконта-)	7	-гепта-
80	октаконта- (или огдоэконта-)	8	-окта-
90	эннеаконта- (или эненеконта-)	9	-ennea-

Виды фигур

Треугольник

Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.

Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.

По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:

Равносторонние — у которых длина всех отрезков одинаковая.
Равнобедренные — треугольники, у которых равны два отрезка из трех.
Разносторонние — если длина всех отрезков разная.

Кроме того, принято различать следующие треугольники:

Остроугольные.
Прямоугольные.
Тупоугольные.

Четырехугольник

Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.

Если все углы четырехугольника прямые — эта фигура называется прямоугольником.
Прямоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую величину, называется квадратом.
Четырехугольник, все стороны которого равны, называется ромбом.

На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.

Как работает режим векторного редактора в Figma

Прежде чем рисовать, важно разобраться, как работают инструменты для создания векторных иллюстраций. Если вы уже всё о них знаете —

Если нет — читайте нашу инструкцию.

Для начала нарисуйте простой квадрат:

1. На панели инструментов нажмите на иконку и кликните в любую часть макета.

2. Кликните ещё раз в любую другую часть макета, и у вас появится линия.

3. Таким же образом сделайте ещё три линии, чтобы у вас получился квадрат. Последняя линия должна соединиться с первой. Чтобы линии получились ровными, делайте их с зажатой клавишей Shift.

Иллюстрация: Skillbox Media

Обратите внимание, что, создав первую точку, вы вошли в режим векторного редактора, и панель инструментов изменилась:

Иллюстрация: Skillbox Media

Добавьте на квадрат дополнительные точки, чтобы получился многоугольник:

1. На панели инструментов нажмите на иконку , наведите курсор на одну из линий — посередине вы увидите точку.

2. Зажмите эту точку правой кнопкой мыши и тяните её от центра фигуры.

3. Повторите то же самое с остальными сторонами фигуры.

Иллюстрация: Skillbox Media

Сгладьте углы получившегося прямоугольника:

1. На панели инструментов нажмите на иконку и дважды кликните на любую из точек фигуры.

2. Зажмите любой из краёв появившихся линий — их называют усами. Тяните ус в сторону изгиба угла, чтобы он не пересекал линию дуги. Иначе ваша линия может получиться «мятой».

Иллюстрация: Skillbox Media

3. Повторите то же самое с остальными точками. Если получившееся скругление вам не нравится, нажмите правой кнопкой мыши на нужную вам точку.

Иллюстрация: Skillbox Media

Как и у стандартных фигур в Figma, у вектора можно изменить цвет заливки и параметры обводки:

Иллюстрация: Skillbox Media

Любую стандартную фигуру в Figma — круг , квадрат , треугольник или многоугольник — можно редактировать как вектор. Чтобы это сделать, создайте фигуру и дважды кликните по ней правой кнопкой мыши:

Иллюстрация: Skillbox Media

Как нарисовать мяч для регби

Человеческий мозг запоминает только основные детали объектов, поэтому перед началом работы обязательно подыщите референс, чтобы ничего не выдумывать на ходу.

Мы будем рисовать мяч для регби, на фотографии вы сразу увидите его основные и второстепенные детали:

Изображение: modi.ru / Skillbox Media

Основа мяча

1. Создайте круг и растяните его по длине и высоте мяча, чтобы получился овал.

2. В режиме векторного редактора подгоните форму овала под мяч, чтобы они были похожи.

Видео: Виктор Засыпкин / Skillbox Media

Поперечный шов

1. Создайте круг и растяните его по основному шву, который пересекает его.

2. В режиме векторного редактора подгоните форму овала под шов.

3. Удалите фон, добавьте на вектор обводку и перенесите его на овал в форме мяча.

Видео: Виктор Засыпкин / Skillbox Media

Дополнительный шов

1. Создайте квадрат и подгоните его размеры под форму дополнительного шва.

2. Удалите у фигуры фон, добавьте обводку и скруглите углы . В качестве эталона для скругления возьмите угол шва, который виден лучше всего. В нашем референсе — это левый нижний.

3. В режиме векторного редактора располагайте точки фигуры по направлению шва, а усами регулируйте скругление так, чтобы вектор повторял форму шва.

4. Этот шов не сплошной, а строчной. Укажите в настройках обводки пунктирный стиль. Чтобы это сделать, в блоке Stroke на панели инструментов нажмите и в появившемся меню в пункте Stroke Style укажите стиль Dash. Отрегулируйте настройки Dash (количество точек) и Gap (шаг), чтобы пунктир примерно напоминал шов настоящего мяча.

Видео: Виктор Засыпкин / Skillbox Media

Блик

1. Скопируйте основной овал, выделите его и укажите цвет заливки: белый.

2. Поместите белый овал на мяч и подгоните его под размер блика — он будет примерно на треть меньше основного овала.

3. Поместите блик на мяч. Скорее всего, он будет великоват, поэтому уменьшите его и подправьте ломаные углы с помощью усов.

Видео: Виктор Засыпкин / Skillbox Media

Левая белая полоска

Чтобы её сделать, воспользуйтесь хитростью с наложением слоёв:

1. Создайте круг и с помощью одной из его сторон повторите внешний левый край полоски.

2. Создайте ещё один круг и с его помощью повторите внутренний правый край полоски

Важно, чтобы этот круг в палитре слоёв находился ниже предыдущего

3. В режиме векторного редактора подправьте оба круга, чтобы они точно повторяли изгибы полоски. Для удобства укажите непрозрачность кругов на 50%, чтобы видеть и сами фигуры, и контуры мяча.

4. Выделите обе фигуры, нажмите на панели инструментов на иконку и в выпадающем списке выберите . В результате видимой останется только та часть, в которой ваши круги не пересекаются, — она и образует белую полосу.

Иллюстрация: Виктор Засыпкин

5. Сделайте копию основной формы мяча и подложите её под полоску. Если она выходит за края фигуры, выделите и полоску, и форму мяча, затем на панели инструментов нажмите на иконку и в выпадающем списке выберите . В результате останется видимой только та часть, где ваши круги пересекаются.

Иллюстрация: Виктор Засыпкин

6. Поместите получившуюся фигуру на мяч. Если она залезает на шов, его можно немного уменьшить.

Видео: Виктор Засыпкин / Skillbox Media

Правая белая полоса

Правую полосу можно сделать так же, как и левую, либо нарисовать её самостоятельно с помощью инструмента :

Видео: Виктор Засыпкин / Skillbox Media

Белый шов

1. Белый шов повторяет форму основного. Возьмите поперечный шов, с зажатой клавишей Ctrl (⌘) выделите все точки снизу и удалите их. У вас должна получиться короткая линия длиной с поперечный шов.

2. Поместите линию на референс и, если нужно, сделайте её длиннее или короче в режиме векторного редактора.

3. Поместите вектор на нижний край шва и с помощью пера обведите и остальной контур шва.

4. С помощью пера повторите контуры всех стежков.

Видео: Виктор Засыпкин / Skillbox Media

В результате у вас получится примерно такой мяч:

Компьютерная графика

В компьютерной графике многоугольник — это примитив, используемый при моделировании и рендеринге. Они определены в базе данных, содержащей массивы вершин (координаты геометрических вершин , а также другие атрибуты многоугольника, такие как цвет, затенение и текстура), информацию о связях и материалы .

Любая поверхность моделируется в виде мозаики, называемой полигональной сеткой . Если квадратная сетка имеет n + 1 точку (вершину) на каждой стороне, в ней есть n квадратов или 2 n квадратов, поскольку в квадрате два треугольника. Есть ( п + 1) , 2 /2 ( п 2 ) вершин в треугольнике. Если n большое, это приближается к половине. Или каждая вершина внутри квадратной сетки соединяет четыре ребра (линии).

Система визуализации вызывает структуру полигонов, необходимую для создания сцены, из базы данных. Это передается в активную память и, наконец, в систему отображения (экран, телевизионные мониторы и т. Д.), Чтобы можно было просматривать сцену. Во время этого процесса система визуализации визуализирует многоугольники в правильной перспективе, готовые для передачи обработанных данных в систему отображения. Хотя многоугольники двумерны, с помощью системного компьютера они помещаются в визуальную сцену в правильной трехмерной ориентации.

В компьютерной графике и вычислительной геометрии часто необходимо определить, находится ли данная точка внутри простого многоугольника, заданного последовательностью отрезков линии. Это называется тестом точки в многоугольнике .
пзнак равно(Икс,у){\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}

Простейшие четырёхугольники

Любой многоугольник, который состоит из четырёх углов, называют четырёхугольным. Он относится к простейшим геометрическим телам. Если о нём ничего не известно, его считают произвольным, то есть фигурой, у которой нет особенных углов или сторон. В другом случае четырёхугольники имеют собственные названия.

Наиболее часто приходится сталкиваться со следующими видами:

прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равняются 90;
ромб — фигура с четырьмя сторонами одинаковой длины;
квадрат — многоугольник, удовлетворяющий одновременно условиям ромба и прямоугольника.

Для всех этих видов характерно, что каждая из фигур имеет 2 пересекающиеся диагонали. Причём точка их соприкосновения делит отрезок на 2 равные части. Кроме этого, для прямоугольника и квадрата длина одной диагонали равна другой. Если у четырёхугольного прямоугольника обозначить стороны a и b, противоположные им грани также будут a и b.

Каждый отрезок, образующий многоугольник, имеет свою длину. При их сложении получается периметр фигуры. Для его обозначения используют заглавную латинскую букву P. Например, если есть многоугольник, образованный сторонами AB, BC, CA, его периметр будет равняться: Pabc = AB + BC + CA

Можно обратить внимание, что количество углов соответствует числу сторон, складываемых для нахождения P. Это важный параметр, позволяющий оценить размер фигуры.

Из-за особенностей прямоугольника формулу для расчёта периметра можно переписать так: P = 2*(a + b). В то же время площадь такой фигуры находится путём простого перемножения примыкающих сторон: S = a*b. Параметры квадрата можно вычислить, зная длину только одной стороны. Всё дело в том, что длины отрезков, из которых он состоит, равны друг другу, поэтому для квадрата периметр находится как P = 4*a, а площадь: S = a*a = a2.

Как начертить многоугольник в AutoCAD описанный вокруг окружности

Многоугольник Автокад описанный вокруг окружности задается центральной точкой и расстоянием от центра до средней точки одной из его сторон. Следовательно, радиус вписанной окружности — это расстояние от центра многоугольника до средней точки одной из его сторон.

Вызываем команду «МН-Угол». Система отобразит запрос:

Число сторон <5 — предыдущее значение>:

Соглашаемся со значением по умолчанию, нажимаем «Enter». Появляется следующий запрос:

Укажите центр многоугольника:

Указываем в Автокад центр многоугольника. Появляется запрос в командной строке:

Задайте параметр размещения [Вписанный в окружность/Описанный вокруг окружности] <В>:

Выбираем опцию «Описанный вокруг окружности» команды МН-Угол. Отобразится предварительный вид многоугольника Автокад, который прикреплен к линии, проходящей из заданного центра до указателя, соответствующего середине одной из сторон многоугольника. Размер многоугольника в Автокад будет изменяться вместе с изменением положения указателя. В командной строке появится запрос:

Радиус окружности:

Повторим ввод координат и зададим радиус описанной окружности с помощью задания относительных полярных координат. Введем в командную строку следующее значение @20<0, что означает:

«@» — отсчет координат ведется от центральной точки многоугольника Автокад;
«20» — расстояние от центральной точки, т.е. радиус вписанной окружности;
«<» обозначение полярности координат — возможности привязки к определенному углу;
«0» — значение угла, т.е. 0 градусов.

Правильный многоугольник в Автокад с радиусом вписанной окружности 20 мм построен.

Совет
Задав радиус вписанной или описанной окружности в командной строке путем ввода значения радиуса, многоугольник в Автокад автоматически выравнивается так, чтобы его нижняя сторона располагалась параллельно оси X текущей ПСК. Если задать радиус при помощи мыши (различными методами задания координат), то можно повернуть многоугольник вокруг центра на нужный угол.

В природе

Дорога гигантов в Северной Ирландии

Многоугольники появляются в горных породах, чаще всего в виде плоских граней кристаллов , где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого сделан кристалл.

Правильные шестиугольники могут возникать, когда при охлаждении лавы образуются области плотно упакованных столбов базальта , которые можно увидеть на Мосту гигантов в Северной Ирландии или на Дьявольской столбе в Калифорнии .

В биологии поверхность восковых сот, созданных пчелами, представляет собой массив шестиугольников , а стороны и основание каждой соты также представляют собой многоугольники.

Общие сведения

Основной линией, с помощью которой образовывается многоугольная фигура, называется ломанная. Это несколько последовательно соединённых между собой отрезков. Если при этом они друг друга не пересекают, кривую считают простой. В ином случае говорят про ломанную с самопересечением. Каждый отрезок, входящий в кривую, называют звеном. Точки, ограничивающие его — вершинами.

Нарисовать ломанную можно по-разному. Главное, соблюдать правило последовательного соединения точек отрезков. Если при этом получится рисунок, на котором первая вершина начального отрезка совпадёт с последней вершиной (ломанная замкнётся), такая кривая называется замкнутой. Но чаще используется другое название — многоугольник. Другими словами, это фигура, образованная соединёнными между собой прямыми, состоящая из отрезков без самопересечения.

Любого вида многоугольник состоит из следующих частей:

вершин;
сторон;
углов.

Две прямые линии, соединяющиеся у вершины, образуют угол. Он получается при пересечении лучей, проходящих по сторонам фигуры. Именно от количества углов, получаемых при построении, тот или иной геометрический объект может иметь своё уникальное название. Например, тело с тремя углами — треугольник, четырьмя — четырёхугольник, пятью — пятиугольник.

Понятия применимы не только к плоскости, но и к пространству. Так, во втором случае с помощью ломанной образовывается пространственный многоугольник. Его особенность в том, что вершины тела не лежат в одной плоскости и как минимум фигура должна иметь их по меньшей мере 4. Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Каждая фигура со множеством углов имеет особые линии. Это такие отрезки, построение которых помогает охарактеризовать тело. Одной из них является диагональ. Это элемент, который получается при соединении отрезком двух несоседних вершин. Таких замкнутых прямых в многоугольнике может быть много. При этом из одной вершины можно строить несколько диагоналей.

Классификация

Несколько разных типов многоугольника

Выпуклость и невыпуклость

Многоугольники могут характеризоваться своей выпуклостью или типом невыпуклости:

Выпуклая : любая линия, проведенная через многоугольник (но не касательная к краю или углу), встречается с его границей ровно дважды. Как следствие, все его внутренние углы меньше 180 °. Точно так же любой отрезок линии с конечными точками на границе проходит только через внутренние точки между своими конечными точками.
Невыпуклый: может быть найдена линия, которая встречается со своей границей более двух раз. Точно так же существует отрезок прямой между двумя граничными точками, который выходит за пределы многоугольника.
Просто : граница многоугольника не пересекает себя. Все выпуклые многоугольники простые.
Вогнутая : невыпуклая и простая. По крайней мере, один внутренний угол превышает 180 °.
В форме звезды : весь интерьер виден хотя бы с одной точки, не пересекая ни одного края. Многоугольник должен быть простым и может быть выпуклым или вогнутым. Все выпуклые многоугольники имеют звездообразную форму.
Самопересечение : граница многоугольника пересекает сам себя. Термин « сложный» иногда используется в отличие от « простого» , но при таком использовании возникает опасность путаницы с идеей сложного многоугольника как того, который существует в сложной плоскости Гильберта, состоящей из двух комплексных измерений.
Звездный многоугольник : многоугольник, который самопересекается правильным образом. Многоугольник не может быть одновременно звездообразным и звездообразным.

Равенство и симметрия

Равноугольный : все углы равны.
Равносторонние : все края одинаковой длины.
Обычный : как равносторонний, так и равносторонний.
Циклический : все углы лежат на одной окружности , называемой описанной окружностью .
Тангенциальный : все стороны касаются вписанной окружности .
Изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат в пределах одной орбиты симметрии . Многоугольник также является циклическим и равноугольным.
Изотоксальный или реберно-транзитивный : все стороны лежат в пределах одной и той же орбиты симметрии . Многоугольник также бывает равносторонним и касательным.

Свойство регулярности можно определить и другими способами: многоугольник является правильным тогда и только тогда, когда он одновременно изогонален и изотоксален, или, что то же самое, он является одновременно циклическим и равносторонним. Невыпуклый правильный многоугольник называется правильным звездчатым многоугольником .

Разнообразный

Прямолинейный : стороны многоугольника пересекаются под прямым углом, то есть все его внутренние углы равны 90 или 270 градусам.
Монотонный относительно данной прямой L : каждая прямая, ортогональная L, пересекает многоугольник не более двух раз.

Треугольный многоугольник

Такую фигуру называют треугольником. Она состоит из трёх углов и такого же числа сторон. Их, принято обозначать маленькими буквами a, b, c или подписывать двумя заглавными по названиям вершин, которые являются началом и концом отрезка. Например, треугольник ABC содержит стороны: AB = a, BC = b, AC = c.

В зависимости от особенностей, фигура может называться:

разносторонней — многоугольник, у которого все 3 стороны не равны;
равнобедренной — длины любых двух граней совпадают;
равносторонней (правильной) — все стороны фигуры одинаковые.

Но несмотря на классификацию, все перечисленные виды обладают общими свойствами. Считается, что угол любого плоского треугольника образуется при пересечении двух лучей, содержащих его стороны, то есть если говорят об ∠A, то подразумевают, что был лучи AB и АС, при построении которых он и образовался. Таким образом, он заключается не между сторонами, а лучами.

Эти 3 параметра определяют свойства треугольной фигуры. С их помощью можно находить, площадь, стороны, значения углов. Определение медианы звучит так: это прямая, проведённая из угла к противолежащей стороне таким образом, что разделяет её пополам. Под биссектрисой же понимают отрезок, разделяющий угол на 2 равные части. Высотой называют перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону из вершины.

Треугольник, который выглядит, как прямой угол, называют прямоугольным. То есть построив в любом многоугольнике с тремя углами высоту, можно получить две фигуры, обе из которых точно будут прямоугольными. Боковые грани, перпендикулярные друг другу, называют катетами, а оставшуюся сторону — гипотенузой. По сути, тело представляет собой разделённый диагональю квадрат. Отсюда площадь многоугольника будет равняться произведению катетов, делённых на 2: S = a*b/2. А также следует отметить, что у равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектриса совпадают.

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.
Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O₁ — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО₁ и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO₁A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O₁AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O₁CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.