Построение графиков функций

Наибольшее и наименьшее значение в области

Функция, которая ограничена и дифференцируется в замкнутой области, имеет наибольшее и наименьшее значение либо во внутренних точках этой области, либо на ее границе. Используем пример для рассмотрения алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего ее значения.

Перед нами функция \(z\;=\;\frac13x^3\;+\;3xy\;+\;\frac13y^3\) в замкнутой области \(х\geq-1,\;у\geq-1,\;х+у\leq1\).

Следующее действие поможет нам определить стационарные точки функции:

\(\frac{dz}{dx}\;=\;x^2\;+\;3y\;,\;\frac{dz}{dy}\;=\;3x\;+\;y^2\;\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2\;+3y\;=\;0\\3x\;+\;y^2\;=\;0\end{array}\right.\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{l}x^2\;+\;3y\;=\;0\\x\;=\;-\frac{y^2}3\end{array}\;\Rightarrow\;\right.\frac{y^4}9+3y\;=\;0\;\Rightarrow\frac y9(y^3+27)\;=\;0\;\Rightarrow y_{}\;=\;0\;\Rightarrow y_2\;=\;-3\;\Rightarrow\;x_1\;=\;0\;\Rightarrow x_2\;=\;-3\)

Из этого следует, что стационарные точки функции всего две — O (0, 0) и M (-3, -3). При достижении функции наибольшего или наименьшего значения внутри области, это происходит исключительно в стационарных точках, которые принадлежат данной области. В этом случае имеет смысл рассматривать только точку O (0, 0).

Теперь рассмотрим границу области, состоящую из AB, BC и AC. Необходимо взглянуть на каждый участок в отдельности. Если подставить уравнение участка AB границы x = -1 в функцию:

\(z=\frac13y^3-3y-\frac13\) при \(-1\leq y\leq2\)

Тогда предстоит определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции одной переменной на этом отрезке.

 \(\frac{dz}{dy}=y^3-3=0\\y_1=\sqrt3\\y_2=-\sqrt3\\y_2\not\in\lbrack-1,2\rbrack\)

Очевидно, что функция принимает наибольшее и наименьшее значение в точке \(y_1 = \sqrt3\), а также на границе отрезка в точках -1 и 2. Из этого следует, что к точке P нужно добавить точки В(-1, -1), K(-1,\(\sqrt3\)) и A(-1, 2).

Уравнение участка BC 

y = -1

Функция на этом участке имеет вид

\(z\;=\;\frac13x^3-3x-\frac13\\-1\leq x\leq2\\\frac{dz}{dx}=x^2-3=0\;\Rightarrow\;x_1=\sqrt3,\;x_2=-\sqrt3\\x_2\;\not\in\lbrack-1,\;2\rbrack\\\)

Из этого следует, что достижение наибольшего и наименьшего значения для функции возможно в точке \(x_1 = \sqrt3\) на границе отрезка в точках -1 и 2. Таким образом к выбранным ранее точкам добавятся еще две: К2(\(\sqrt3\), -1) и С(2, -1)

Уравнение участка AC

x + y = 1 или y = 1 — x

Теперь нужно вновь подставить уравнение этого участка границы в рассматриваемую функцию, учитывая, что \(-1\leq х\leq2\).

\(z\;=\;\frac13x3\;+\;3x(1-x)+\frac13{(1-x)}^3\;=-2x^2\;-\;2x+\frac13\)

\(\frac{dz}{dx}=-4x-2=0\;\Rightarrow\;x=-\frac12\;\Rightarrow\;y=1+\frac12=\frac32\)

Из этого появляется еще одна точка — M (\(-\frac12, \frac32\)).

Теперь предстоит вычислить значение функции в точках A, B, C, K1, K2 K3, O

\(z\;=\;\frac13x^3+3xy+\frac13y^3\)

\(z(A)\;=\;\frac13{(-1)}^3+3(-1)2+\frac132^3=-\frac13-6+\frac83=-\frac{11}3\\z(B)=\frac13{(-1)}^3+3(-1)(-1)+\frac13{(-1)}^3=-\frac13+3-\frac13=\frac73\\z(C)=\frac13{(2)}^3+3(-1)2+\frac13{(-1)}^3+\frac83-6-\frac13=-\frac{11}3\\z(K_1)=\frac13{(-1)}^3+3(-1)\sqrt3+\frac133\sqrt3=-\frac13-3\sqrt3+\sqrt3=-\frac13-2\sqrt3\\z(K_2)=\frac133\sqrt3+3(-1)\sqrt3+\frac13{(-1)}^3=\sqrt3-3\sqrt3-\frac13=-\frac13-2\sqrt3\\z(K_3)=\frac13{(-\frac12)}^3+3(-\frac12)\frac32+\frac13{(\frac32)}^3=-\frac1{24}-\frac14+\frac98=\frac{20}{24}=\frac56\\z(O)=\frac13{(0)}^3+3\cdot0\cdot0+\frac130=0\)

Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее, они же будут наибольшим и наименьшим значением функции на рассматриваемом множестве.

Наименьшее значение функции достигается на точках \(K_1 и K_2 (-\frac13 — \frac2{\sqrt3})\)

Ее наибольшее значение достигается на точке \(B (\frac73)\).

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Функции нескольких переменных: основные определения

Для более полного понимания, рассмотрим понятия, которые используются для функции нескольких переменных.

Определение

Совокупность пар (x, y), являющихся значениями переменных x и y, при которых определена функция, называются ее областью определения.

Независимые переменные (x₁, x₂, x₃, x_n) являются аргументами функции.

U — область значений (обозначают: E(u));

u (\(u \in U\)) — зависимая переменная (функция).

Определение

Существует также такое понятие как производная по направлению — обобщенное понятие производной. Производная по направлению является показателем скорости изменения значения функции при движении в определенном направлении.

Определение

Понятие непрерывности функции:

Функция u = f(x) называется непрерывной в точке а, если \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\).

Функцию нескольких переменных можно задать четырьмя разными способами:

• словесный;
• табличный;
• аналитический;
• графический.

Аналитический способ в свою очередь подразделяется на два варианта — явный и неявный. Явный способ задания функции нескольких переменных выглядит как формула u = f(x₁, x₂, x₃ … x_n), в то время как при неявном способе используется уравнение F(x₁, x₂, x₃ … x_n) = 0.

Графический способ — это начертание графика функции. Тогда график функции z = f(x,y) будет называться «поверхностью функции». В то время как непосредственное геометрическое место точек (x, y) на плоскости, в которых она принимает одно и то же значение С, будет называться «линией уровня функции z». 

• линия в D(z), имеющая уравнение f(x,y) = C будет называться линией функции;
• проекция на плоскость xOy линии пересечения графика функции z = f(x,y) и плоскости z = C будет называться линией функции.

С помощью этих линий и их распространения можно оценить характер изменения самой функции. В месте «густоты» линий она будет изменяться быстрее.

При этом существует также поверхность уровня функции u = f(x,y,z). Поверхностью называется геометрическое место точек пространства Oxyz, в которых функция принимает одно и то же значение C. Уравнение поверхности уровня выглядит следующим образом:

f(x,y,z) = C

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

   Координата вершины

2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

   Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

   Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

а) y = 3x — 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x — 1

x	y
-1
1	2

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

x	y
2
1	1

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

x	y
1	2

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x — 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

y = √x

Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x — 1

в) y = (x — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x — 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x — 1)² + 2

г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Примеры решения задач

Пример

Найдем область определения функции двух переменных 

\(z=\frac{4+x}{(x+3)(y-5)}\)

Если функция является дробью, то ограничение должно гарантировать, что выполняется следующее условие:

\(x\neq-3,\;y\neq5\)

Область определения функции 

\(D(z)=\{(x,y)\in R^2:x\neq-3,\;y\neq5\}\)

То есть вся числовая плоскость, за исключением точек двух прямых x=-3, y=5

Пример

Необходимо найти область существования функции

\(z=\frac1{\sqrt{4-x^2-y^2}}\)

Для этого решим систему уравнений

\(\left\{\begin{array}{l}y=x^2\\y^2=x,\;x^4=x,\;x^4-x=0,\;x(x-1)(x^2+x+1)=0\end{array}\right.\)

Функция будет иметь действительные значения, если x + у < 4. Этому условию удовлетворяют координаты точек, которые лежат внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда область существования функции — это множество точек внутри окружности.

Общее определение

В случае функции двух переменных, рассматривается некоторое множество упорядоченных пар (x, y), где \(x\in X,\;y\in Y\).

Определение

Если каждой паре (x, y) соответствует только два и более числовых значений z, то считается, что задана функция двух и более переменных. Такая функция будет носить название многозначной.

Она будет записываться следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

z = z(x,y), z = f(x,y), z = F(x,y)

Существует еще один вариант ее записи:

u = f(М)

Функцию z = f(x,y) можно изобразить при помощи некоторой поверхности в пространстве в прямоугольной системе. Тогда область определения функции двух переменных будет представлять собой множество точек плоскости, в то же время область функции трех переменных будет представлять собой некоторое множество точек трехмерного пространства.

Функция с любым иным количеством переменных (n) будет определяться аналогичным образом.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
10. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы! Приходи на пробное занятие с нашими лучшими преподавателями!