Область значения функции ️ как определить и найти, примеры решения нахождения области значений тригонометрических функций по графику

Методы нахождения

Поиск области значений функции несколько сложнее, чем определение ОДЗ. В зависимости от вида и типа функции, а также условий задачи для этого могут применяться различные методы.

Перебор значений

Самый простой и ограниченный способ. При его помощи можно находить область значений на небольшом промежутке целых чисел $x\in(a;\;b)$. В таком случае заданные значения переменной поочередно подставляются в уравнение и вычисляются значения функции, соответствующие им.

Графический метод

Как ясно из названия способа, для его реализации необходимо построить график исследуемой функции. По внешнему виду кривой уже можно делать некоторые выводы. Если линия графика соответствует одному из видов элементарных функций, например, является параболой, то в качестве области значений берется промежуток, соответствующий данному графику.

Примечание

Если по условию задачи необходимо найти область значений функции на определенном промежутке значений переменной x, то на графике максимальные и минимальные точки становятся очевидными. Это могут быть как общие точки экстремума, так и локальные максимальные и минимальные значения.

Учет непрерывности и монотонности

Данный метод вытекает из предыдущего и позволяет делать некоторые прогнозы об области значений функции исходя из ее свойств. Если на графике видно, что функция не прерывается и монотонно убывает или возрастает на определенном промежутке, можно предположить, что эта тенденция сохранится и дальше.

Например, график квадратичной функции f(x)=x^2 имеет вид параболы с точкой перегиба с координатами (0, 0). Кривая непрерывна, то есть не имеет разрывов в области определения. Для того, чтобы определить область значений данной функции, достаточно построить ее график на ограниченном промежутке. Для примера возьмем $x\in\lbrack-4;\;4\rbrack$:

Рисунок 1. Значение непрерывности и монотонности функции для области определения

На графике видно, что функция монотонно убывает на промежутке $\lbrack-4;\;0\rbrack$ и монотонно возрастает на промежутке$ \lbrack0;\;4\rbrack$. Исходя из этого и непрерывности функции, можно экстраполировать данную закономерность на всю область определения. Так как минимальное значение данной функции равняется нулю, область значений будет следующей:

$\mathrm E(\mathrm f)=\lbrack0;\;+\infty)$

Производная, min и max

Описанные выше способы подходят не для всех ситуаций. В общем случае, задача по определению области значений функции всегда сводится к нахождению ее минимального и максимального значения или точек экстремума.

Определение

Согласно теореме Ферма, в точках локального экстремума производная исследуемой функции равняется нулю.

Важно понимать, что сами локальный экстремум не обязательно является максимумом или минимумом для функции в целом. Такие точки называются критическими или стационарными

Поэтому, кроме самих точек необходимо определять промежутки возрастания и убывания:

если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с (+) на (-), то эта точка является максимумом;
если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (-) на (+), то такая точка является минимумом;
если при переходе знак производной не меняется, то экстремума в данной точке нет.

Кроме того, экстремумы функции можно определять по второй производной. Предположим, при исследовании функции обнаружилась некая критическая точка x_1. Для нее справедливы следующие неравенства:

Если $f»(x_1)>0$, то $x_1$ — точка минимума.

Если $f»(x_1)<0$, то $x_1$ — точка максимума.

Способы нахождения областей значений функций.

последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
метод оценок/границ;
использование свойств непрерывности и монотонности функции;
использование производной;
использование наибольшего и наименьшего значений функции;
графический метод;
метод введения параметра;
метод обратной функции.

Рассмотрим некоторые из них.

Используя производную

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:

найти производную данной функции f ‘(x);
найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку;
вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках;
среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения;
Множество значений функции заключить между этими значениями.

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Метод границ/оценок

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства — определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Свойства непрерывной функции

Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Области значений основных элементарных функций

Функция	Множество значений
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^{2n}$	E(y) = [0;+∞)
$y = x^{2n +1}$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = k/x$	E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)
$y = x^{\frac{1}{2n}}$	E(y) = [0;+∞)
$y = x^{\frac{1}{2n+1}}$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = a^{x}$	E(y) = (0;+∞)
$y = \log_{a}{x}$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \sin{x}$	E(y) =
$y = \cos{x}$	E(y) =
$y = {\rm tg}\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = {\rm ctg}\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin{x}$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos{x}$	E(y) =
$y = {\rm arctg}\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = {\rm arcctg}\, x$	E(y) = (0; π)

Типы функций

При определении области значений функции необходимо учитывать ее фундаментальные особенности. Обозначенная выше классификация — не единственная. У математических функций есть некоторые параметры, которые влияют как на саму область значений, так и на выбор методики ее нахождения.

Важные свойства

К наиболее важным для поиска области значений функции относят следующие ее свойства:

Непрерывность. Непрерывной называется функция, на графике которой нет «точек разрыва». Таким точкам соответствуют значения переменной, при которых функция не имеет смысла, то есть — исключенные из области определения.
Монотонность. Монотонной называется функция, которая не возрастает или не убывает на всей области определения.
Четность. Четной называется функция, не меняющая своего значения при смене знака переменной. То есть, f(-x)=f(x). Соответственно, нечетная функция меняет значение. Выделяют также функции общего вида, которые не симметричны относительно центра или оси координат.
Периодичность. Периодическая функция повторяет свои значения через определенные равные интервалы значений переменной.

Что такое функция в алгебре

Определение

Функция в алгебре — некое математическое выражение y=f(x), где каждому значению переменной x соответствует одно значение переменной y.

Из этого следует, что решений у функции может быть много. Для обозначения совокупностей таких решений вводятся особые термины.

Определние

Множество значений функции y=f(x) — совокупность значений переменной y, которые она принимает при переборе всех значений переменной x на заданном отрезке X.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Определение

Областью значений функции y=f(x) называется такое множество значений, которые функция y принимает при переборе всех значений аргумента x из области определения. Область значений обозначается как E(f).

Определение

Область допустимых значений (область определения) функции — такое множество всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается.

Область значений функции вместе с областью ее определения формирует границы для отображения данной функции в виде графика.

Пример решения

Задача

Дана функция $y=x^4-2\cdot x^2-5$. Найти область ее значений.

Решение:

Так как функция не относится к элементарным и по условию задачи область поиска не ограничена, воспользуемся методом нахождения точек минимума и максимума.

Найдем производную данной функции y’, воспользовавшись формулами из таблицы производных:

$y’=4\cdot x^3-4\cdot x$

Согласно теореме Ферма, в точках экстремума производная равняется нулю.

Начнем решать полученное уравнение:

$4\cdot x^3-4\cdot x=0$

$4\cdot x\cdot(x^2-1)=0$

$4\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x+1)=0$

Так как уравнение равняется нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, разобьем его на три составляющие:

$4\cdot x=0$
$x-1=0$
$x+1=0$

Получим следующие результаты:

$x_1=0$

$x_2=1$

$x_3=-1$

Данные точки являются критическими. В итоге мы имеем четыре промежутка:

$(-\infty;\;-1\rbrack,\;\lbrack-1;\;0\rbrack,\;\lbrack0;\;1\rbrack\;и\;\lbrack1;\;+\infty).$

Чтобы понять, какие из точек являются минимальными и максимальными, необходимо взять по числу из каждого промежутка и решить производную $y’=4\cdot x^3-4\cdot x $относительно них. Сам результат вычислений не важен, учитывать нужно только знак: (+) или (-).

Возьмем $x_1^\ast=-2;\;x_2^\ast=-0.5;\;x_3^\ast=0.5;\;x_4^\ast=2.$

На первом и третьем промежутках производная принимает отрицательное значение, на втором и четвертом — положительное. Следовательно, найденные ранее точки $x_1=-1\;и\;x_3=1$ являются точками минимума, а точка $x_2=1$ — точкой максимума. Это еще не окончательный результат, так как необходимо понять, на каких промежутках функция возрастает, а на каких — убывает.

Согласно определению, в точка минимума функция переходит от убывания к возрастанию, а в точке максимума — наоборот. Таким образом, на промежутке $(-\infty;\;-1\rbrack $ функция монотонно убывает и монотонно возрастает на промежутке $\lbrack1;\;+\infty)$. Из этого следует, что точка $x_2=1$ является лишь локальным экстремумом. Значит, область значений функции $y=x^4-2\cdot x^2-5$ не ограничивается ей.

Чтобы вычислить минимальное значение, подставляем полученные точки минимума в изначальное выражение. Получаем $y_{min}=-6$.

Область определения функции $y=x^4-2\cdot x^2-5$ следующая:

Виды функций

Для каждой функции, в зависимости от ее структуры, область значений будет своя. Рассмотрим основные виды элементарных математических функций.

$y=k\cdot x+b$

Область значений включает в себя все действительные числа: $E(f)=(-\infty;\;+\infty).$

Обратная пропорциональность

$y=\frac kx$

Согласно свойств данной функции, $k\neq0$, так как в этом случае ее график вместо гиперболы приобретает вид прямой линии, проходящей по оси ординат за исключением точки (0; 0). Исходя из этого, условия, область значений функции обратной пропорциональности включает в себя все действительные числа, кроме нуля:

$E(f)=(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty).$

Квадратичная (квадратная)

$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

В ее основе лежит стандартный квадратный трехчлен $a\cdot x^2+b\cdot x+c$, причем $ a\neq0$, так как иначе функция сокращается до линейной. В общем виде область значений квадратичной функции ограничивается вершиной параболы, которая является ее графиком.

Координата вершины $y_0$ рассчитывается так:

$y_0=-\frac{b^2-4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}.$

Область значений зависит от коэффициента a:

если a>0: $E(f)=\lbrack y_0;\;+\infty)$
если a<0: $E(f)=(-\infty;\;y_0\rbrack$

Квадратную функцияю y=x^2 можно рассматривать как частный случай квадратичной или степенной функций. Так как при возведении числа в четную степень результат будет всегда положительным, область значений для нее следующая:

$\mathrm E(\mathrm f)=\lbrack0;\;+\infty) $

Степенная

$y=x^n$

Область значений степенной функции зависит от того, к какому числовому множеству относится показатель степени n:

Если $\mathrm n\in\mathbb{N}$, то есть является натуральным числом (за исключением нуля), то область значений включает в себя все действительные числа: $ \mathrm E(\mathrm f)=(-\infty;\;+\infty).$
Если $\mathrm n\in\mathbb{R}$, то есть относится к действительным числам, то область значений степенной функции сужается: $\mathrm E(\mathrm f)=(0;\;+\infty)$.

Показательная

$\mathrm y=\mathrm a^{\mathrm x}$

Для показательной функции существует одно определяющее условие: $\mathrm a>0$. В связи с этим область ее значений включает в себя все положительные числа:

$\mathrm E(\mathrm f)=(0;\;+\infty) $

Логарифмическая

$\mathrm y=\log_{\mathrm a}\left(\mathrm x\right)$

По своим свойствам логарифмическая функция обратна показательной. Для данных функций область определения и область значений меняются местами соответственно. ОЗ логарифмической функции включает в себя все действительные числа: