Определитель матрицы или просто определитель и его вычисление

Свойства определителя n-го порядка

В двух предыдущих параграфах мы уже использовали одно из свойств определителя n-го порядка.
В некоторых случаях для упрощения вычисления определителя можно пользоваться другими важнейшими свойствами определителя. Например,
можно привести определитель к сумме двух определителей, из которых один или оба могут быть удобно разложены по какой-либо строке или столбцу.
Случаев такого упрощения предостаточно и решать вопрос об использовании того или иного свойства определителя следует индивидуально.

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.

В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.

И на десерт — решение задачи, с которой начинается эта статья.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение.

Шаг 1. Вычисляем определитель второго порядка, который находится в левой части уравнения.
Элементы главной диагонали перемножаются, из этого произведения вычитается произведение элементов побочной диагонали:

Шаг 2. Вычисляем определитель третьего порядка, который образует правую часть уравнения.
Делаем это по «правилу треугольников»:

Приравниваем обе части, получаем уравнение и решаем его:

В дальнейшем в курсе высшей математики с определителем выпадет встретится
при изучении следующих тем: решение систем линейных уравнений методом Крамера,
экстремум функции двух переменных,
векторное и смешанное произведение векторов,
линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами, уравнения плоскости.

А для усвоения практического смысла составления матриц и определителей упомянём один из многочисленных примеров.
Если три магазина одной сети продают три различных вида товаров, то отчёт о продажах за год можно представить в виде таблицы из трёх строк и трёх столбцов, содержащей некоторые числа.
Первый индекс каждого числа — это номер магазина, а второй — номер вида товара. Впрочем, этот и другие примеры станут вам более понятны
при решении систем линейных уравнений.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Продолжение темы «Определители»

Продолжение темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Онлайн-калькулятор

Как вы уже поняли, метод получил название правила треугольника из-за того, что умноженные элементы матрицы образуют вид треугольников.

Чтобы лучше это понять, давайте рассмотрим пример:

Теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами по правилу треугольника.

Дано:

A=(211214211256251214)A= \begin{pmatrix} 21 & 12 & 14 \\ 21 & 12 & 56 \\ 25 & 12 & 14 \end{pmatrix}A=⎝⎛212125121212145614⎠⎞

Решение:

∣A∣=21⋅12⋅14+12⋅56⋅25+14⋅21⋅12−14⋅12⋅25−12⋅56⋅21−21⋅12⋅14=2016|A| =21 \cdot 12 \cdot 14 + 12 \cdot 56 \cdot 25 + 14 \cdot 21 \cdot 12 — 14 \cdot 12 \cdot 25 — 12 \cdot 56 \cdot 21 — 21 \cdot 12 \cdot 14 = 2016∣A∣=21⋅12⋅14+12⋅56⋅25+14⋅21⋅12−14⋅12⋅25−12⋅56⋅21−21⋅12⋅14=216

Теперь данную матрицу перепишем и приравняем ее к определителю

∣A∣=(211214211256251214)=2016|A| = \begin{pmatrix} 21 & 12 & 14 \\ 21 & 12 & 56 \\ 25 & 12 & 14 \end{pmatrix} = 2016∣A∣=⎝⎛212125121212145614⎠⎞=216

Вычислим более сложный пример.

Нам дано:

A=(154422565166)A= \begin{pmatrix} 15 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 56 & 5 & 166 \end{pmatrix}A=⎝⎛152564542166⎠⎞

Требуется найти определитель методом треугольника.

Подставим данные в формулу:

∣A∣=15⋅⋅166+4⋅2⋅56+4⋅2⋅5−4⋅⋅56−5⋅2⋅15−2⋅4⋅166=−990|A| =15 \cdot 0 \cdot 166 + 4 \cdot 2 \cdot 56 + 4 \cdot 2 \cdot 5 — 4 \cdot 0 \cdot 56 — 5 \cdot 2 \cdot 15 — 2 \cdot 4 \cdot 166 = -990∣A∣=15⋅⋅166+4⋅2⋅56+4⋅2⋅5−4⋅⋅56−5⋅2⋅15−2⋅4⋅166=−99

∣A∣=(154422565166)=−990|A| = \begin{pmatrix} 15 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 56 & 5 & 166 \end{pmatrix} = -990∣A∣=⎝⎛152564542166⎠⎞=−99

Итак, определитель матрицы равен -990.

Для общего понимания указанной темы вычислим определитель матрицы, где узлами являются дробные числа:

A=(1612152114992848145122591)A= \begin{pmatrix} {16 \over 12} & {15 \over 21} & {14 \over 99} \\ {2 \over 8} & {4 \over 8} & {14 \over 5} \\ {12 \over 2} & {5 \over 9} & 1 \end{pmatrix}A=⎝⎛1216822122115849599145141⎠⎞

Определим решение для данной матрицы:

∣A∣=1612⋅48⋅1+1521⋅145⋅122+1499⋅28⋅59−1499⋅48⋅122−59⋅145⋅1612−28⋅1521⋅1=24971524948|A| ={16 \over 12} \cdot {4 \over 8} \cdot 1 + {15 \over 21} \cdot {14 \over 5} \cdot {12 \over 2} + {14 \over 99} \cdot {2 \over 8} \cdot {5 \over 9} — {14 \over 99} \cdot {4 \over 8} \cdot {12 \over 2} — {5 \over 9} \cdot {14 \over 5} \cdot {16 \over 12} — {2 \over 8} \cdot {15 \over 21} \cdot 1 = {249715 \over 24948}∣A∣=1216⋅84⋅1+2115⋅514⋅212+9914⋅82⋅95−9914⋅84⋅212−95⋅514⋅1216−82⋅2115⋅1=24948249715

∣A∣=(1612152114992848145122591)=24971524948|A| = \begin{pmatrix} {16 \over 12} & {15 \over 21} & {14 \over 99} \\ {2 \over 8} & {4 \over 8} & {14 \over 5} \\ {12 \over 2} & {5 \over 9} & 1 \end{pmatrix} = {249715 \over 24948}∣A∣=⎝⎛1216822122115849599145141⎠⎞=24948249715

Ответом станет ∣A∣=24971524948|A| = {249715 \over 24948}∣A∣=24948249715

Вам нужно решить задачу по математике онлайн? Обращайтесь к нашим профильным экспертам!

Определение определителя матрицы, вычисление определителя матрицы по определению.

Напомним несколько вспомогательных понятий.

Определение.

Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов.

Для множества, содержащего n элементов, существует n! (n факториал) перестановок порядка n. Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел: . Запишем все перестановки (всего их шесть, так как ):

Определение.

Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q, для которой p-ый элемент перестановки больше q-ого.

В предыдущем примере инверсией перестановки 4, 9, 7 является пара p=2, q=3, так как второй элемент перестановки равен 9 и он больше третьего, равного 7. Инверсией перестановки 9, 7, 4 будут три пары: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) и p=2, q=3 (7>4).

Нас будет больше интересовать количество инверсий в перестановке, а не сама инверсия.

Пусть — квадратная матрица порядка n на n над полем действительных (или комплексных) чисел. Пусть – множество всех перестановок порядка n множества . Множество содержит n! перестановок. Обозначим k–ую перестановку множества как , а количество инверсий в k-ой перестановке как .

Определение.

Определитель матрицы А есть число, равное .

Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А. Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1), если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

Определитель матрицы А обычно обозначается как , также встречается обозначение det(A). Также можно услышать, что определитель называют детерминантом.

Итак, .

Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы .

Вычисление определителя квадратной матрицы второго порядка — формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы порядка 2 на 2 в общем виде.

В этом случае n=2, следовательно, n!=2!=2.

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2, она имеет вид .

Пример.

Вычислите определитель квадратной матрицы порядка .

Решение.

В нашем примере . Применяем полученную формулу :

Вычисление определителя квадратной матрицы третьего порядка — формула и пример.

Найдем определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 в общем виде.

В этом случае n=3, следовательно, n!=3!=6.

Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы .

Имеем

Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3, она имеет вид

Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4, 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид.

Пример.

Вычислите определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3.

Решение.

В нашем примере

Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка:

Формулы для вычисления определителей квадратных матриц второго и третьего порядков очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить.

Объем параллелепипеда

Связь между определителем и объемом не очевидна, однако мы можем предположить для начала, что все углы прямые, т. е. грани взаимно перпендикулярны, и мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом. Тогда объем его равен просто произведению длин ребер .

Мы хотим получить ту же самую формулу с помощью определителя. С этой целью вспомним, что ребра параллелепипеда представляются строками матрицы . В нашем случае эти строки
взаимно ортогональны, так что

Величины суть квадраты длин строк матрицы, т. е. квадраты длин ребер, и нули вне диагонали получаются вследствие ортогональности строк. Переходя к определителям, получаем

Извлекая корень, мы и приходим к требуемому соотношению:
определитель равняется объему. Знак при будет зависеть от того, образуют ребра правостороннюю систему координат вида или левостороннюю .

Если область не прямоугольна, то объем уже не равен произведению длин ребер. В плоском случае «объем» параллелограмма равен произведению длины основания на высоту .

Вектор длины есть разность между вектором второй строки и его проекцией на вектор первой строки.

Площадь паралелограмма равна .

Площади квадрата и параллелограмма.

Первый представляет собой единичный квадрат, и его площадь, равна 1. Второй есть параллелограмм с единичными основанием и высотой; его площадь не зависит от «сдвига», даваемого коэффициентом , и равна 1.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель
$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$

$$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$

Ответ. $\Delta=-80$

Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $\Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$

$$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Для чего используются детерминанты?

Определитель полезен при определении решения линейных уравнений, фиксируя, как линейное преобразование изменяет объем или площадь и изменяет переменные в интегралах. Он отображается как функция, вход которой представляет собой квадратную матрицу, а выход представляет собой одно число.

Что означает определитель 0?

Определитель 0 означает, что объем равен нулю (0). Это может произойти только тогда, когда один вектор перекрывает один другой.

Может ли определитель быть отрицательным?

Поскольку это действительное число, а не матрица. Значит, это может быть отрицательное число. Определитель существует только для квадратных матриц (2 × 2, 3 × 3, … n × n).

Нахождение обратной матрицы

Теоретический материал по теме — нахождение обратной матрицы.

Пример

Задание. Для матрицы $A=\left( \begin{array}{ll}{7} & {4} \\ {5} & {3}\end{array}\right)$
найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице
$A$ справа единичную матрицу второго порядка:

$A\left|E=\left( \begin{array}{ll|ll}{7} & {4} & {1} & {0} \\ {5} & {3} & {0} & {1}\end{array}\right)\right.$

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

$A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \\ {5} & {3} & {0} & {1}\end{array}\right)\right.$

От второй строки отнимаем две первых:

$A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \\ {1} & {1} & {-2} & {3}\end{array}\right)\right.$

Первую и вторую строки меняем местами:

$A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|r|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \\ {2} & {1} & {1} & {-1}\end{array}\right)\right.$

От второй строки отнимаем две первых:

$A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \\ {0} & {-1} & {5} & {-7}\end{array}\right)\right.$

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

$A\left|E \sim \left( \begin{array}{rr|rr}{1} & {0} & {3} & {-4} \\ {0} & {1} & {-5} & {7}\end{array}\right)\right.$

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в
правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что $A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}{3} & {-4} \\ {-5} & {7}\end{array}\right)$

Ответ. $A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}{3} & {-4} \\ {-5} & {7}\end{array}\right)$

Пример

Задание. Найти обратную матрицу для $A=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {1} & {2}\end{array}\right)$

Решение. Шаг 1. Находим определитель: $\Delta=\left| \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {1} & {2}\end{array}\right|=2-1=1 \neq 0$

Шаг 2. $A^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}{2} & {-1} \\ {-1} & {1}\end{array}\right)$

Шаг 3. $A^{-1}=\frac{1}{\Delta} \cdot A^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}{2} & {-1} \\ {-1} & {1}\end{array}\right)$

Ответ. $A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}{2} & {-1} \\ {-1} & {1}\end{array}\right)$

Пример

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=\left( \begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {-1} & {1} \\ {1} & {3} & {-1}\end{array}\right)$

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$\Delta=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {-1} & {1} \\ {1} & {3} & {-1}\end{array}\right|=1 \cdot(-1) \cdot(-1)+2 \cdot 3 \cdot 2+0 \cdot 1 \cdot 1-$

$-1 \cdot(-1) \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 \neq 0$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную.
Обратная матрица $A^{-1}$ к матрице
$A$ находится по формуле:

$A^{-1}=\frac{1}{\Delta} \cdot \widetilde{A}^{T}$

Найдем союзную матрицу $\check{A}$ , для этого вычислим алгебраические
дополнения к элементам матрицы $A$ :

$A_{11}=(-1)^{1+1} \left| \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {3} & {-1}\end{array}\right|=(-1) \cdot(-1)-3 \cdot 1=1-3=-2$

$A_{12}=(-1)^{1+2} \left| \begin{array}{rr}{2} & {1} \\ {1} & {-1}\end{array}\right|=-=-(-2-1)=3$

$A_{13}=(-1)^{1+3} \left| \begin{array}{rr}{2} & {-1} \\ {1} & {3}\end{array}\right|=2 \cdot 3-1 \cdot(-1)=6+1=7$

$A_{21}=(-1)^{2+1} \left| \begin{array}{rr}{0} & {2} \\ {3} & {-1}\end{array}\right|=-=-(0-6)=6$

$A_{22}=(-1)^{2+2} \left| \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {1} & {-1}\end{array}\right|=1 \cdot(-1)-1 \cdot 2=-1-2=-3$

$A_{23}=(-1)^{2+3} \left| \begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {1} & {3}\end{array}\right|=-=-(3-0)=-3$

$A_{31}=(-1)^{3+1} \left| \begin{array}{rr}{0} & {2} \\ {-1} & {1}\end{array}\right|=0 \cdot 1-(-1) \cdot 2=0+2=2$

$A_{32}=(-1)^{3+2} \left| \begin{array}{cc}{1} & {2} \\ {2} & {1}\end{array}\right|=-=-(1-4)=3$

$A_{33}=(-1)^{3+3} \left| \begin{array}{rr}{1} & {0} \\ {2} & {-1}\end{array}\right|=1 \cdot(-1)-2 \cdot 0=-1-0=-1$

Таким образом, $\tilde{A}=\left( \begin{array}{rrr}{-2} & {3} & {7} \\ {6} & {-3} & {-3} \\ {2} & {3} & {-1}\end{array}\right)$

Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

$\widetilde{A}^{T}=\left( \begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \\ {3} & {-3} & {3} \\ {7} & {-3} & {-1}\end{array}\right)$

Итак, $A^{-1}=\frac{1}{12} \left( \begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \\ {3} & {-3} & {3} \\ {7} & {-3} & {-1}\end{array}\right)$

Ответ. $A^{-1}=\frac{1}{12} \left( \begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \\ {3} & {-3} & {3} \\ {7} & {-3} & {-1}\end{array}\right)$

Постановка задачи

Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица, и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры, но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений. Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Понятие определителя n-го порядка

Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей:

Решить уравнение:

и многих других, которые так любят придумывать преподаватели.

Определитель матрицы или просто определитель играет важную роль в решении систем линейных уравнений. В общем-то определители и были придуманы для
этой цели. Поскольку часто говорят также «определитель матрицы», упомянем здесь и матрицы. Матрица — это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами.
Квадратная матрица — таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

Понять логику записи определителей легко по следующей схеме. Возьмём знакомую вам со школьной скамьи
систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: в первой строке — из первого уравнения,
во второй строке — из второго уравнения:

Например, если дана система уравнений

то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель:

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

(1)

Числа называют
элементами определителя (1) (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

По теме «Определители» на сайте есть
также отдельный урок по вычислению минора и алгебраического дополнения.

Вычисление определителя

Теоретический материал по теме — методы вычисления определителей.

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка
$\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.

$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$

$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Пример

$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$

$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$

$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$

$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$

$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$

$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$

Ответ. $\Delta=-80$