Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями

Способы вычисления и рекомендации

Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.

Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.

Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.

Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:

1. Вычисление производных.
2. Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.
3. Решение систем уравнений.
4. Выполнения операций над матрицами и определителями.
5. Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.
6. Расчет точек перегиба.
7. Вычисление рядов Фурье.
8. Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.

Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.

Площадь прямоугольника

Ещё из младшей школы известно, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажем этот факт, используя только свойства площади и выведенную нами ранее формулу площади квадрата.

Возьмем произвольный прямоугольник со сторонами a и b. Далее достроим его до квадрата со стороной (а + b):

С одной стороны, площадь большого квадрата (со стороной а + b) равна величине (а + b)2. С другой стороны, он состоит из 4 фигур, а потому его площадь равна сумме

Итак, мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 и 8 см?

Решение. Просто перемножаем эти числа:

Задание. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

Решение. Необходимо разбить фигуры на несколько прямоугольников:

Далее считаем площадь каждого отдельного прямоугольника:

Задание. Полкомнаты необходимо покрыть паркетом. Длина и ширина комнаты равны 6 и 5,5 метрам, а каждая дощечка паркета имеет габариты 30х5 см. Сколько дощечек паркета необходимо купить для ремонта?

Решение. В таких задачах прежде всего следует все длины выразить в одних единицах измерения. Перепишем габариты комнаты:

Важно убедиться, что пол можно полностью покрыть целым числом дощечек, не используя какие-либо дощечки наполовину. Для этого габариты дощечки должны быть габаритам комнаты

Это условие соблюдается:

Получается, что для покрытия пола дощечки необходимо разместить их в 20 рядов, в каждом из которых будет 110 досок. Тогда общее количество досок будет равно

Задание. Площадь прямоугольника равна 64, а одна из его сторон имеет длину 16. Найдите вторую сторону прямоугольника.

Решение. Запишем формулу площади прямоугольника:

Задание. Найдите стороны прямоугольника, если площадь равна 500, а одна из сторон в 5 раз больше другой стороны.

Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х. Тогда большая сторона будет в 5 раз больше, то есть она равна 5х. Площадь прямоугольника будет вычисляться как произведение этих чисел

Мы получили два значения х, 10 и (– 10). Естественно, длина отрезка не может выражаться отрицательным числом, поэтому нам подходит только значение 10. Это длина меньшей стороны. Большая же сторона в 5 раз длиннее, то есть ее длина равна

Задание. Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 5 см, а площадь прямоугольника равна 150 см2. Вычислите обе стороны прямоугольника.

Решение. Снова обозначим длину меньшей стороны буквой х, тогда большая сторона будет иметь длину х + 5 см. По условию произведение этих сторон равно 150:

Это обычное квадратное уравнение, решаемое с помощью:

Снова получили два корня, из которых только один является положительным. Итак, меньшая сторона равна 10 см. Тогда большая сторона буде равна

Задание. Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь составляет 15 см2. Каковы стороны этого прямоугольника?

Решение. Обозначим смежные стороны буквами a и b. Тогда и две другие стороны также будут равны а и b. Так как периметр (его обозначают буквой Р) по определению является суммой длин всех сторон, то для прямоугольника он будет равен:

Если сюда вместо S подставить 15, а вместо а выражение 8 – b, то получим такое уравнение:

Оба полученных корня являются положительными числами, то есть устраивают нас. Зная b, легко найдем и a:

В первом случае получается, что стороны равны 3 и 5 см. Во втором случае получились те же числа, только в другом порядке: 5 и 3 см. То есть эти два ответа, по сути, идентичны друг другу.

Ответ: 5 см; 3 см.

Площадь криволинейной трапеции: исходные данные и формулы

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые
называются криволинейными трапециями.

Примеры таких фигур — на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла
предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу — ось
абсцисс (), а слева и справа — некоторые прямые. Простота в том,
что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить
большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во
всеоружии.

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

Определённый интеграл от функции,
задающей кривую, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает
первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу

Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком
минус.
Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих
фигуру слева и справа: , , где
a и b — числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу)
должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции .

Значения «икса» должны принадлежать отрезку . То есть
не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок,
а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже,
это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси «иксов». А значит с пределами
интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s
криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

 (1).

Если же (график функции расположен ниже оси ),
то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

. (2)

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры — функции, соответственно
и , то площадь такой фигуры
вычисляется по формуле

. (3)

Мощность множества

Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, а именно количество его элементов. И интуиция нас не обманывает!

Мощность пустого множества равна нулю.

Мощность множества  равна шести.

Мощность множества букв русского алфавита  равна тридцати трём.

И вообще – мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.

…возможно, не все до конца понимают, что такое конечное множество – если начать пересчитывать элементы этого множества, то рано или поздно счёт завершится. Что называется, и китайцы когда-нибудь закончатся.

Само собой, множества можно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле называется равномощностью. Равномощность определяется следующим образом:

Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Множество  студентов равномощно множеству  тем рефератов, множество  букв русского алфавита равномощно любому множеству из 33 элементов и т.д. Заметьте, что именно любому множеству из 33 элементов – в данном случае имеет значение лишь их количество. Буквы русского алфавита можно сопоставить не только с множеством номеров 1, 2, 3, …, 32, 33, но и вообще со стадом в 33 коровы.

Гораздо более интересно обстоят дела с бесконечными множествами. Бесконечности тоже бывают разными! …зелёными и красными Самые «маленькие» бесконечные множества – это счётные множества. Если совсем просто, элементы такого множества можно пронумеровать. Эталонный пример – это множество натуральных чисел . Да – оно бесконечно, однако у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ есть номер.

Примеров очень много. В частности, счётным является множество всех чётных натуральных чисел . Как это доказать? Нужно установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел или попросту пронумеровывать элементы:
Взаимно-однозначное соответствие установлено, следовательно, множества равномощны и множество  счётно. Парадоксально, но с точки зрения мощности – чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных!

Множество целых чисел тоже счётно. Его элементы можно занумеровать, например, так:

Более того, счётно и множество рациональных чисел . Поскольку числитель – это целое число (а их, как только что показано, можно пронумеровать), а знаменатель – натуральное число, то рано или поздно мы «доберёмся» до любой рациональной дроби  и присвоим ей номер.

А вот множество действительных чисел  уже несчётно, т.е. его элементы пронумеровать невозможно. Данный факт хоть и очевиден, однако строго доказывается в теории множеств. Мощность множества действительных чисел также называют континуумом, и по сравнению со счётными множествами это «более бесконечное» множество.

Поскольку между множеством  и числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие (см. выше), то множество точек числовой прямой тоже несчётно. И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке – точек столько же! Классический пример:
Поворачивая луч  против часовой стрелки до его совмещения с лучом  мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками синих отрезков. Таким образом, на отрезке  столько же точек, сколько и на отрезке и !

Данный парадокс, видимо, связан с загадкой бесконечности… но мы сейчас не будем забивать голову проблемами мироздания, ибо на очереди основы математической логики, а не философия =)

Спасибо за внимание и успехов вам в учёбе!

Решение заданий:

Задание 1

1)

2)  – это множество нечётных натуральных чисел:

3)

 – все точки  координатной плоскости
, удовлетворяющие двум указанным неравенствам. Аналогично:

Задание 2 Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урока Функции и графики:

(Переход на главную страницу)

Квадрат и окружность

Из свойств рассматриваемой фигуры выплывает, что в квадрат можно вписать окружность и также ее описать вокруг фигуры.

Первый вариант – нахождение периметра по радиусу описанной окружности. Вписанным считается квадрат, вершины которого находятся на окружности. Радиус окружности равен 1/2 длине диагонали. Выходит, что диаметр равен диагонали. Теперь необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, который получился в результате деления диагональю квадрата. Решение задачи сводится к нахождению сторон этого треугольника. ВС – это известная величина, диаметр описанной окружности. Допустим, он равен 3 см. Теорема Пифагора в случае с равными сторонами треугольника, будет выглядеть так: 2с2=32 . В формуле обозначение с – это длина стороны треугольника и квадрата; 3 – известная величина гипотенузы. Отсюда, с=√9/2. Зная сторону квадрата, его периметр посчитать не проблема.

Особенностью вписанной окружности является деление сторон квадрата пополам. Поэтому радиус равняется половине длины стороны квадрата. Тогда сторона с=2*радиус. Периметр квадрата в этом случае равен 4*2*радиус или 8 радиусам окружности.

Вопрос 2. Как найти площадь двух фигур в Автокаде?

К сожалению, стандартные свойства тут уже не помогут. Т.е. если Вы выделим два замкнутых объекта, нам не покажут сумму их площадей.

Шаг 1. Для того, чтобы измерить площади двух фигур сразу, требуется найти утилиту измерить, а в ней команду измерить площадь. Находиться она во вкладке “главная”, панель “утилиты”. Раскрыв панель “утилиты”, мы увидим команду “измерить”, раскрыв список уточняем, что мы хотим измерить, выбираем “площадь”.

Шаг 2. Выбрав команду “измерить площадь”, кликаем правой кнопкой мышки и в списке выбираем “добавить площадь”. Так же Вы можете выбрать эту команду в командой строке.

Шаг 3. Далее, нам нужно опять кликнуть правой кнопкой мышки или выбрать на командной строке пункт “объекты”, тем самым, нам не нужно будет обводить контуры объектов для вычисления площади, достаточно будет просто выделить оба объекта.

Примечание. Поверьте, обводить контур для поиска площади достаточно долгое занятие. А если нету опыта, можно сделать это и не с первой попытки. Куда проще выбрать объект и дело с концом.

Шаг 4. Теперь нам осталось выбрать контуры наших объектов, т.е. две наших замкнутых фигуры.

После выбора, объекты будут подсвечены зеленым цветом. Это означает, что мы все правильно сделали, а общую площадь можно посмотреть в командной строке.

Решаем задачи вместе

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс ()
и прямыми , .

Решение. Так как
на отрезке , то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
,
прямой и осью абсцисс ().

Решение. Результат применения формулы (1):

Если

то ;
если

то , и т.д.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
, осью абсцисс ()
и прямой .

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи — криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в
точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку ,
по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
и
находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры,
заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника и криволинейной
трапеции . При вычислении площади треугольника
пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры —
абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой и
параболы, а C — точкой пересечения параболы с осью ).
Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим

(абсциссу точки A) и
(абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично
получим ,
(абсциссы точек
C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ,
если уравнение кривой
и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек:
Площадь криволинейной
трапеции находим по формуле (1):

.

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
и осью
абсцисс ().

Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её
площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы
и
точек пересечения
параболы с осью . Следовательно,

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс ()
и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

.

Найдём отдельно каждое слагаемое:

.

.

Окончательно находим площадь:

.

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
и кривой
.

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

,

где a и b — абсциссы точек A и B. Найдём их,
решая совместно уравнения:

Отсюда

Окончательно находим площадь:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).

Пример 9. Найти площадь фигуры, заключённой между параболами
и
.

Решение. Требуется вычислить площадь фигуры ,
у которой боковые отрезки выродились в точки A и B пересечения парабол.
Решая совместно (как систему) уравнения парабол, находим их абсциссы: и
. На отрезке
получаем .
Следовательно, по формуле (3) находим площадь фигуры:

Понятие площади фигур

Распределите фигуры на группы.

Какие фигуры вы видите?

Прямые и кривые линии, прямые и кривые, овалы, круг, прямоугольники, квадраты, треугольники.

Чем похожи данные фигуры?

Их можно начертить на плоскости.

Чем они отличаются?

Из бумаги можно вырезать только плоские фигуры, у которых кроме длин сторон, можно вычислить и новую величину — площадь.

Для чего это надо нам знать? Когда может пригодиться?

Величины нужны не только для решения математических задач, но и в жизни. Чтобы сделать поделку, надо определить, какое количество бумаги потребуется. При ремонте квартиры мы считаем, сколько купить рулонов обоев, чтобы оклеить стены комнаты. Величина понадобится при постройке дома, при изготовлении какой-либо продукции в промышленности. Даже в саду и огороде хозяйки считают, хватит ли места на грядке.

Как можно объяснить слово площадь? Значение понятий мы узнаем в толковых словарях.

Прочитайте, какой смысл нового термина в словаре С.И. Ожегова.

Первое объяснение:

Как называется главное место столицы нашей страны?

Красная площадь в Москве.

Вторая формулировка:

Общую и полезную площадь имеют разные помещения:

Квартира, в которой вы живете.

Классная комната, где вы учитесь.

Спортивный зал, столовая, бассейн школы.

Разные объекты, занимающие место на земле, можно встретить в любом городе.

Игровая площадка

Строительная площадка

Интересно, что некоторые люди заводят дома ушастых сов. Но держать птиц в клетке не рекомендуется: для них требуется более просторная комната, где они могли бы летать.

Жилая площадь квартиры

Любым диким животным лучше жить на воле. Сова – это хищная птица. Она питается грызунами, мышами, полевками, насекомыми и птицами. В этом отношении колоссальная польза от совы состоит в том, что за одно лето она может уничтожить около одной тысячи полевых мышей. Каждый грызун уничтожает более килограмма зерна на посевных площадях страны.

Поле с зерновыми культурами

Понятие площади фигуры:

В математике говорят — площадь фигуры. Это величина пространства, ограниченного замкнутым контуром (периметром фигуры).

Ее можно посчитать математическими методами. С этой целью еще в далекой древности была создана целая наука под названием геометрия. Она применялась для деления поля на земельные участки, но потом ее стали использовать для измерения различных фигур. Поэтому их называют геометрическими фигурами, их место на плоскости — площадью.

Круг

Круг — это множество точек на плоскости, которые удалены от центра на равном радиусу расстоянии.

Окружность — это граница круга.

Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.

Формулы площади круга:

1. S = π × r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
2. S = π × d2 : 4, где d — это диаметр.
3. S = L2​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.

L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Теорема.

Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке , причем для любого значения x из . Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, и вычисляется по формуле .

Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, и : .

Доказательство.

Покажем справедливость формулы для трех случаев:

В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции равна площади фигуры . Следовательно,

Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:

В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:

Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox.

Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок на n частей , где . Фигуру G можно представить объединением фигур . Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как

Следовательно,

Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация общего случая.

Таким образом, формула доказана.

Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).

Вопрос 1. Как найти площадь любой замкнутой фигуры в Автокаде?

Шаг 1. Первое что нужно сделать, это просто выделить контур фигуры. Если фигура одна и она замкнута, следует кликнуть правую кнопку мыши и вызвать контекстное меню. В нем нам нужно выбрать “свойства”.

Шаг 2. В свойствах, нам нужно найти вкладку “геометрия”, нас интересует пункт “площадь”

Обратите внимание, что площадь указана в квадратных миллиметрах, поэтому значение такое большое

Шаг 3. Если нам нужно перевести значение площади в квадратные метры, то следует щелкнуть по числовому значению площади и когда появиться пиктограмма калькулятора, кликнуть уже по нему.

Шаг 4. В окне быстрого калькулятора, нужно раскрыть вкладку “преобразование единиц”.

Шаг 5. Теперь нам требуется найти строку “Преобразовать из…” раскрыть его и выбрать “миллиметры” в качестве исходной единицы измерения.

Шаг 6. В строке “Преобразовать в…” оставляем метры и сразу видим, что наше значение уже преобразовалось в метры квадратные.

Вопрос 3. Как найти площадь фигуры состоящая из нескольких элементов в Автокаде?

Допустим, у нас есть кирпичная несущая стена, которая состоит не из одного элемента (одной замкнутой полилинии), а скажем, из мультилинии и отрезка на торцах и наша задача узнать общую площадь этой стены.  В таком случае, площадь лучше и проще считать через штриховки в Автокаде.

Шаг 1. Штрихуем наши несущие стены, выделяем штриховку и кликаем правой кнопкой мышки, выбираем “свойства”. Здесь нам опять интересует пункт “геометрия”, где в строке “площадь” будет указана общая площадь внутренней стены.

Примечание

Обратите пожалуйста внимание, на то, что: 1) Площадь тоже указана в квадратных миллиметрах. Для перевода в квадратные метры требуется разделить на 1.000.000

2) Площадь отображается только тех стен, которые мы заштриховали. Т.е. внешние стены в расчет не брались.

1

Предлагаю подвести итог!

Зачем нужно знать площадь? Для простых и сложных дальнейших расчетов. Для подсчета объемов материала или подсчета площади обустраиваемой территории или скажем, для подсчета площади будущей квартиры и занесения данных в экспликацию.

Команда “площадь” облегчает жизнь и экономит время и как Вы сами убедились, она очень проста в использовании и не требует спец знаний. Выбрали команду, выбрали объект и получили площадь в квадратных миллиметрах.  А если нужно перевести, то это дело тоже двух минут и об этом мы тоже поговорили в этой статьей!

Поделиться с друзьями этой статьей

Автор статьи: Максим Фартусов и Светослав Паклин

Другие статьи автора

Площадь квадрата

Из известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– ) можно разбить n2 единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

В общем случае единичный квадрат можно разбить на m2 квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это . Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):

из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

Его простейшее квадратное уравнение, для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см2.

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2

Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.