Как найти площадь куба: 7 шагов (с иллюстрациями)

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

S=S1+S2+S3+S4+S5+S6S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6S=S1​+S2​+S3​+S4​+S5​+S6​

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

S1=S2=S3=S4=S5=S6=S′S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S’S1​=S2​=S3​=S4​=S5​=S6​=S′

S′S’S′ — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

S′=a⋅a=a2S’=acdot a=a^2S′=a⋅a=a2

aaa — сторона куба.

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

S=6⋅a2S=6cdot a^2S=6⋅a2

aaa — длина стороны куба.

Пример

Найти площадь поверхности куба, если длина его ребра равна 12 (см.).

Решение

a=12a=12a=12

S=6⋅a2=6⋅122=6⋅144=864S=6cdot a^2=6cdot 12^2=6cdot 144=864S=6⋅a2=6⋅122=6⋅144=864 (см. кв.)

Ответ: 864 см. кв.

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

d2=a2+a2+a2d^2=a^2+a^2+a^2d2=a2+a2+a2d2=3⋅a2d^2=3cdot a^2d2=3⋅a2d=3⋅ad=sqrt{3}cdot ad=3​⋅a

Отсюда:

a=d3a=frac{d}{sqrt{3}}a=3​d​

Подставим в формулу для площади:

S=6⋅a2=6⋅(d3)2=2⋅d2S=6cdot a^2=6cdotBig(frac{d}{sqrt{3}}Big)^2=2cdot d^2S=6⋅a2=6⋅(3​d​)2=2⋅d2

S=2⋅d2S=2cdot d^2S=2⋅d2

ddd — диагональ куба.

Пример

Одна четвертая часть диагонали куба равна 2 (см.). Найти площадь поверхности куба.

Решение

14⋅d=2frac{1}{4}cdot d=241​⋅d=2

Найдем диагональ:

d=4⋅2=8d=4cdot 2=8d=4⋅2=8

Площадь:

S=2⋅d2=2⋅82=2⋅64=128S=2cdot d^2=2cdot 8^2=2cdot 64=128S=2⋅d2=2⋅82=2⋅64=128 (см. кв.)

Ответ: 128 см. кв.

Формула площади поверхности куба по длине диагонали квадрата (грани куба)

По теореме Пифагора, диагональ квадрата lll связанна с его стороной aaa:

l2=a2+a2l^2=a^2+a^2l2=a2+a2l2=2⋅a2l^2=2cdot a^2l2=2⋅a2l=2⋅al=sqrt{2}cdot al=2​⋅a

Тогда сторона квадрата:

a=l2a=frac{l}{sqrt{2}}a=2​l​

Подставляем в формулу для площади и получаем:

S=6⋅a2=3⋅l2S=6cdot a^2=3cdot l^2S=6⋅a2=3⋅l2

S=3⋅l2S=3cdot l^2S=3⋅l2

lll — диагональ квадрата (грани куба).

Пример

Одна четвертая часть диагонали квадрата равна 1 (см). Найти площадь поверхности куба, образованного данным четырехугольником.

Решение

14⋅l=1frac{1}{4}cdot l=141​⋅l=1

Найдем диагональ квадрата:

l=4⋅1=4l=4cdot 1=4l=4⋅1=4

Тогда площадь:

S=3⋅l2=3⋅42=48S=3cdot l^2=3cdot 4^2=48S=3⋅l2=3⋅42=48 (см. кв.)

Ответ: 48 см. кв.

Разберем более сложные примеры.

Формула площади поверхности куба по площади вписанного в куб шара

В куб вписан шар площади SшарS_{text{шар}}Sшар​. Тогда радиус RRR этого шара равен половине длины стороны куба aaa:

R=a2R=frac{a}{2}R=2a​

Площадь шара дается формулой:

Sшар=4⋅π⋅R2S_{text{шар}}=4cdotpicdot R^2Sшар​=4⋅π⋅R2

Отсюда найдем радиус шара:

R=Sшар4⋅πR=sqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}R=4⋅πSшар​​​

Сторона грани куба:

a=2⋅R=2⋅Sшар4⋅πa=2cdot R=2cdotsqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}a=2⋅R=2⋅4⋅πSшар​​​

Наконец площадь поверхности куба:

S=6⋅a2=6⋅SшарπS=6cdot a^2=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}S=6⋅a2=π6⋅Sшар​​

S=6⋅SшарπS=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}S=π6⋅Sшар​​

SшарS_{text{шар}}Sшар​ — площадь шара, вписанного в куб.

Пример

В куб вписан шар, площадь которого равна 64 “пи” (см. кв.). Найти полную площадь поверхности куба.

Решение

Sшар=64πS_{text{шар}}=64piSшар​=64π

По формуле:

S=6⋅Sшарπ=6⋅64⋅ππ=384S=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}=frac{6cdot 64cdotpi}{pi}=384S=π6⋅Sшар​​=π6⋅64⋅π​=384 (см. кв.)

Ответ: 384 см. кв.

7. Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему

L – апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ)

P – периметр основания

Sосн – площадь основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (Sбок):

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):