Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

Площадь неправильно многоугольника

> > Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника.

Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. Содержание

1. 1 Определение
2. 4 Объяснение названия
3. 3 Более сложный пример
4. 2 Примеры
5. 5 См.

Какие их виды существуют? Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым.

Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. Как высчитать площадь комнаты, в которой имеется многоуровневый потолок Потолок, на котором имеются уступы рассчитать сложнее, однако вполне реально.

Существуют многоярусные потолки, которые имеют форму прямых линий их расчет проводить легко, но бывают такие конструкции, которые требуют особой внимательности, так как они состоят из дуго- или волнообразных фрагментов для расчета которых требуется приложить особые усилия.

Рассчитывать каждый из участков слишком долго и затратно, тем более, что в итоге получится не всегда правильный результат.

Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы: четырехугольник

7 7 Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме.

● S = p · r где S — площадь четырехугольника,p = a + b + c + d — полупериметр четырехугольника, 2 r — радиус вписанной окружности.

Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.

Важно! Важ участок должен приблизительно вписываться в окружность. Иначе расчеты будут не совсем точными

Указываем все данные в метрах A B, D A, C D, B C— Размер каждой стороны делянки. Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.

Методика определения размеров участка ручным методом Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка.

Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков.

Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров. Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника. Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон.

В нашем случае S=800 м². После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке.

Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках.

Для нашего примера, этот результат – 8.

Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток. Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади.

Средние линии четырехугольника

три средние линииСредними линиями несамопересекающегося четырехугольникаотмечены пунктирными линиями

Теорема Вариньона

являются параллелограммамипараллелограммами Вариньонабольшим параллелограммом Вариньона.

• Центры всех трёх параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
• Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
• Площадь большого параллелограмма Вариньона  равна половине площади исходного четырёхугольника
• Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними
• Сумма квадратов трёх средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей

Содержание главы:

Существование четырехугольника

Периметр четырехугольника

Окружности, вписанные и описанные вокруг четырехугольника

Углы четырехугольника

Правильный четырехугольник (квадрат). Правильний чотирикутник (квадрат)

Ромб

Трапеция

Площадь трапеции

Высота трапеции

Трапеция (задачи про основания)

Диагонали трапеции

Прямоугольная трапеция

Равнобокая (равнобедренная) трапеция

Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции

Высота равнобедренной трапеции

Равнобокая трапеция

Равнобокая трапеция (часть 2)

Трапеция, описанная вокруг окружности

Параллелограмм

Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

Параллелограмм (часть 2)

Площадь параллелограмма

Высота параллелограмма

Прямоугольник

Периметр прямоугольника

Периметр и площадь прямоугольника

Вписанная в треугольник окружностьОписание курса Существование четырехугольника   

Формулы площади геометрических фигур.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

• Формула площади треугольника по трем сторонам S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
• Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты S = 1a · h2
• Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. S = 1a · b · sin γ2
• Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. S = p · r где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, h — высота треугольника, γ — угол между сторонами a и b, r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, p = a + b + c — полупериметр треугольника.2
• Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности S = a · b · с4R

• Формула площади квадрата по длине диагонали Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали. S = 1d22 где S — площадь квадрата, a — длина стороны квадрата, d — длина диагонали квадрата.

• Формула площади квадрата по длине стороны Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

  S = a2

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон S = a · b где S — Площадь прямоугольника, a, b — длины сторон прямоугольника.

• Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу
• Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. S = a · h

Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы: четырехугольник

» » Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме.

Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы

Важно! Важ участок должен приблизительно вписываться в окружность. Иначе расчеты будут не совсем точными

Указываем все данные в метрах A B, D A, C D, B C— Размер каждой стороны делянки. Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.

Методика определения размеров участка ручным методом Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки.

Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков.

Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров. Далее переходим к расчету площади делянки.

При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника.

Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон.

В нашем случае S=800 м². После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке.

Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках.

Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.

Формула для расчета площади неправильного многоугольника

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

1. Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория.

Площадь четырехугольника Четырёхугольник — геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его.

Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым.

Площадь многоугольника Внимание Это может быть:

1. четырехугольник;
2. треугольник;
3. пяти- или шестиугольник и так далее.

Формулы площади

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

– любая сторона, – высота к этой стороне.

Вторая основная формула

, – любые две стороны, — угол между ними.

Третья формула

— полупериметр, – радиус вписанной окружности.

Формула Герона

, , — стороны, — полупериметр.

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем, скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: .

Ну и формула 4 позволяет по -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

— диагонали — угол между ними

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников – есть другие формулы.

Параллелограмм

Основная формула

— любая сторона, — высота, опущенная на эту! cторону

Вторая формула

И, как для всякого четырехугольника: — диагонали, — угол между ними.

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится формула:

— и никакого потому что , и — как всегда, диагонали

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

— сторона, — высота, опущенная на cторону.

Трапеция

Основная формула

— основания, — высота.

Вторая формула

— ведь трапеция – тоже четырехугольник. — диагонали, — угол между ними.

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

1. Четырёхугольник – это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн.

Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

общая формула для четырёхугольника.

Универсальной формулы для расчета площади любого четырёхугольника нет. Формулы зависят от исходных данных для расчета. Проще всего рассчитать площадь прямоугольного четырёхугольника, она равна произведению длин сторон пересекающихся в одной вершине, а для квадрата равна квадрату стороны. Для четырёхугольника с разными внутренними углами его площадь S = d1*d2*SinA, где d1 и d2 — диагонали четырёхугольника, А — угол между диагоналями в градусах. Как водно из этой формулы, для расчета площади требуется знать длины диагоналей, величину ушла и таблица синусов или калькулятор.

Например, площадь произвольного четырехугольника можно найти с помощью формулы полупериметра. А именно, S=корень из(p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d), где р — это полупериметр, a, b, c, d — стороны четырехугольника. Также формулы можно посмотреть на данном сайте http://school-collection.edu.ru/catalog/res/ac64dc47-1aa5-41e5-8045-d195ca6649c­ f/view/

Рассмотрим частные случаи нахождения площади четырёхугольника:

1. Квадрат со стороной а: S = a * a = a^2
2. Ромб со стороной а и острым углом А: S = a * a * sin A = a^2 * sin A
3. Прямоугольник со сторонами a и b: S = a * b
4. Трапеция с основаниями a, b и высотой h: S = h * (a + b) / 2
5. Параллелограмм со сторонами a, b и углом между ними А: S = a * b * sin A

Кроме того, существует формула нахождения площади, общая для всех видов четырехугольников:

S = d1 * d2 * sin A

В этой формуле d1 и d2 — диагонали четырёхугольника, а sin A — синус угла между ними.

Площадь четырехугольника довольно легко найти если знать две прилежащих сторон. Допусти сторона первая равняется 15 а вторая 10. Чтобы найти площадь нужно лишь перемножить числа. В данном случае будет 15*10=150. Надеюсь вы усвоили

Используем самую знаменитую формулу для вычисления площади треугольника :

S = 2 * a * 2 * b * sin ( угла между 2a , 2b) /2 .

Дано: 2 * a, 2 * b — стороны треугольника, (a * b) — значение площади треугольника.

Найти : угол (2a , 2b) .(угол между сторонами) .

Решение : S = 2 * a * 2 * b * sin(2a , 2b) / 2 = a * b ,

А это возможно только при значении синуса угла равном 0,5, то есть при синусе угла 30 градусов.

Значит угол между сторонами в треугольнике со сторонами 2a , 2b равен 30 градусам.

Что касается дополнительного угла равном 150 градусов, то равенство выполняется и приэтом значении угла.(sin 30 = sin 150 = 1/2.

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции, (рис.6).

Рис. 6

Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Следовательно,

где

что и требовалось доказать.

Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы