Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Решение

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Прямоугольная фигура и ее характеристики

Несмотря на невысокую симметрию трапеции с прямыми углами, работать с ней удобно при решении задач, поскольку можно напрямую использовать теорему Пифагора.

Пусть имеется фигура, в которой a и b — это основания, c — сторона, которая им обоим перпендикулярна и образует с ними прямые внутренние углы, d — боковая сторона, которая наклонена под некоторым углом к основаниям. Из такого построения ясно, что боковая сторона c также является высотой h фигуры.

Углы и диагонали

Формулы для расчета внутренних углов и длин диагоналей в прямоугольной фигуре имеют простой вид. Чтобы найти тупой и острый углы, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован следующими отрезками:

перпендикуляром к основанию c;
боковой стороной d;
стороной a-b.

Нетрудно доказать, что синус острого угла α при основании может быть рассчитан по следующей формуле:

sin (α) = c/d.

Поскольку вместе с тупым углом β он составляет 180 °, тогда справедливы равенства:

sin (α) = sin (β) = c/d и β = 180 ° — α.

Для вычисления диагоналей прямоугольной трапеции можно воспользоваться общими формулами для D1 и D2.

D1 = (a 2 + c 2 )^0,5;
D2 = (b 2 + c 2 )^0,5.

Для вычисления диагоналей D1 и D2 необязательно знать длину боковой стороны d.

Вычисление площади

Существует несколько выражений, используя которые можно определить площадь любой трапеции. Для прямоугольной фигуры все эти формулы имеют упрощенный вид. В первую очередь следует отметить общее выражение для площади S, которая равна произведению медианы M на высоту h:

S = M*h.

Для прямоугольной трапеции эта формула преобразуется в следующее равенство:

S = c*(a+b)/2.

Где h=c и M = (a+b)/2.

Удобно определять площадь рассматриваемой фигуры также через ее диагонали D1, D2 и угол их пересечения γ. Эта формула имеет вид:

S = D1*D2/2*sin (γ).

То есть половина произведения диагоналей на синус угла их пересечения дадут площадь всей фигуры

Необходимо отметить, что неважно, какой брать угол (острый или тупой) они связаны друг с другом (в сумме дают 180 °) и их синусы равны. Если диагонали пересекаются под прямым углом, то формула для S сводится к выражению:

S = D1*D2/2.

Существует еще одна формула площади трапеции прямоугольной через ее основания a, b и острый угол α. Применяя следующие рассуждения и выкладки можно ее получить:

Следует рассмотреть прямоугольный треугольник, ограниченный отрезками c, b-a и d, где основание b больше, чем a.
Высота c определяется следующей тригонометрической формулой: c = (b-a)*tg (α).
Площадь фигуры рассчитывается из выражения общего типа: S = (b+a)*(b-a)*tg (α)/2. Эту формулу можно преобразовать таким образом: S = (b 2 — a 2 )*tg (α)/2.

Аналогичную формулу можно использовать, если известен не острый угол α, а тупой β. В этом случае выражение для S примет вид:

S = (a 2 -b 2 )*tg (β)/2.

Функция tg (β) здесь является отрицательной величиной, поэтому вычитаемое и уменьшаемое в множителе a-b поменялись местами. Все выражения для расчета площади применимы при определении объема призм в трехмерном пространстве, у которых основания представляют собой трапеции.

Площадь трапеции формула:

Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:

То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

Трапецией
называется четырехугольник, у которого только две
стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия
– это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота
трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:
Допустим, дана трапеция с основаниями a
= 3 см, b
= 7 см и боковыми сторонами c
= 5 см, d
= 4 см. найдем площадь фигуры:

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда \( \small \angle A=\angle B. \) Докажем, далее, что \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) \( \small \angle A +\angle ADC=180° \) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle B +\angle DCB=180°. \) Учитывая, что \( \small \angle A=\angle B \), получим \( \small \angle ADC=\angle DCB. \)

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

Отсюда:

или

Метод трапеций

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫abf(x)dx, подынтегральная функция которого y=f(x) непрерывна на отрезке a;b. Для этого разделим отрезок a;b на несколько равных интервалов длины h точками a=x<x1<x2<…<xn-1<xn=b. Обозначим количество полученных интервалов как n.

Найдем шаг разбиения: h=b-an. Определим узлы из равенства xi=a+i·h, i=, 1,…, n.

На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию xi-1; xi, i=1, 2,.., n.

При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

Выделим отрезки xi-1; xi, i=1, 2,…, n. Заменим на каждом из графиков функцию y=f(x) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами xi-1; fxi-1 и xi; fxi. Отметим их на рисунках синим цветом.

Возьмем выражение f(xi-1)+f(xi)2·h в качестве приближенного значения интеграла ∫xi-1xif(x)dx. Т.е. примем ∫xi-1xif(x)dx≈f(xi-1)+f(xi)2·h.

Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями f(xi-1), f(xi) высотой h. В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл ∫xi-1xf(x)dx приближенно равен площади трапеции с основаниями -f(xi-1), -f(xi) и высотой h, которую необходимо взять со знаком «-». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫xi-1xif(x)dx во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫abf(x)dx в виде суммы интегралов вида ∫xi-1xif(x)dx на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫xi-1xif(x)dx≈f(xi-1)+f(xi)2·h.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

Свойства диагоналей трапеции

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.
Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.
Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2

или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.

Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.

Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).
Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.
Что из этого следует?
Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований.
Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).
KO / ON = BC / AD
Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Что такое площадь трапеции

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого, называемые основаниями, параллельны друг другу, а две другие стороны — нет.

Вычисление площади трапеции входит в раздел геометрии, который называется планиметрия и занимается фигурами на плоскости.

Площадь трапеции, как и любой другой геометрической фигуры — это часть плоскости, ограниченная периметром и измеряемая в квадратных единицах.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

В формулах основания обозначаются буквами a и b, боковые стороны — с и d.

Способы нахождения площади

Существует более двадцати способов вычисления площади трапеции. Выбор способа расчета зависит от известных данных, которые можно подставить в формулу, и от типа самой трапеции: она может быть равнобедренной (равнобокой) или прямоугольной, тогда задача упростится.

Например, если трапеция равнобедренная, вычислить длину ее сторон можно, разбив ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Если трапеция прямоугольная, легко запомнить соотношение ее сторон, пользуясь формулами для усеченного конуса, который образуется при ее вращении вокруг ее боковой стороны, находящейся под прямым углом к основаниям:

Стороны такой трапеции, наглядно видные на схеме, связаны следующим соотношением:

\(H = \sqrt{m^{2} — (R – r)^{2}}.\)

Но большинство формул подходит и для разносторонних трапеций. Если задача практическая и трапеция имеет материальную форму, основания, боковые стороны, высоту и диагонали легко измерить с помощью линейки.

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

δn≤maxx∈a;bf»(x)n·h312=maxx∈a;bf»(x)·b-a312n2δn≤maxx∈a;bf»(x)n·h324=maxx∈a;bf»(x)·b-a324n2.

Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форумеЗадачаРешениеОтветЗадачаРешениеобозначим не путать с обозначениями в формуле22222222222222222222Ответ2

Трапеция (задачи про основания)Описание курса Прямоугольная трапеция

шаг

Метод 1 из 2: определение площади по длине параллелей и высоте

Добавьте длину параллельных сторон.

Например, предположим, вы знаете, что значение стороны параллельно вершине (b1) составляет 8 см, а нижняя параллель (b2) составляет 13 см, общая длина параллельных сторон 8 см + 13 см = 21 см (что отражает часть «b = b1 + b2″в формуле).

Как следует из названия, параллельные стороны — это 2 параллельные стороны трапеции. Если вы еще не знаете длины двух параллельных сторон, измерьте их линейкой. После этого сложите два вместе.
Измерьте высоту трапеции.

Длина гипотенузы или основания трапеции не равна высоте трапеции. Линия высоты должна быть перпендикулярна двум параллельным сторонам.

Высота трапеции — это расстояние между двумя параллельными сторонами. Проведите линию между двумя параллельными сторонами и с помощью линейки или другого измерительного инструмента найдите длину линии. Делайте заметки, чтобы не забыть и не потерять их.
Умножьте количество параллельных сторон на высоту.

В этом примере 21 см x 7 см = 147 см, что отражает часть уравнения «(b) t».

Далее вам нужно умножить сумму сторон (b) на высоту (t) трапеции. Ответы должны быть в квадратных единицах.
Умножьте результат на ½, чтобы найти площадь трапеции.

В этом примере площадь (W) трапеции составляет 147 см / 2 = 73,5 см.

Вы можете умножить произведение на 1/2 или разделить на 2, чтобы найти конечную площадь трапеции. Убедитесь, что единицы ответа выражены в квадратных единицах.

Метод 2 из 2: расчет площади трапеции, если вы знаете размер сторон

Разбейте трапецию на 1 прямоугольник и 2 прямоугольных треугольника.

Этот метод работает только со стандартной равнобедренной трапецией.

Нарисуйте прямую линию из каждого угла верхней стороны трапеции перпендикулярно нижней стороне. Теперь у трапеции есть 1 прямоугольник посередине и 2 правых и левых правых треугольника. Рекомендуется провести эту линию, чтобы вы могли более четко видеть форму и рассчитать высоту трапеции.
Найдите длину одного из оснований треугольника.

Например, если верхний (b1) по длине 6 см и нижней стороной по (b2) 12 см, что означает, что основание треугольника равно 3 см (поскольку b = (b2 — б1) / 2 и (12 см — 6 см) / 2 = 6 см, что может быть упрощено до 6 см / 2 = 3 см).

Отнимите длину нижней стороны трапеции от верхней. Разделите результат на 2, чтобы найти длину основания треугольника. Теперь у вас есть длина основания и гипотенуза треугольника.
Используйте теорию Пифагора, чтобы найти высоту трапеции. Подставьте длины основания и гипотенузы (самой длинной стороны треугольника) в формулу Пифагора A + B = C, где A — основание, а C — гипотенуза. Решите уравнение для B, чтобы найти высоту трапеции. Если длина стороны основания 3 см, а длина гипотенузы 5 см, вот расчет:
- Подставьте переменные: (3 см) + B = (5 см)
- Возведите числа в квадрат: 9 см + B = 25 см.
- Отнимите 9 см с каждой стороны: B = 16 см.
- Найдите квадратный корень из каждой стороны: B = 4 см.
Подсказки: Если у вас нет идеального квадрата в уравнении, просто упростите его насколько возможно и оставьте остаток как квадратный корень, например √32 = √ (16) (2) = 4√2.
Подставьте длину и высоту трапеции в формулу площади и решите. Подставьте длину и высоту основания в формулу L = ½ (b₁ + b₂) t, чтобы найти площадь трапеции. Максимально упростите числа и дайте им квадратные единицы.
- Установите формулу: L = ½ (b₁+ b₂) т
- Подставьте переменные: L = ½ (6 см + 12 см) (4 см)
- Упростите термины: A = ½ (18 см) (4 см)
- Умножьте числа: W = 36 см.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм2). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм2.

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой — накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см2.

Ответ: S = 20 см2.

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 — 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см2).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см2.

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н₁, большей АОЕД — н₂.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

(х + а₂) * н₁ = 1/5 (х + а₁) * н₂

или

н₁ /н₂ = (х + а₁) / (5(х + а₂)).

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

н₁ /н₂ = (х — а₂) / (а₁ — х).

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а₁) / (5(х + а₂)) равно (х — а₂) / (а₁ — х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Ответ: х = √ {(а₁2 + 5 а₂2 ) / 6}.

Примеры из реальной жизни

Платок

Допустим, у вас есть платок в форме трапеции, и вы хотите отделать его бахромой. Вам понадобится узнать периметр платка, чтобы не купить лишнего материала или не ходить в магазин два раза. Пусть ваш равнобедренный платок имеет следующие параметры: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см. Вбиваем эти данные в онлайн-форму и получаем ответ в виде:

Таким образом, периметр платка составляет 340 см, и именно такой длины должна быть тесьма бахромы для его отделки.

Откосы

К примеру, вы решили сделать откосы для нестандартных металлопластиковых окон, которые имеют трапецеидальную форму. Такие окна широко используются при дизайне зданий, создавая композицию из нескольких створок. Чаще всего такие окна выполняются в виде прямоугольной трапеции. Давайте выясним, сколько материала потребуется для выполнения откосов такого окна. Стандартное окно имеет следующие параметры a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см. Используем эти данные и получим результат в виде

Следовательно, периметр трапециевидного окна составляет 390 см, и именно столько вам понадобится купить пластиковых панелей для формирования откосов.

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Равнобедренная трапеция

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Круг в трапеции

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

S = D2 / sin α

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Трапеция в круге

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

S = r * (a + b)

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Прямоугольная трапеция

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

S = m * h

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

S = m * c

Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α