Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

http://razuznai.ru/kak_najti_katety_esli_izvestna_gipotenuza.htmlhttp://www.syl.ru/article/182058/mod_kak-nayti-gipotenuzu-sposoba-poiska-otvetahttp://poschitat.online/storony-pryamougolnogo-treugolnika

Формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника

1001student.ru > Геометрия > Формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника

В повседневной жизни каждому человеку время от времени приходится решать задачи из школьной программы.

Несмотря на то что многие в детстве считали эти знания ненужными, сейчас все понимают, что были неправы.

Например, в любой момент может понадобиться найти длину гипотенузы равнобедренного треугольника, формулу расчета которой несложно вывести самостоятельно. Для этого следует вспомнить законы геометрии.

Законы геометрии

В первую очередь надо определиться с терминами. Чтобы в дальнейшем было понятно, что означают те или иные геометрические понятия, необходимо вспомнить следующие определения:

треугольник;
сторона;
угол;
бедро;
равнобедренный;
равносторонний;
прямоугольный;
гипотенуза;
катет;
теорема.

Треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных последовательно тремя отрезками, которые являются сторонами этой фигуры. Прямые, исходящие из одной точки, образуют угол.

Каждый треугольник состоит из трех сторон. Исходящие из одной вершины стороны называются бедрами, поэтому фигура, у которой минимум две стороны имеют равную длину, называется равнобедренной. В случае когда все стороны фигуры равны, она называется равносторонним треугольником.

Треугольник, в котором есть прямой угол, называется прямоугольным. Прямым в геометрии называется угол в 90 градусов. Поскольку в каждой треугольной фигуре сумма всех углов равна 180 градусов, то в ней может быть только один прямой угол. Гипотенуза в переводе с греческого языка означает «натянутая» – это сторона треугольника, которая лежит напротив прямого угла.

Катет – это одна из двух других сторон прямоугольного треугольника, тоже греческое слово, которое в переводе означает опущенный, отвесный или перпендикуляр. Катеты одновременно являются бедрами, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза служит еще и основанием.

Теорема – это истина, которую надо доказать. Одно из самых известных и значимых правил геометрии – это теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Древнегреческий математик и философ Пифагор, если верить историкам, первым нашел правильный расчет соотношения размеров длин катетов и гипотенузы. Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы в квадрате равна сумме длин катетов, возведенных в квадрат. Можно кратко описать теорему, обозначив гипотенузу буквой Г, а катеты — К1 и К2:

Г2 =К12 + К22

Как вычислить формулу

Если довериться логике и Пифагору, то легко высчитать, что размер самой длинной стороны треугольника будет равен квадратному корню из суммы квадратов двух меньших сторон. Если учесть, что в равнобедренном треугольнике катеты равны, то формулу можно усовершенствовать.

Гипотенузу равнобедренного треугольника можно рассчитать путем вычисления квадратного корня из квадрата длины катета, умноженного на два.

Вопрос на засыпку

Чтобы ответить на вопрос, как найти гипотенузу равностороннего треугольника, надо вспомнить, чему равен каждый его угол.

При любой длине сторон в этой фигуре, сумма всех углов неизменна и равна 180 градусов, соответственно каждый из них в этой фигуре равен 60 градусов.

Прямого угла в такой фигуре не может быть по определению, поэтому нет и гипотенузы. Значит, поставленный вопрос некорректен и не имеет ответа.

Практическое применение

В каких сферах повседневной жизни может понадобиться знание формулы? Эта тема находит практическое применение в архитектуре, строительстве, физике, математике, астрономии и других областях народного хозяйства, например:

Для дизайнера, работающего над планировкой дома или квартиры, важно знать, является ли конкретный угол прямым. Высчитав длину всех сторон, можно сделать вывод о размере угла.
В организациях, занимающихся оптовой торговлей или транспортными услугами, для правильного построения логистической схемы распределения товара между розничными точками порой необходимо рассчитывать самые краткие и оптимальные пути передвижения между различными объектами.
На даче или огороде можно правильно рассчитать длину лестницы, необходимой для установки на определенную высоту под определенным углом, чтобы легко взбираться на мансарду или чердак.. Если внимательно оглядеться вокруг, можно различить большое количество разнообразных геометрических фигур

Если внимательно оглядеться вокруг, можно различить большое количество разнообразных геометрических фигур.

Где геометрия, там и возможности использовать ее правила и формулы расчетов, в том числе и формулу длины гипотенузы.

Способы нахождения длины стороны

Рассматриваемая фигура обладает достаточно большим количеством геометрических свойств, которые имеют математическое выражение в виде формул. Также для нее применимы особенности тригонометрических функций и общие формулы для треугольников общего типа. Весь этот набор равенств можно использовать для нахождения любой неизвестной стороны прямоугольной фигуры. Чаще всего встречаются задачи следующего типа:

Известны две любые стороны. Независимо от того, неизвестен один из катетов или гипотенуза, найти эту сторону легко с использованием теоремы Пифагора. Пример для катета a выглядит так: a = (c 2 — b 2 )^0,5.
По известному острому углу и произвольной стороне. В этом случае любую из двух оставшихся неизвестных сторон треугольника легко вычислить с помощью соответствующей тригонометрической функции. Например, известен угол ∠ B и катет a, тогда: b = a*tgB, с = a/cosB.
По катету и высоте, проведенной из прямого угла. Для решения этой задачи сначала необходимо найти острый угол исходного треугольника, который определяется с помощью тригонометрической функции синуса. Как только он станет известен, задача сводится к типу 2.
По периметру и стороне. Эта задача имеет более сложный характер, чем описанные ранее. Решается она с помощью той же теорема Пифагора, но с применением теории квадратных уравнений.
Наконец, самый сложный вариант задачи на нахождение произвольного катета по известным площади фигуры и высоте, которая опущена из прямого угла. Здесь также необходимо использовать теорию решения квадратных уравнений, но в дополнение к этому следует использовать замену переменных.

Пусть площадь треугольника составляет 60 см 2 , а опущенная высота из острого угла равна 8 см. Необходимо посчитать, какие длины имеют катеты и гипотенуза.

Если внимательно прочитать условие задачи, то можно увидеть, что сама высота является одним из катетов, поскольку опущена она на основание не из прямого, а из острого угла. Пусть катет a = 8 см. Сторона b вычисляется по формуле для площади:

S = ½*a*b ==>

b = 2*S/a = 2*60/8 = 15 см.

Определить гипотенузу легко по формуле Пифагора:

c = (a 2 + b2)^0,5 = (82 + 152)^0,5 = 17 см.

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Например:

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

(c — гипотенуза, a и b — катеты)

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Формула:

Например:

Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

sin 45º	√2/2
sin 60º	√3/2
sin 90º	1

В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Например:

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

BC = 1/ (√2/2) = √2

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.

Например:

Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.

Формула b = √2a². Подставляем:

b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899

Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):

c² = a² + b²

c² = 7² + 7²

c² = 49 + 49

c² = 98

c = √98

c ≈ 9.899

Ответ: гипотенуза равна 9.899.

Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Пусть , (Рис.3). Поскольку , то по первому признаку равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как , , (Рис.4), то из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

Теорема 1. Если гипотенуза и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть и (Рис.5). Так как данные треугольники прямоугольные, то имеет место также равенство . Тогда из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

4. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники и , где , и углы C и C₁ прямые (Рис.6).

Поскольку , , , то треугольник можно наложить на треугольник так, чтобы вершина C совместилась с верншиной C₁ а стороны CA и CB наложились на лучи C₁A₁ и C₁B₁, соответственно (Рис.7).

Так как CB=C₁B₁, то вершина B совместится с вершиной B₁. Покажем, теперь, что вершина A совместится с вершиной A₁. Предположим, что они не совместятся. Тогда получим равнобедренный треугольник ABA₁, поскольку AB=A₁B₁. Но в этом случае . Но как мы видим из Рис.7 угол , острый а угол тупой (так как он является смежанным углом к острому углу BAC), что невозможно. Следовательно вершина A совместится с вершиной A₁.

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы — греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.