Правила дифференцирования
| 1. Производная суммы или разности | |
| 2. Производная произведения | |
| 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель | |
| 3. Производная частного | |
| 4. Производная сложной функции |
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.
Правило 2. Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».
Здесь же (далее) — более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме
и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она
выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных,
но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое
, в котором — число,
например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё
слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной
функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде , то
следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».
Если же перед Вами задача вроде ,
то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».
Дифференцирование параметрически заданных и неявных функций.
Функции, заданные параметрически.
Пусть функции \(x(t)\) и \(y(t)\) определены на отрезке \(\), причем функция \(x(t)\) непрерывна и строго монотонна (например, строго возрастает). Тогда на отрезке \(\), где \(\alpha=x(t_0-\delta),\;\beta=x(t_0+\delta)\), определена функция \(t=t(x)\), обратная к функции \(x=x(t)\), непрерывная и строго возрастающая.
Предположим дополнительно, что существуют \(x'(t_0)\) и \(y'(t_0)\), причем \(x'(t_0)\neq 0\) (для сокращения вместо \(x'(t_0)\) и \(y'(t_0)\) будем писать соответственно \(x_{t}’,\ y_{t}’\).
Тогда сложная Функция \(y=y(t)=y(t(x))\) дифференцируема по \(x\) в точке \(x_{0}=x(t_{0})\), причем
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{y_{t}’}{x_{t}’}.\label{ref29}
$$
\(\circ\) Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции \(y=y(t(x))\) получаем
$$
\frac{dy}{dx}=y_{x}’=y_{t}’t_{x}’,\nonumber
$$
где \(t_{x}’=\displaystyle \frac{1}{x_{t}’}\) согласно правилу дифференцирования обратной функции. Итак, справедлива формула \eqref{ref29}. \(\bullet\)
Пример 10.
Найти \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\), если
$$
x=\ln(1+e^{2t}),\qquad y=\operatorname{arctg}e^t.\nonumber
$$
\(\triangle\) Так как \(x_{t}’=\displaystyle \frac{2e^{2t}}{1+e^{2t}},\;y_{t}’=\displaystyle \frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\), то по формуле \eqref{ref29} находим
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{y_{t}’}{x_{t}’}=\frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\frac{1+e^{2t}}{2e^{2t}}=\frac{e^{-t}}{2}.\qquad \blacktriangle\nonumber
$$
Функции, заданные неявно.
Если дифференцируемая функция \(y=f(x)\) задана неявно уравнением \(F(x,y)=0\), то, дифференцируя тождество \(F(x, f(x))\equiv 0\) как сложную функцию, можно найти \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)\). Подробно вопрос о существовании неявной функции и ее дифференцируемости будет рассмотрен в параграфе 29.
Пример 11.
Написать уравнение касательной к эллипсу
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\label{ref30}
$$
в некоторой его точке \(M_0(x_0,y_0)\), где \(|x_{0}| < a\).
\(\triangle\) Точка \(M_{0}\) однозначно определяет на интервале \((-a,a)\) одну из двух неявных дифференцируемых функций, которые задаются уравнением \eqref{ref30}. Обозначим эту функцию \(f(x)\). Ее можно записать в явном виде, разрешив уравнение \eqref{ref30} относительно \(y\).
Дифференцируя тождество \eqref{ref30}, в котором \(y=f(x)\), получаем
$$
\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy’}{b^{2}}=0.\label{ref31}
$$
Подставляя в уравнение \eqref{ref31} вместо \(x\) и \(y\) соответственно \(x_0\) и \(y_0\), находим угловой коэффициент касательной к эллипсу в точке \(M_0\):
$$
k=y'(x_0)=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{0}}{y_0}.\nonumber
$$
Следовательно, уравнение касательной имеет вид
$$
y-y_{0}=k(x-x_0),\qquad\Rightarrow\qquad y-y_{0}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{0}}{y_0}(x-x_{0}).\nonumber
$$
это уравнение можно записать так: \(\displaystyle \frac{yy_0}{b^2}+\frac{xx_{0}}{a^{2}}=\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\), или в виде \(\displaystyle \frac{yy_0}{b^{2}}+\frac{xx_{0}}{a^{2}}=1\), так как \(\displaystyle \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1.\blacktriangle\)
Примеры использования формулы
Покажем на примере, как это делается.
Пример 1
Вычислить производную показательно степенной функции переменной x в степени x.
Решение
Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y=ln xx. С учетом свойств логарифма это можно выразить как ln y=x·ln x. Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:
ln y=x·ln xln y’=x·ln x’1y·y’=x’·ln x+·ln x’⇒y’=y·1·ln x+x·1x=y·(ln x+1)=xx·(ln x+1)
Ответ: xx’=xx·(ln x+1)
Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:
y=xx=eln xx=ex·ln x⇒y’=(ex·ln x)’=ex·ln x·x·ln x’=xx·x’·ln x+x·(ln x)’==xx·1·ln x+x·1x=xx·ln x+1
Рассмотрим еще одну задачу.
Пример 2
Вычислите производную функции y=x2+13×3·sin x.
Решение
Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную y’=y·ln(f(x))’. Поясним, почему такое вычисление удобнее.
Начнем с нахождения ln(f(x)). Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:
- логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
- логарифм произведения можно представить в виде суммы;
- если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.
Преобразуем выражение:
ln(f(x))=ln(x2+1)13×3·sin x12=ln(x2+1)13-ln(x3·sin x)12==13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x
В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:
(ln(f(x)))’=13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x’==13ln(x2+1)’-32ln x’-12ln sin x’==13(ln(x2+1))’-32(ln x)’-12(ln sin x)’==13·1×2+1·x2+1′-32·1x-12·1sin x·(sin x)’==13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x
Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.
Ответ: y’=y·ln(f(x))’=x2+13×3·sin x·13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.
Пример 3
Дана показательно степенная функция y=(x2+x+1)x3. Вычислите ее производную.
Решение:
y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·ln(x2+x+1)x3’==(x2+x+1)x3·x3·(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·x3’·ln(x2+x+1)+x3ln(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x3·1×2+x+1·x2+x+1’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x32x+1×2+x+1==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1
Ответ: y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1
Пример 4
Вычислите производную выражения y=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2.
Решение
Применяем формулу логарифмической производной.
y’=y·lnx2+13·x+1·x3+14×2+2x+2’==y·lnx2+13+lnx+1+lnx3+14-lnx2+2x+2’==y·13ln(x2+1)+12lnx+1+14ln(x3+1)-12ln(x2+2x+2)’==y·(x2+1)’3(x2+1)+x+1’2(x+1)+(x3+1)’4×3+1-x2+2x+2’2×2+2x+2==x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2)
Ответ:
y’=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2).
Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Все услуги
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Основные правила дифференцирования
До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х2 + 6х – 3 или у = x•sinx?
Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х3 + х2 получается сложением функций у = х3 и у = х2, а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.
Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.
В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции
Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:
Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:
Покажем использование этого правила:
Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что
Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х3 + 7х2 – 25х + 7 в точке х = 1.
Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:
Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:
Предположим, надо найти производную для функции у = х2•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где
Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу :
Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.
Задание. Найдите производную функции у = х2•(3х + х3). Вычислите ее значение при х = 1.
Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где
Задание. Продифференцируйте функцию
Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):
Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:
Например, пусть надо найти производную функции
С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:
Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:
Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции
чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.
Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:
Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:
Ответ: – 2 и 0.
Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию
Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:
У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:
Пример решения
Математики рекомендуют начинать с простых пример, а затем заканчивать более сложными. Принцип получил название «от простого к сложному»
Очень важно «набить руку» на простых примерах, поскольку это заметно увеличит скорость нахождения производной.
Сложность задачи зависит от самой функции. Например, если она является простой, то найти ее дифференциал не составит особой сложности. Для этого необходимо просто воспользоваться таблицей производных. В некоторых случаях следует воспользоваться некоторыми свойствами.
Например, необходимо найти дифференциал функции y = 8 * / (x^2). Для решения нужно воспользоваться следующими правилами: вынос константы, поиск производной суммы и частного. Найти дифференциал можно таким образом: y’ = / (x^2)]’ = 8 * [((3x^3 + ln(x))’ * x^2 — (3x^3 + ln(x)) * (x^2)’) / (x^2)^2] = 8 * [(x^2 + 1/x) * x^2 — 2x * (3x^3 + ln(x))] / x^4 = 8 * [(x^2(x — 6) + 1 — 2ln(x)) / x^3.
Специалисты не рекомендуют находить производные с помощью специализированного программного обеспечения. Бывают случаи, когда в поле для обработки выражение вводится неверно. При этом дифференциал является ошибочным. Кроме того, иногда бывают программные сбои, которые влекут за собой получение ложного результата. В любом случае нужно уметь дифференцировать функции любой сложности.
Таким образом, для нахождения дифференциала произвольной функции следует знать таблицу производных, основные правила и алгоритмы ее нахождения. Рекомендует проверять результат, полученный при вычислении, при помощи онлайн-калькулятора производных.
Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f'(x_0)={lim}{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$
$f(x)= cos(5x)$
$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
$v(t) = x'(t)$
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
Решение:
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
Как вычислить производную произведения функций
Определение 4
Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: fx·g(x)’=f'(x)·g(x)’+f(x)·g'(x)
Попробуем доказать его.
Доказательство 3
Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f(x+∆x)=f(x)+∆f(x), g(x+∆x)=g(x)+∆g(x), а lim∆x→∆g(x)=, lim∆x→∆f(x)=, то есть если приращение аргумента стремится к , то и приращение функции также будет к нему стремиться.
(f(x)·g(x))’=lim∆x→∆(f(x)·g(x))∆x=lim∆x→f(x+∆x)·g(x+∆x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→(f(x)+∆f(x))+(g(x)·∆g(x))-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→f(x)·g(x)+g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)-f(x)·g(x)∆x==lim∆x→g(x)·∆f(x)+f(x)·∆g(x)+∆f(x)·∆g(x)∆x==lim∆x→g(x)·∆f(x)∆x+lim∆x→f(x)·∆g∆x+lim∆x→∆f(x)∆x·lim∆x→∆g(x)==g(x)·lim∆x→∆f(x)∆x+f(x)·lim∆x→∆g(x)∆x+f'(x)·==f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)
Это и есть результат, который нам нужно было доказать.
Пример 5
Продифференцируйте функцию y=tg x·arcsin x.
Решение
Здесь f(x)=tg x, g(x)=arcsin x. Можем воспользоваться правилом производной произведения:
y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’
Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:
y’=(tg x·arcsin x)’=(tg x)’·arcsin x+tg x·(arcsin x)’==arcsin xcos2x+tg x1-x2
Ответ: y’=arcsin xcos2x+tg x1-x2
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Пример 6
Дана функция y=exx3. Вычислите производную.
Решение
Здесь мы имеем f(x)=ex, g(x)=1×3=x-13. Значит,
y’=exx3=ex·x-13’=ex’·x-13+ex·x-13==ex·x-13+ex·-13·x-13-1=exx3-exx43=exx3·1-1x
Ответ: y’=exx3·1-1x
Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.
Пример 7
Продифференцируйте функцию y=(1+x)·sin x·ln x.
Решение
Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f(x) произведение (1+x)·sin x, а g(x) – ln x.
У нас получится следующее:
y’=((1+x)·sin x·ln x)’=1+x·sin x’·ln x+1+x·sin x·ln x’
Чтобы найти 1+x·sin x’, нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:
1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’
С помощью этого правила и таблицы производных получим:
1+x·sin x’=(1+x)’·sin x+1+x·(sin x)’==1’+x’·sin x+(1+x)·cos x=+1·x1-1·sin x+(1+x)·cos x==(+1)·sin x+1+x·cos x=sin x+cos x+x·cos x
Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:
y’=1+x·sin x·ln x’=1+x·sin x’·ln x+(1+x)·sin x·(ln x)’==sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx
Ответ: y’=sin x+cos x+x·cos x·ln x+(1+x)·sin xx
Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.
Пример 8
Дана функция y=2·sh x-2x·arctg x, вычислите ее производную.
Решение
Исходная функция является разностью выражений 2·sh x и 2x·arctg x, значит, y’=2·sh x-2x·arctg x’=2·sh x’-2x·arctg x’. Здесь можно вынести за знак производной число 2, а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:
y’=2·sh x’-2x·arctg x’=2·sh x’-2x’·arctg x+2x·(arctg x)’==2·ch x-2x·ln 2·arctg x+2×1+x2=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2
Ответ: y’=2·ch x-2x·ln 2·arctg x-2×1+x2
производным высших порядков от произведения функций
Материал разберём на конкретной задаче:
Пример 10
Найти функции
Решение начнём с ключевого вопроса: как выгоднее всего найти третью производную от произведения функций?
…А почему бы, собственно, не взять три производные подряд? Тем более это представляется вполне подъёмной задачей. Используем правило дифференцирования произведения и упрощаем результат:
Со второй производной дела обстоят похуже, но всё-таки ещё не так плохи:
С третьей немножко повезло:
Всё выглядит весьма благонадёжно, но…
В чём недостаток такого решения? Во-первых, оно длинное. А ведь предложенная функция даже без «наворотов». И, во-вторых, тут легко запутаться (особенно в знаках). Рассмотрим простой и чёткий способ решения подобных заданий:
Формула Лейбница
Пожалуйста, не путайте с более известной формулой Ньютона-Лейбница!
Производную порядка от произведения двух функций можно найти по формуле:
В частности:
Примечание: здесь и далее предполагается дифференцируемость функций нужное количество раз
Специально запоминать ничего не надо, ибо, чем больше формул знаешь – тем меньше понимаешь. Гораздо полезнее ознакомиться с биномом Ньютона, поскольку формула Лейбница очень и очень на него похожа. Ну а те везунчики, которым достанется производная 7-го либо более высоких порядков (что, правда, маловероятно), будут вынуждены это сделать. Впрочем, когда черёд дойдёт до комбинаторики – то всё равно придётся =)
Найдём третью производную функции . Используем формулу Лейбница:
В данном случае: . Производные легко перещёлкать устно: 
Теперь аккуратно и ВНИМАТЕЛЬНО выполняем подстановку и упрощаем результат:
Ответ:
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 11
Найти функции
Если в предыдущем примере решение «в лоб» ещё конкурировало с формулой Лейбница, то здесь оно уже будет действительно неприятным. И ещё неприятнее – в случае более высокого порядка производной:
Пример 12
Найти производную указанного порядка
Решение: первое и существенное замечание – решать вот так, наверное, не нужно =) =)
Запишем функции и найдём их производные до 5-го порядка включительно. Предполагаю, что производные правого столбца стали для вас устными:
В левом же столбце «живые» производные быстро «закончились» и это очень хорошо – в формуле Лейбница обнулятся три слагаемых:
Вновь остановлюсь на дилемме, которая фигурировала в статье о сложных производных: упрощать ли результат? В принципе, можно оставить и так – преподавателю будет даже легче проверять. Но он может потребовать довести решение до ума. С другой стороны, упрощение по собственной инициативе чревато алгебраическими ошибками. Однако у нас есть ответ, полученный «первобытным» способом =) (см. ссылку в начале), и я надеюсь, он правильный:
Отлично, всё сошлось.
Ответ:
Счастливое задание для самостоятельного решения:
Пример 13
Для функции :
а) найти непосредственным дифференцированием;
б) найти по формуле Лейбница;
в) вычислить .
Нет, я вовсе не садист – пункт «а» здесь достаточно прост =)
А если серьёзно, то «прямое» решение последовательным дифференцированием тоже имеет «право на жизнь» – в ряде случаев его сложность сопоставима со сложностью применения формулы Лейбница. Используйте, если сочтёте целесообразным – это вряд ли будет основанием для незачёта задания.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь дифференцировать неявные функции:
Уравнение касательной к графику функции
Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.
Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):
Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.
Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .
И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .
Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?
Общая формула знакома нам еще со школы:
Значение нам уже дано в условии.
Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :
На следующем этапе находим производную:
Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):
Подставляем значения , и в формулу :
Таким образом, уравнение касательной:
Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой на плоскости принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:
Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению: – верное равенство.
Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.
Рассмотрим еще два примера.
Пример 5
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Уравнение касательной составим по формуле
1) Вычислим значение функции в точке :
2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:
3) Вычислим значение производной в точке :
4) Подставим значения , и в формулу :
Готово.
Выполним частичную проверку:
Подставим точку в найденное уравнение: – верное равенство.
Пример 6
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Полное решение и образец оформления в конце урока.
В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду. И, конечно же, ознакомьтесь со строгим определением касательной, после чего закрепите материал на уроке Уравнение нормали, где есть дополнительные примеры с касательной
