Показатели вариации онлайн

среднее квадратическое отклонение

Или стандартное отклонение. Оно обозначается греческой буквой «сигма», и коль скоро, у нас выборочная совокупность, то добавляем соответствующий подстрочный индекс:

– выборочное среднее квадратическое отклонение.

Чем меньше стандартное отклонение (и дисперсия), тем меньше вариация – тем бОльшее количество вариант находится вблизи выборочной средней. Но у нас, как нетрудно «прикинуть на глазок», разброс довольно-таки велик – значительное количество вкладов расположено далековато от , и поэтому значение получилось немалым.

Следующая часть задачи состоит в том, чтобы корректно оценить генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение .

В 1-й части урока я рассказал о том, что выборочная дисперсия представляет собой смещённую оценку генеральной дисперсии. Это означает, что если мы будем проводить неоднократные выборки из той же генеральной совокупности, то полученные значения будут систематически занижено оценивать

Обращаю ваше внимание, что это не значит, что будет всегда меньше, чем

И поэтому выборочную дисперсию, как намекает условие, нужно поправить: – исправленная выборочная дисперсия

и, соответственно: или 240,30 д.е. – исправленное среднее квадратическое отклонение.

и – это уже несмещённые оценки генеральной дисперсии и генерального стандартного отклонения соответственно.

Ввиду большого объёма выборки (более 100 вариант) этой поправкой можно пренебречь, но всё же мы не будем «разбрасываться» 30 «копейками».

Ответ: ; в качестве оценки соответствующих генеральных показателей принимаем и .

Рассмотренные выше показатели (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, стандартное отклонение) входят в группу абсолютных показателей вариации, которые обладают рядом неудобств. Так, если в прорешанной задаче не уменьшать варианты в 1000 раз, то дисперсия получится в миллион раз больше! Да-да, не , а . И возникает естественное желание привести результаты к некому единому стандарту.

Для этого существуют показатели относительные, и самым известным из них является

Вычислительные методы

Дискретные распределения

Для дискретных распределений нет единого мнения о выборе значений квартилей.

Способ 1

Используйте медианное значение, чтобы разделить упорядоченный набор данных на две половины.
- Если в исходном упорядоченном наборе данных есть нечетное количество точек данных, не включайте медиану (центральное значение в упорядоченном списке) ни в одну из половин.
- Если в исходном упорядоченном наборе данных есть четное количество точек данных, разделите этот набор данных ровно пополам.
Значение нижнего квартиля — это медиана нижней половины данных. Значение верхнего квартиля — это медиана верхней половины данных.

Это правило используется в функциях блочной диаграммы калькулятора TI-83 и «1-Var Stats».

Способ 2

Используйте медианное значение, чтобы разделить упорядоченный набор данных на две половины.
- Если в исходном упорядоченном наборе данных есть нечетное количество точек данных, включите медианное значение (центральное значение в упорядоченном списке) в обе половины.
- Если в исходном упорядоченном наборе данных четное количество точек данных, разделите этот набор данных ровно пополам.
Значение нижнего квартиля — это медиана нижней половины данных. Значение верхнего квартиля — это медиана верхней половины данных.

Значения, найденные этим методом, также известны как « петли Тьюки »; см. также midhinge .

Способ 3

Если имеется четное количество точек данных, то метод 3 такой же, как и любой из описанных выше методов.
Если имеется (4 n +1) точек данных, то нижний квартиль составляет 75% от n- го значения данных плюс 25% от ( n +1) -го значения данных; верхний квартиль составляет 75% от (3 n +1) -й точки данных плюс 25% от (3 n +2) -ой точки данных.
Если имеется (4 n +3) точек данных, то нижний квартиль составляет 75% от ( n +1) -го значения данных плюс 25% от ( n +2) -го значения данных; верхний квартиль составляет 25% от (3 n +2) -й точки данных плюс 75% от (3 n +3) -й точки данных.

Метод 4

Если у нас есть упорядоченный набор данных , мы можем интерполировать между точками данных, чтобы найти th эмпирический квантиль, если он находится в квантиле. Если обозначить целую часть числа как , то эмпирическая функция квантиля будет иметь вид
Икс1,Икс2,…,Иксп{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, …, x_ {n}}п{\ displaystyle p}Икся{\ displaystyle x_ {i}}я(п+1){\ Displaystyle я / (п + 1)}а{\ displaystyle a}а{\ Displaystyle }

q(п)знак равноИкс(k)+α(Икс(k+1)-Икс(k)){\ Displaystyle д (п) = х _ {(к)} + \ альфа (х _ {(к + 1)} — х _ {(к)})},

где и .
kзнак равноп(п+1){\ Displaystyle к = }αзнак равноп(п+1)-п(п+1){\ Displaystyle \ альфа = п (п + 1) — }

Чтобы найти первую, вторую, и третью квартиль набора данных мы бы оценить , и соответственно.
q(0,25){\ displaystyle q (0,25)}q(0,5){\ displaystyle q (0,5)}q(0,75){\ displaystyle q (0,75)}

Пример 1

Заказанный набор данных: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49

	Способ 1	Способ 2	Способ 3	Метод 4
Q ₁	15	25,5	20,25	15
₂квартал	40	40	40	40
₃квартал	43 год	42,5	42,75	43 год

Пример 2

Заказанный набор данных: 7, 15, 36, 39, 40, 41

Поскольку имеется четное количество точек данных, все первые три метода дают одинаковые результаты.

	Способ 1	Способ 2	Способ 3	Метод 4
Q ₁	15	15	15	13
₂квартал	37,5	37,5	37,5	37,5
₃квартал	40	40	40	40,25

Непрерывные распределения вероятностей

Квартили на кумулятивной функции распределения нормального распределения

Если мы определим непрерывное распределение вероятностей как где — случайная величина с действительным знаком , ее кумулятивная функция распределения (CDF) будет
иметь видп(Икс){\ Displaystyle P (X)}Икс{\ displaystyle X}

FИкс(Икс)знак равноп(Икс≤Икс){\ Displaystyle F_ {X} (х) = P (X \ Leq x)}.

CDF дает вероятность того, что случайная величина меньше , чем значение . Следовательно, первый квартиль — это значение, когда , второй квартиль — когда , а третий квартиль — когда . Значения можно найти с помощью функции квантиля, где для первого квартиля, для второго квартиля и для третьего квартиля. Функция квантиля является обратной к кумулятивной функции распределения, если кумулятивная функция распределения монотонно возрастает .
Икс{\ displaystyle X}Икс{\ displaystyle x}Икс{\ displaystyle x}FИкс(Икс)знак равно0,25{\ Displaystyle F_ {X} (х) = 0,25}Икс{\ displaystyle x}FИкс(Икс)знак равно0,5{\ Displaystyle F_ {X} (х) = 0,5}Икс{\ displaystyle x}FИкс(Икс)знак равно0,75{\ Displaystyle F_ {X} (х) = 0,75}Икс{\ displaystyle x} Q(п){\ displaystyle Q (p)}пзнак равно0,25{\ displaystyle p = 0,25}пзнак равно0,5{\ displaystyle p = 0,5}пзнак равно0,75{\ displaystyle p = 0,75}

Приблизительные квантили из потока

Вычисление приблизительных квантилей из данных, поступающих из потока, может быть выполнено эффективно с использованием сжатых структур данных. Наиболее популярные методы — t-digest и KLL. Эти методы непрерывно считывают поток значений и в любой момент могут быть запрошены о приблизительном значении указанного квантиля.

Оба алгоритма основаны на схожей идее: сжатие потока значений путем суммирования идентичных или похожих значений с помощью веса. Если поток состоит из 100-кратного повторения v1 и 100-кратного v2, нет причин хранить отсортированный список из 200 элементов, достаточно сохранить два элемента и два счетчика, чтобы можно было восстановить квантили. При большем количестве значений эти алгоритмы поддерживают компромисс между количеством сохраненных уникальных значений и точностью получаемых квантилей. Некоторые значения могут быть исключены из потока и вносить вклад в вес ближайшего значения без значительного изменения результатов квантилей. t-digest использует подход, основанный на кластеризации k-средних, для группировки похожих значений, тогда как KLL использует более сложный метод «уплотнения», который позволяет лучше контролировать границы ошибок.

Оба метода принадлежат к семейству набросков данных, которые являются подмножествами алгоритмов потоковой передачи с полезными свойствами: эскизы t-digest или KLL можно комбинировать. Вычисление эскиза для очень большого вектора значений можно разделить на тривиально параллельные процессы, в которых эскизы вычисляются для параллельных разделов вектора и объединяются позже.

Программное обеспечение для квартилей

Excel:

Функция Excel КВАРТИЛЬ (массив; кварта) предоставляет желаемое значение квартиля для заданного массива данных. в Квартиль функция, массив — это набор данных чисел, который анализируется, а кварт — любое из следующих 5 значений в зависимости от того, какой квартиль вычисляется.

Кварта	Выходное значение QUARTILE
Минимальное значение
1	Нижний квартиль (25-й процентиль)
2	Медиана
3	Верхний квартиль (75-й процентиль)
4	Максимальное значение

MATLAB:

Для расчета квартилей в Matlab функция квантиль (A, p) может быть использован. Где A — вектор анализируемых данных, а p — процент, относящийся к квартилям, как указано ниже.

п	Выходное значение QUARTILE
Минимальное значение
0.25	Нижний квартиль (25-й процентиль)
0.5	Медиана
0.75	Верхний квартиль (75-й процентиль)
1	Максимальное значение

Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения

Где:
σ — стандартное отклонение,
xi — величина отдельного значения выборки,
μ — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Эта формула применяется, когда анализируются все значения выборки.

Где:
S — стандартное отклонение,
n — размер выборки,
xi — величина отдельного значения выборки,
xср — среднее арифметическое выборки.
Эта формула применяется, когда присутствует очень большой размер выборки, поэтому на анализ обычно берётся только её часть.
Единственная разница с предыдущей формулой: “n — 1” вместо “n”, и обозначение «xср» вместо «μ».

Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

только её часть – используется формула S (с «n–1»),
полностью все данные – используется формула σ (с «n»).

Как рассчитать стандартное отклонение?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.Б	15	26	15	24

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

x1 — μ = 15 — 20 = -5

x2 — μ = 26 — 20 = 6

x3 — μ = 15 — 20 = -5

x4 — μ = 24 — 20 = 4

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(x1 — μ)² = (-5)² = 25

(x2 — μ)² = 6² = 36

(x3 — μ)² = (-5)² = 25

(x4 — μ)² = 4² = 16

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (xi — μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

(Σ (xi — μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5

6. Найти квадратный корень:

√((Σ (xi — μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498

Пример 2 (с S)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Яблоня 1	Яблоня 2	Яблоня 3	Яблоня 4	Яблоня 5	Яблоня 6
9	2	5	4	12	7

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25

(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25

(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25

(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25

(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25

(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Какие способы вычисления среднего бывают?

Первым способом является вычисление уже упомянутого среднего арифметического, являющегося суммой всех значений, деленной на их количество.

Формула:

x– среднее арифметическое;
x_n– конкретное значение;
n – количество значений.

Плюсы:

Хорошо работает при нормальном распределении значений в выборке;
Легко вычислить;
Интуитивно понятно.

Минусы:

Не дает реального представления о распределении значений;
Неустойчивая величина легко поддающаяся выбросам (как в случае с генеральным директором).

Вторым способом является вычисление моды, то есть наиболее часто встречающегося значения.

Формула:

M– мода;
x– нижняя граница интервала, который содержит моду;
n – величина интервала;
f_m– частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
f_m-1 – частота интервала предшествующего модальному;
f_m+1 – частота интервала следующего за модальным.

Плюсы:

Прекрасно подходит для получения представления об общественном мнении;
Хорошо подходит для нечисловых данных (цвета сезона, хиты продаж, рейтинги);
Проста для понимания.

Минусы:

Моды может просто не быть (нет повторов);
Мод может быть несколько (многомодальное распределение).

Третий способ — это вычисление медианы, то есть значения, которое делит упорядоченную выборку на две половины и находится между ними. А если такого значения нет, то за медиану принимается среднее арифметическое между границами половин выборки.

Формула:

M_e – медиана;
x– нижняя граница интервала, который содержит медиану;
h – величина интервала;
f _i– частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
S_m-1 – сумма частот интервалов предшествующих медианному;
f_m – число значений в медианном интервале (его частота).

Плюсы:

Дает самую реалистичную и репрезентативную оценку;
Устойчива к выбросам.

Минусы:

Сложнее вычислить, так как перед вычислением выборку нужно упорядочить.

Мы рассмотрели основные методы нахождения среднего значения, называющиеся мерами центральной тенденции (на самом деле их больше, но это наиболее популярные).

А теперь давайте вернемся к нашему примеру и посчитаем все три варианта среднего при помощи специальных функций Excel:

— функция для определения среднего арифметического;
— функция моды (в более старых версиях Excel использовалась );
— функция для поиска медианы.

И вот какие значения у нас получились:

В данном случае мода и медиана гораздо лучше характеризуют среднюю зарплату в компании.

Но что делать, когда в выборке не 10 значений, как в примере, а миллионы? В Excel это не посчитать, а вот в базе данных где хранятся ваши данные, без проблем.

Вычисляем среднее арифметическое на SQL

Тут все достаточно просто, так как в SQL предусмотрена специальная агрегатная функция .

И чтобы ее использовать достаточно написать вот такой запрос:

/* Здесь и далее salary - столбец с зарплатами, а employees - таблица сотрудников в нашей базе данных */

SELECT AVG(salary) AS 'Средняя зарплата'
FROM employees

Вычисляем моду на SQL

В SQL нет отдельной функции для нахождения моды, но ее легко и быстро можно написать самостоятельно. Для этого нам необходимо узнать, какая из зарплат чаще всего повторяется и выбрать наиболее популярную.

Напишем запрос:

/* WITH TIES необходимо добавлять к TOP() если множество многомодально, то есть у множества несколько мод */
SELECT TOP(1) WITH TIES salary AS 'Мода зарплаты'
FROM employees
GROUP BY salary
ORDER BY COUNT(*) DESC

Вычисляем медиану на SQL

Как и в случае с модой, в SQL нет встроенной функции для вычисления медианы, зато есть универсальная функция для вычисления процентилей .

Выглядит все это так:

/* В данном случае процентиль 0.5 и будет являться медианой */

SELECT TOP(1) PERCENTILE_CONT(0.5)
       WITHIN GROUP (ORDER BY salary)
       OVER() AS 'Медианная зарплата'
FROM employees

Подробнее о работе функции лучше почитать в справке Microsoft и .

Расчет квартили

Децили (децентили)
Децили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80% будут заключены между D1 и D9; остальные 10% превосходят D9
Таким образом, 10% единиц совокупности будут меньше по величине 150.22
Остальные 10% превосходят 185.5
Показатели вариации.
Размах вариации
R = X_max — X_minR = 198 — 148 = 50

Среднее линейное отклонение
Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 12
Дисперсия
Несмещенная оценка дисперсии.
Среднее квадратическое отклонение.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 165.5 не более, чем на 13.37
Оценка среднеквадратического отклонения.
Коэффициент вариации
Поскольку v<30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Показатели формы распределения.
Коэффициент осцилляции
Относительное линейное отклонение
Относительный показатель квартильной вариации
Степень асимметрии
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.
Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.
Ex > 0 — островершинное распределение
Интервальное оценивание центра генеральной совокупности.
Доверительный интервал для генерального среднего
Поскольку n<=30, то определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Ф(t_kp) = 1- p = 1- 0.954 = 0.05
T_табл (n-1;α) = (19;0.05) = 1.729
(165.5 — 5.30;165.5 + 5.30) = (160.2;170.8)
С вероятностью 0.954 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Доверительный интервал для дисперсии.
Вероятность выхода за нижнюю границу равна 0.05 / 2 = 0.025. Для количества степеней свободы k = 19, по таблице распределения хи-квадрат находим:
χ2(19) = 32.85233
Случайная ошибка дисперсии:
(188.16 – 108,87; 188.16 + 108,87)
(79.3; 297,03)
Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).
Доверительный интервал для генеральной доли.
Поскольку n<=30, то определяем значение t_kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Ф(t_kp) = 1 — p = 1- 0.954 = 0.05
T_табл (n-1;α) = (19;0.05) = 1.729

Доля i-ой группы f_i / ∑f	Средняя ошибка выборки для генеральной доли, ε	Нижняя граница доли, p* + ε	Верхняя граница доли, p* + ε
0.45		0.34	0.56
0.15		0.0702	0.23
0.15		0.0702	0.23
0.2		0.11	0.29
0.05		0.0013	0.0987

Проверка гипотез о виде распределения.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
где p_i — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота n_i	Ф(x_i)	Ф(x_i+1)	Вероятность p_i попадания в i-й интервал	Ожидаемая частота np_i	Слагаемые статистики Пирсона K_i
148 — 158	9	0.21	0.4	0.19	3.82	7.03
158 — 168	3	0.0753	0.21	0.13	2.67	0.0407
168 — 178	3	0.32	0.0753	0.25	4.92	0.75
178 — 188	4	0.45	0.32	0.13	2.59	0.77
188 — 198	1	0.49	0.45	0.0408	0.82	0.0414
	20					8.64

_набл_kp_kp2_cpне по нормальному закону

Дециль

Наукометрический показатель для сравнения качества публикации. Определяется попаданием данной публикации (группы публикаций) в определенный диапазон показателя «Нормализованное цитирование». Первый дециль соответствует попаданию в 10 % лучших, второй — диапазон 11-20 % и т. д. Для публикаций текущего года показатель не рассчитывается.

Нормализованная цитируемость — наукометрический показатель для сравнения качества публикации. Среднее число цитирований работы нормализуется по среднемировому значению в данной области знаний и в данном календарном году. Единица соответствует среднемировому уровню. При нормализации учитывается область знаний, тип публикации, год издания. Показывает, насколько уровень данной публикации выше или ниже среднего уровня. Для публикаций текущего года показатель, как правило, не рассчитывается. В аналитических ресурсах, связанных с Web ofScience, данный показатель называется Category Normalized Citation Impact (CNCI), для ресурсов, основанных на Scopus – Field-Weighted Citation Impact (FWCI).Как считают: цитирование данной работы делится на норму, вычисленную как среднее цитирование в мире по данной тематике (области знаний) в год издания работы. Если рассматривается группа статей, то сначала находится нормализованное цитирование каждой отдельной работы, а затем усредняется по группе (среднее алгебраическое). Рассчитывается для автора, организации, группы статей, журналов.В итоге с помощью всего одной цифры можно оценить качество публикаций организации или автора, сравнить со среднемировым значением. Наиболее адекватный параметр определения качества публикаций. В некоторых случаях может быть очень сильно завышен.

BREAKING DOWN ‘Quartile’

Чтобы понять квартиль, важно понять медиану как меру центральной тенденции. Медиана в статистике — это среднее значение набора чисел

Это точка, в которой ровно половина данных лежит ниже и выше центрального значения. Итак, учитывая набор из 13 чисел, медиана будет седьмым числом. Шесть чисел, предшествующих этому значению, являются наименьшими числами в данных, а шесть чисел после медианы являются наивысшими числами в приведенном наборе данных. Поскольку медиана не зависит от экстремальных значений или выбросов в распределении, иногда это бывает предпочтительнее среднего.

В то время как медиана является надежной оценкой местоположения, она ничего не говорит о том, как данные по обе стороны от ее значения распространяются или распределяются. Квартал измеряет распространение значений выше и ниже среднего, разделив распределение на четыре группы. Точно так же, как медиана делит данные на половину, так что 50% измерения лежит ниже медианы и 50% лежит над ней, квартиль разбивает данные на четверти, так что 25% измерения меньше, чем нижняя квартиль, 50 % меньше среднего, а 75% меньше, чем верхний квартиль.

Квартал делит данные на три точки — более низкий квартиль, медианный и верхний квартиль — для формирования четырех групп набора данных. Нижняя квартиль или первый квартиль обозначаются как Q1, а среднее число находится между наименьшим значением набора данных и медианной. Второй квартиль Q2 также является медианным. Верхний или третий квартиль, обозначенный как Q3, является центральной точкой, которая находится между медианным и наибольшим числом распределения. Теперь мы можем отобразить четыре группы, сформированные из квартилей. Первая группа значений содержит наименьшее число до Q1; вторая группа включает Q1 в медиану; третий набор является медианным для Q3; и четвертая категория включает Q3 в самую высокую точку данных всего набора.

Каждый квартиль содержит 25% от общего количества наблюдений. Как правило, данные распределяются от самых маленьких до крупнейших, причем эти наблюдения падают ниже 25% от всех проанализированных данных, выделенных в 1-м квартиле, наблюдения падают между 25. 1% и 50% и распределяются во 2-м квартиле, тогда наблюдения падают между 51% и 75% выделены в 3-м квартиле и, наконец, остальные наблюдения, выделенные в 4-м квартиле.

Как работают квартили

Точно так же, как медиана делит данные пополам, так что 50% измерения лежит ниже медианы, а 50% – выше нее, квартиль разбивает данные на кварталы, так что 25% измерений меньше нижнего квартиля, 50 % меньше среднего, а 75% меньше верхнего квартиля.

Квартиль делит данные на три точки – нижний квартиль, медиана и верхний квартиль – для формирования четырех групп набора данных. Нижний квартиль или первый квартиль обозначается как Q1 и является средним числом, которое находится между наименьшим значением набора данных и медианой. Второй квартиль, Q2, также является медианным. Верхний или третий квартиль, обозначаемый Q3, является центральной точкой, которая находится между медианой и наивысшим номером распределения.

Теперь мы можем выделить четыре группы, сформированные из квартилей. Первая группа значений содержит наименьшее число до Q1; во вторую группу входит Q1 до медианы; третий набор – это медиана Q3; четвертая категория включает Q3 в самую высокую точку данных всего набора.

Каждый квартиль содержит 25% от общего числа наблюдений. Как правило, данные располагаются от наименьшего к наибольшему: