Составление уравнения прямой - онлайн калькулятор

Нормальное уравнение прямой

Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 –

нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ — угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример 5. Дано 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой линии.

уравнение прямой в отрезках:

уравнение прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить в отрезках, например, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример 6. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Найти её, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Решение.Искомое уравнение имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример 7. Какая прямая проходит через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение. Имеем: , где х ₁ = у ₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид ,Ax+By+C=, где числа А, В, и C таковы, что длина вектора n→=(A, B) равна единице, а C≤ .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oху, является вектор n→=(A, B) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n→=(A, B) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α·x+cos β·y-p= , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n→=(cos α, cos β) , справедливо равенство n→=cos2 α + cos2 β=1 , величина p≥ и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Пример 7

Рассмотрим общее уравнение прямой -12·x+32·y-3=. Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n→=A2+B2=-122+32=1 и C=-3≤ .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты -12, 32 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n→=-12, 32 .

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости. Если в общем уравнении прямой Ax+By+C= числа А, В и С таковы, что уравнение Ax+By+C= не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду

Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой»

Если в общем уравнении прямой Ax+By+C= числа А, В и С таковы, что уравнение Ax+By+C= не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) с направляющим вектором (1, -1).

Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:

х + у — 3 = 0

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x, f(x) и x+∆x, f(x+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→, тогда обозначим как f(x)=lim∆x→∆y∆x.

Отсюда следует, что f'(x)=lim∆x→∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x, f(x), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x. Тогда получаем, что kx=f'(x).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой

Для того, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно
данной прямой, следует использовать следующее условие параллельности прямых.

Для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты
были равны.

Следовательно, эта задача просто обращается в задачу из примера 1.
В формулу (1) следует подставить угловой коэффициент заданной прямой.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой, проведённой
через две данные точки и
.

Решение. Используя условия параллельности прямых. Требуется сначала найти
угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C, а затем воспользоваться этим угловым
коэффициентом. Угловой коэффициент находим по формуле (3):

Угловой коэффициент искомой прямой также равен -5.

Теперь остаётся лишь составить уравнение прямой по угловому коэффициенту и точке, как
в примере 1:

Итак, получили уравнение вида (2).

Аналогично решается задача, если задано, что прямая перпендикулярна данной прямой.
Для её решения следует воспользоваться условием перпендикулярности прямых:

для перпендикулярности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы
их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Всё по теме «Прямая на плоскости

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения прямой и обратно.

При всей привычности уравнение прямой с угловым коэффициентом далеко не всегда удобно использовать при решении задач. В некоторых случаях задачи проще решаются, когда уравнение прямой представлено в другом виде. К примеру, уравнение прямой с угловым коэффициентом не позволяет сразу записать или . Поэтому следует научиться переходить от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения этой прямой.

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом легко получить каноническое уравнение прямой на плоскости вида . Для этого из правой части уравнения переносим слагаемое b в левую часть с противоположным знаком, затем делим обе части полученного равенства на угловой коэффициент k: . Эти действия приводят нас от уравнения прямой с угловым коэффициентом к каноническому уравнению прямой.

Пример.

Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом к каноническому виду.

Решение.

Выполним необходимые преобразования: .

Ответ:

Хорошо видно, что общее уравнение прямой легко получить из уравнения прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого нужно выполнить следующее действие . Далее от общего уравнения прямой можно перейти к уравнениям прямой другого вида. Эту процедуру Вы можете посмотреть в разделе теории .

Пример.

Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом . Является ли вектор нормальным вектором этой прямой?

Решение.

Для решения этой задачи перейдем от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению этой прямой: . Нам известно, что коэффициенты перед переменными x и y в общем уравнении прямой являются соответствующими координатами нормального вектора этой прямой, то есть, — нормальный вектор прямой . Очевидно, что вектор коллинеарен вектору , так как справедливо соотношение (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов). Таким образом, исходный вектор также является нормальным вектором прямой , а, следовательно, является нормальным вектором и исходной прямой .

Ответ:

да, является.

А сейчас будем решать обратную задачу – задачу приведения уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

От общего уравнения прямой вида , в котором , очень легко перейти к уравнению с угловым коэффициентом. Для этого нужно общее уравнение прямой разрешить относительно y. При этом получаем . Полученное равенство представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным .

Пример.

Дано уравнение прямой . Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Разрешим исходное уравнение относительно y, тем самым получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

Ответ:

Аналогично, разрешив уравнение прямой в отрезках или каноническое уравнение прямой относительно переменной y, мы получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Вот схема необходимых действий для приведения уравнения прямой в отрезках к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

А следующая схема поясняет приведение канонического уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом

Пример.

На плоскости задана прямая уравнением . Приведите это уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Оставим в левой части исходного уравнения только слагаемое с переменной y, остальные перенесем в правую часть с противоположным знаком: . Умножив обе части полученного равенства на -3 получаем требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

Ответ:

Пример.

Приведите уравнение прямой к уравнению с угловым коэффициентом.

Решение.

Пропорция представляет собой равенство . Разрешим его относительно y, тем самым получим искомое уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

Ответ:

Параметрические уравнения прямой вида сначала следует привести к каноническому уравнению прямой (подобный пример показан в разделе ), а уже потом можно переходить к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Найдите угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями .

Решение.

Если перейти от заданный параметрических уравнений прямой к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом, то мы сразу получим значение углового коэффициента.

Выполним переход.

Для этого получим сначала каноническое уравнение исходной прямой: .

Теперь разрешим полученное равенство относительно y и получим нужное уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент прямой равен двум.

Ответ:

k = 2.

Список литературы.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Анализ корреляции спроса и объема производства в Excel

Пример 3. В таблице содержатся данные о количестве произведенной продукции за месяц, а также о числе приобретенных товаров данной марки покупателями. Отобразить взаимосвязь между данными графически, определить, целесообразно ли использовать уравнение линейно регрессии для описания корреляции между спросом и числом произведенных товаров.

Вид таблицы данных:

Для определения зависимости между двумя рядами числовых данных рассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Полученное значение (0,983) свидетельствует о том, что между двумя числовыми диапазонами существует сильная прямая взаимосвязь. Поэтому целесообразно использовать аппроксимирующую прямую, для нахождения коэффициентов уравнения которой используем формулы:

Для нахождения спроса на товары за июль при условии, что будет произведено, например, 2000 единиц продукции, используем полученное уравнение:

Альтернативным использованию функции НАКЛОН вариантом нахождения наклона в Excel является графический метод. Построим график на основе имеющихся данных, при этом для значений X выберем диапазон ячеек со значениями числа произведенных товаров, а для Y – с числом купленных товаров:

Отобразим на графике линию тренда:

В меню «Формат линии тренда» установим флажок напротив пункта «показывать уравнение на диаграмме»:

График примет следующий вид:

Как видно, найденные коэффициенты a и b соответствуют отображаемым на графике.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х , у ), то расстояние до Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это линия, проходящей через заданную точку М перпендикулярно заданной прямой. Преобразовать первое к виду:

A(x – x ) + B(y – y ) + Ax + By + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в (1), находим:

Теорема доказана.

Пример 8. Определить угол между: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k ₁ = -3; k ₂ = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример 9. Показать, что 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. Находим: k ₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, они перпендикулярны.

Пример 10. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти высоту, проведенной из вершины С.

Решение. Находим сторону АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомая высота имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Примеры решения

Существует несколько типов задач на нахождение уравнения прямой, которая соприкасается с заданным графиком функции. Самой простой является задача со следующей формулировкой: прямая является касательной к графику функции. Найдите все точки касания. В этом случае задается уравнение графика функции и прямой. Некоторые задания считаются более сложными. В них необходимо написать уравнение касательной или касательных.

Упражнения и ход вычислений

Нужно написать уравнение прямой-касательной к y(x) = x^3 — 2x^2 + 3 в т. xо = 2. Следует воспользоваться следующим алгоритмом:

Значение в х0 = 1: y(2) = 2 * 2^2 — 3 * 2 + 1 = 3.
Производная в заданной точке: y'(2) = 4x — 3 = 5.
Подстановка: y = y(2) + y'(2) * (x — x0) = 3 + 5(x — 2) = 3 + 5x — 10 = 5x — 7.

Одним из типов задач является нахождение точек, лежащих на ОХ, в которых прямые (касательные) || OX. Задана функция f(x) = x^3 — x^2 — 3x + 7. Угол наклона равен 0 градусов, т. к. касательная || OX (производная в точках касания равна 0).

Алгоритм решения следующий:

Найти производную исходной функции: f'(x) = 3x^2 — 2x — 3.
Если приравнять выражение к 0, то получится обычное квадратное уравнение: 3x^2 — 2x — 3 = 0.
Дискриминант: D = b^2 — 4ac = 4 — 4 * 3 * (-3) = 40.
Уравнение имеет 2 корня: х1 = (2 — sqr(40)) / 6 = (1 — sqr(10)) / 3 и x2 = (1 + sqr(10)) / 3.

Рекомендуется оставить в таком виде, поскольку при вычислении кубического корня появятся некоторые погрешности. В этих примерах необязательно составление графика.

Особенности использования функции НАКЛОН в Excel

Функция имеет следующий синтаксис:

Описание аргументов (все являются обязательными для заполнения):

известные_значения_y – аргумент, принимающий массив числовых значений или ссылку на диапазон ячеек, которые содержат числа, характеризующие значения зависимой переменной y, которые определены для известных значений x;
известные_значения_x – аргумент, который может быть указан в виде массива чисел или ссылки на диапазон ячеек, содержащих числовые значения, которые характеризуют известные значения независимой переменной x.

В качестве аргументов должны быть переданы массивы чисел либо ссылки на диапазоны ячеек с числовыми значениями или текстовыми строками, которые могут быть преобразованы к числам. Строки, не являющиеся текстовыми представлениями числовых данных, а также логические ИСТИНА и ЛОЖЬ в расчете не учитываются.
Если в качестве аргументов были переданы массивы, содержащие разное количество элементов, или ссылки на диапазоны с разным количеством ячеек, функция НАКЛОН вернет код ошибки #Н/Д. Аналогичный код ошибки будет возвращен в случае, если оба аргумента принимают пустые массивы или ссылки на диапазоны пустых ячеек.
Если оба аргумента ссылаются на нечисловые данные, функция НАКЛОН вернет код ошибки #ДЕЛ/0!.
Если в диапазоне, переданном в качестве любого из аргументов, содержатся пустые ячейки, они игнорируются в расчете. Однако ячейки, содержащие значение 0 (нуль) будут учтены.