Как найти площадь треугольника, формула 🔺

Формулы, которыми можно воспользоваться в разных задачах

Известны длины сторон, и требуется найти площадь равнобедренного треугольника.

В этом случае нужно возвести в квадрат оба значения. То число, которое получилось от изменения боковой стороны, умножить на 4 и вычесть из него второе. Из полученной разности извлечь квадратный корень. Длину основания разделить на 4. Два числа перемножить. Если записать эти действия буквами, то получится такая формула:

Пусть она будет записана под №1.

Найти по значениям сторон площадь равнобедренного треугольника. Формула, которая кому-то может показаться проще, чем первая.

Первым действием нужно найти половину основания. Потом найти сумму и разность этого числа с боковой стороной. Два последних значения перемножить и извлечь квадратный корень. Последним действием умножить все на половину основания. Буквенное равенство будет выглядеть так:

Это формула №2.

Способ найти площадь равнобедренного треугольника, если известны основание и высота к нему.

Одна из самых коротких формул. В ней нужно перемножить обе данные величины и разделить их на 2. Вот как она будет записана:

Номер этой формулы — 3.

В задании известны стороны треугольника и значение угла, лежащего между основанием и боковой стороной.

Здесь, для того чтобы узнать, чему будет равна площадь равнобедренного треугольника, формула будет состоять из нескольких множителей. Первый из них — это значение синуса угла. Второй равен произведению боковой стороны на основание. Третий — дробь ½. Общая математическая запись:

Порядковый номер формулы — 4.

В задаче даны: боковая сторона равнобедренного треугольника и угол, лежащий между его боковыми сторонами.

Как и в предыдущем случае, площадь находится по трем множителям. Первый равен значению синуса угла, указанного в условии. Второй — это квадрат стороны. И последний также равен половине единицы. В итоге формула запишется так:

Ее номер — 5.

Формула, которая позволяет найти площадь равнобедренного треугольника, если известны его основание и угол, лежащий напротив него.

Сначала нужно вычислить тангенс половины известного угла. Полученное число умножить на 4. Возвести в квадрат длину боковой стороны, которое потом разделить на предыдущее значение. Таким образом, получится такая формула:

Номер последней формулы — 6.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.

Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,

и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.

После проведения медианы к середине 3-его отрезка, в равнобедренном треугольнике образуются 2 единообразных плоских тела с h между 2-мя катетами.

Таким образом, используя свойство сторон прямоугольного треугольника, выводим формулу, которая показана на картинке:

При высчитывание S равностороннего треугольника это выражение примет другой вид. Сравнить формулы нахождения площади равностороннего и равнобедренного треугольников можно, взглянув на картинку:

У остроугольного равнобедренного треугольника даны габариты боковины b = 3 см и базиса a = 2 см. Надлежит найти его S:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту

Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения.

У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника.

И общая их площадь сводится к:

где:

b — размер основания;
h – высота.

Задача №1.

Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.

Вычисления выглядят следующим образом:

Ответ: 12 см2.

Как посчитать, зная длину двух равных сторон и угол между ними

В таком случае S будет находиться, как половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами.

Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна (alphatimessin;beta) . Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника.

Полное произведение дает площадь прямоугольника, что очевидно. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам. Таким образом, площадь равнобедренного треугольника и будет равна половине произведения боковой стороны на высоту.

То есть формула будет такая же, как и в первом способе:

Задача

Стороны треугольника равны (2sqrt2) и (3) , S=3.

Найти: третью сторону.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, то есть:

Отсюда находим, что6

Возможны два случая: (alpha=45^circ) или (alpha=135^circ.)

В каждом из них найдём третью сторону по теореме косинусов:

Следовательно, (a=sqrt) или (a=sqrt5.)

Ответ: (a=sqrt) или (a=sqrt5.)

Дополнительные рекомендации

Чтобы научиться быстро решать подобные задачи, необходимо делать следующее:

Постоянно тренироваться в решении подобных задач.
Пробовать выучить формулы.
Решать головоломки. Это поможет развить логическое мышление, и возможно придумать свой вариант решения задачи.

Взрослым также не рекомендуется забывать эти формулы. Иногда они пригождаются в реальной жизни при выполнении, например, ремонтных или хозяйственных работ.

Теперь вы знаете, как можно легко и просто найти площадь равнобедренного треугольника. В случае чего, вы можете помочь вашему ребёнку разобраться с этой темой, или решить домашнее задание.

Школьная геометрия — это очень легко. Поэтому рекомендуется посвятить два вечера решению большого количества подобных задач, и тогда, ваш ребёнок сможет решать их очень быстро.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
Поделите результат на четыре.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

Общие формулы расчета площади треугольника
- 1. По основанию и высоте
- 2. Формула Герона
- 3. Через две стороны и угол между ними
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника
Площадь равностороннего треугольника
- 1. Через длину стороны
- 2. Через высоту
Примеры задач

Как посчитать, зная длину двух равных сторон и угол между ними

Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна $\alpha\times\sin\;\beta$. Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника.

Примечание

То есть формула будет такая же, как и в первом способе:

$S=\frac{h\times AC}2$

Задача

Стороны треугольника равны $2\sqrt2$ и $3$, S=3.

Найти: третью сторону.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, то есть:

$3=\frac12\times3\times2\sqrt2\times\sin\;\alpha$

Отсюда находим, что6

$\sin\;\alpha=\frac1{\sqrt2}$

Тогда:

$\left|\cos\;\alpha\right|=\frac1{\sqrt2}$

Возможны два случая: $\alpha=45^\circ$ или $\alpha=135^\circ.$

В каждом из них найдём третью сторону по теореме косинусов:

$a^2=\left(2\sqrt2\right)^2+3^2\pm2\times2\sqrt2\times3\times\frac1{\sqrt2}=8+9\pm12=17\pm12$

Следовательно, $a=\sqrt{29}$ или $a=\sqrt5.$

Ответ: $a=\sqrt{29}$ или $a=\sqrt5.$

Примеры задач

Первая задача: известно, что основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а его высота — 5 см. Нужно определить его площадь.

Для ее решения логично выбрать формулу под номером 3. В ней все известно. Подставить числа и сосчитать. Получится, что площадь равна 10 * 5 / 2. То есть 25 см2.

Первый способ. По формуле №1. При возведении в квадрат основания получается число 64, а учетверенный квадрат боковой стороны — 100. После вычитания из второго первого получится 36. Из него прекрасно извлекается корень, который равен 6. Основание, поделенное на 4, равно 2. Итоговое значение определится как произведение 2 и 6, то есть 12. Это ответ: искомая площадь равна 12 см2.

Второй способ. По формуле №2. Половина основания равна 4. Сумма боковой стороны и найденного числа дает 9, их же разность — 1. После умножения получается 9. Извлечение квадратного корня дает 3. И последнее действие, умножение 3 на 4, что дает те же 12 см2.

Особенности вычислений, зная длину основания и высоту

Рассмотрим треугольник ABC. Если опустить из вершины В высоту, то мы получим два прямоугольных треугольника. Тогда $S=\frac{h\times AC}2.$

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 13 см, а основание равно 10 см.

Найти: площадь равнобедренного треугольника.

Решение

Применим теорему Пифагора. Опустим из вершины B на основание AC высоту BK. Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна:

$AK=\frac{AC}2=\frac{10}2=5$

Высота с половиной основания и стороной образует прямоугольный ΔABK. В нем нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

Тогда можно узнать высоту:

$h=\sqrt{\left(13^2-5^2\right)}=\sqrt{144}=12$

Площадь исходного ΔABC будет равна площади ΔABK и ΔCBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба треугольника равны между собой. Гипотенузы — это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов — общий, а поскольку BK одновременно является и биссектрисой, и высотой, то соответствующие углы тоже равны. Поэтому нам будет достаточно измерить площадь одного из них и умножить полученное число на два.

Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим:

$S=\frac{AK\times BK}2=\frac{5\times12}2=30$

Поскольку в составе ΔABC два равных ΔABK и ΔCBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит:

$30\times2=60$

Ответ: $S=60\;см^2.$

Формула для расчета, зная длину основания и угол при основании

Тогда S рассчитывается как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами.

Если присмотреться, то станет очевидно, что половина основания, умноженная на tg, даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является одновременно биссектрисой и медианой, то tg — это отношение половины основания к высоте $\frac{{\displaystyle\frac12}b}h.$

Откуда $h=\frac b{2tg\;{\displaystyle\frac b2}}.$

В итоге формула снова будет сведена к более простой:

$S=\frac{h\times AC}2$

Задача

В ΔABC AC=2, а $\angle\alpha=45^\circ.$

Найти: S ΔABC.

Решение

Подставим данные значения в формулу и получим:

$S=\frac{b^2}4tg\;\alpha=\frac{2^2}4tg\;45^\circ=\frac44\times1=1$

Ответ: $S=1\;см^2$.

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы

Если известна одна сторона треугольника и два прилежащих к ней угла, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина квадрата данной стороны умноженная на дробь, в числителе которой, произведение синусов прилежащих углов, а в знаменателе синус угла, который лежит напротив.

Противолежащий угол можно сосчитать по формуле:

$\gamma=180^\circ-\left(\alpha+\beta\right)$

Тогда площадь будет равна:

$S=\frac12\times a^2\times\frac{\sin\;\left(\beta\right)\;\sin\;\left(\gamma\right)}{\sin\;\left(\alpha\right)}$

Задача

В ΔCDE CE=4, $\angle\alpha=45^\circ,\;\angle\gamma=45^\circ.$

Найти: S ΔCDE.

Решение

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то чтобы найти оставшийся угол, нужно из 180° вычесть 45° и 45°.

Получим 90°. Следует вписать данные значения в формулу, и тогда мы получим:

$S=\frac12\times a^2\times\frac{\sin\;\left(\beta\right)\;\sin\;\left(\gamma\right)}{\sin\;\left(\alpha\right)}=\frac12\times4^2\times\frac{\sin\;\left(45\right)\;\sin\;\left(45\right)}{\sin\;\left(90\right)}=\frac12\times16\times\frac{{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}\times{\displaystyle\frac{\sqrt2}2}}1=8\times\frac12=4.$

Свойства фигуры

Они оказываются верными помощниками в решении задач, которые требуют найти площадь равнобедренного треугольника. Поэтому знать и помнить о них необходимо.

Первое из них: углы равнобедренного треугольника, одна сторона которых — основание, всегда равны друг другу.
Важным является и свойство о дополнительных построениях. Проведенные к непарной стороне высота, медиана и биссектриса совпадают.
Эти же отрезки, проведенные из углов при основании треугольника, попарно равны. Это тоже часто облегчает поиск решения.
Два равных угла в нем всегда имеют значение меньше чем 90º.
И последнее: вписанная и описанная окружности строятся так, что их центры лежат на высоте к основанию треугольника, а значит медиане и биссектрисе.

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Признак 1 следует из определения 1.

Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).

Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике $ \small ABC $ $ \small AH $ является высотой и медианой (Рис.4). Тогда $ \small \angle 3=\angle4=90°, $ $ \small CH=HB. $ Треугольники $ \small AHC $ и $ \small AHB $ равны по двум сторонам и углу между ними (): $ \small AH $ − общая сторона, $ \small CH=HB, $ $ \small \angle 3=\angle4. $ Следовательно $ \small AB=AC. $

Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике $ \small ABC $ $ \small AH $ является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда $ \small \angle 3=\angle4=90°, $ $ \small \angle 1=\angle2. $ Треугольники $ \small AHC $ и $ \small AHB $ равны по стороне и прилежащим двум углам (): $ \small AH $ − общая сторона, $ \small \angle 1=\angle 2, $ $ \small \angle 3=\angle4. $ Следовательно $ \small AB=AC. $

Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике $ \small ABC $ $ \small AH $ является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда

Применим теорему синусов для треугольника $ \small AHC $:

Применим теорему синусов для треугольника $ \small AHB $:

тогда, из (5), (6), (7) получим:

Следовательно $ \small \sin \angle C= \sin \angle B. $ Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) $ \small \angle C= \angle B, $ 2) $ \small \angle C= 180° — \angle B. $ Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: $ \small \angle C + \angle B< 180° $ второй вариант исключается. Т.е. $ \small \angle C= \angle B $ и по признаку 2 треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике $ \small ABC $ $ \small AH $ является биссектрисой и медианой, т.е. $ \small \angle 1=\angle 2, $ $ \small CH=HB $ (Рис.6). На луче $ \small AH $ отложим отрезок $ \small HD $ так, чтобы $ \small AH=HD. $ Соединим точки $ \small C $ и $ \small D. $

Треугольники $ \small AHB $ и $ \small DHC $ равны по двум сторонам и углу между ними (). Действительно: $ \small AH=HD, $ $ \small CH=HB, $ $ \small \angle 4=\angle 5 $ (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда $ \small AB=CD, $ $ \small \angle 6=\angle 2. $ Отсюда $ \small \angle 6=\angle 1. $ Получили, что треугольник $ \small CAD $ равнобедренный (признак 2). Тогда $ \small AC=CD. $ Но $ \small AB=CD $ и, следовательно $ \small AB=AC. $ Получили, что треугольник $ \small ABC $ равнобедренный.

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Как найти площадь фигуры, если один угол прямой?

Может так оказаться, что угол между боковыми сторонами заданной треугольной фигуры составляет 90°. Тогда этот треугольник будет называться прямоугольным, его боковые стороны — катетами, а основание — гипотенузой.

Площадь такой фигуры можно вычислить вышеизложенным способом (находим середину гипотенузы, проводим к ней высоту, умножаем ее на гипотенузу, делим пополам). Но можно решить проблему гораздо проще.

Начнем с наглядности. Прямоугольный равнобедренный треугольник представляет собой ровно половину квадрата, если разрезать тот по диагонали. И если площадь квадрата находится простым возведением во вторую степень его стороны, то площадь нужной нам фигуры будет вдвое меньше.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата его боковой стороны. Проблема оказалась не такой уж серьезной, какой была на первый взгляд.

Решение геометрических задач не требует сверхчеловеческих усилий и вполне может пригодиться не только детям, но и вам при нахождении ответов на какие-либо практические вопросы.

Геометрия — точная наука. Если вникнуть в ее основы, то трудностей с ней будет немного, а логичность доказательств может очень увлечь вашего ребенка. Нужно просто немного ему помочь. Какой бы хороший учитель ему ни достался, родительская помощь лишней не будет.

А в случае с изучением геометрии очень полезным станет метод, о котором говорилось выше, — наглядности и простоты объяснения.

Нужно постараться как можно дальше отойти от академической сухости учебника и заменить ее на живое и практичное объяснение.

При этом нельзя забывать о точности формулировок, иначе можно сделать эту науку гораздо сложней, чем она есть на самом деле.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Лето — прекрасное время, чтобы заниматься ей с удовольствием, в комфортном темпе, без контрольных и оценок за четверть, валяясь дома на полу или за городом на травке.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом.

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е. правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами. Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны:

Как вы можете заметить, в этих формулах активно используются углы, их величины, косинусы, синусы и тангенсы. По этой причине, без специальной книжки вам не обойтись, хотя всю информацию вы сможете найти в Интернете. Отметим только, что в формулах угол альфа – тот, что находится между боковой стороной и основанием, а угол гамма (y) – тот, что находится между равными боковыми сторонами треугольника.

Примеры задач

Решая задачи по геометрии и определяя, как найти площадь равнобедренного треугольника, можно получить неоценимый опыт. Чем больше различных вариантов заданий выполнено, тем проще найти ответ в новой ситуации. Поэтому регулярное и самостоятельное выполнение всех заданий — это путь к успешному усвоению материала.

Определение равнобедренного треугольника

Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).

Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника ($ \small \angle A $ ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами ($ \small \angle B, \ \angle C $ ) называются углами при основании.

Существует более общее определение равнобедненого треугольника:

Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.

Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.

Задачи и решения

Задача 1. Известны основание $ \small a=5 $ и высота $ \small h=6 $ равнобедренного треугольника. Найти углы, боковые стороны, периметр, площадь.

Решение. Найдем боковые стороны $ \small b $ и $ \small c $ равнобедренного треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:

Откуда:

Подставляя значения $ \small a $ и $ \small h $ в (9), получим:

Боковая сторона $ \small c $ равнобедренного треугольника равна:

Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

Подставляя значения $ \small a=5, $ $ \small b=6.5 $ и $ \small c=6.5 $ в (10), получим:

Найдем угол $ \small B $ равнобедренного треугольника:

Подставляя значения $ \small a=5, $ $ \small h=6 $ в (11), получим:

Тогда угол $ \small C $ равнобедренного треугольника равен:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то имеем:

Площадь треугольника можно вычислить из формулы:

Подставляя значения $ \small a=5, $ $ \small h=6 $ в (12), получим:

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

Δ ABC
Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
Δ ABH = Δ BCH
Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Доказательство:

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Примеры вычисления площади треугольника

Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^$.

Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть

Как найти площадь треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см 2 ?

Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Калькулятор позволяет онлайн найти площадь треугольника разностороннего , треугольника прямоугольного , треугольника равнобедренного , треугольника равностороннего различными способами и выводит формулы с подробным решением.

1. Разносторонний треугольник:
1.1. по основанию и высоте: площадь треугольника равна произведению половины основания на его высоту;
1.2. по двум сторонам и углу между ними: площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними;
1.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника и каждой из его сторон;
1.4. по радиусу вписанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности;
1.5. по радиусу описанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна одной четвертой отношения произведения сторон на радиус описанной окружности.

2. Прямоугольный треугольник:
2.1. по основанию и высоте: площадь прямоугольно треугольника равна половине произведения катетов треугольника;
2.2. по отрезкам на которые делит гипотенузу вписанная окружность: площадь прямоугольно треугольника равна произведению произведению отрезков на которые делит гипотенузу вписанная окружность;
2.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь прямоугольно треугольника равна произведению разностей полупериметра треугольника и каждой его катетов.

3. Равнобедренный треугольник:
3.1. по боковым сторонам и углу между ними: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны на синус угла между боковыми сторонами;
3.2. по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения боковой стороны и основания на синус угла между ними;
3.3. по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна четверти отношения квадрата основания на тангенс половинного угла между боковыми сторонами.

4. Равносторонний треугольник:
4.1. по стороне: площадь равностороннего треугольника равна произведению одной четвертой корня из трех на квадрат стороны;
4.2. по радиусу описанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех четвертей корня из трех на квадрат радиуса описанной окружности;
4.3. по радиусу вписанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех корней из трех на квадрат радиуса вписанной окружности.
4.4. по высоте: площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата высоты к корню из трех.