Формулы площади, примеры расчетов
Площадь простой фигуры – положительная величина, обладающая перечисленными ниже свойствами:
- Равные геометрические фигуры обладают равными площадями.
- В случае, если простая фигура разделена на несколько частей, ее общая площадь будет всегда равна сумме площадей всех элементов.
- Площадь квадрата всегда равна единице, если его сторона соответствует единице измерения.
По стороне
В геометрии площадь всегда обозначается как S, а маленькие латинские буквы (например, а и b) – это стороны простой фигуры.
В основе вычисления площади любого прямоугольника по стороне лежит простая формула: S = ab, но в случае с квадратом формулу преобразовывают в S = а², так как две стороны одинаковы по длине.
Отсюда следует утверждение, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Пример 1: Дан квадрат, сторона которого равна 5 см. Чему равна площадь?Решение: S = 5² = 25 см
Пример 2: Сторона фигуры 3 см. Найдите площадь.Решение: S = 3² = 9 см
По диагонали
Еще один вариант найти площадь – это произвести вычисления относительно диагонали фигуры (d). Правда, для этого нужно сперва найти длину самой диагонали. Известно, что диагональ делит квадрат на два равнобедренных треугольника. А значит, вычисления можно провести по известной теореме Пифагора, где катетами будут выступать стороны квадрата, а гипотенузой – собственно диагональ.
Расчет площади по диагонали производится по принципу: площадь квадрата равна квадрату длины диагонали (вычисленной по теореме Пифагора) и поделенному на два.
Пример: Дан квадрат, диагональ которого составляет 10 см. Как вычислить площадь?Решение: Согласно формуле, приведенной выше, вычисления производятся так: S = 10²/2 = 100/2 = 50 cм²
По периметру
Периметр – сумма всех длин сторон квадрата. Обозначается периметр латинской буквой Р
Беря во внимание определение квадрата, получаем универсальную формулу расчета периметра для равностороннего четырехугольника: Р = 4а. То есть, периметр квадрата равен длине стороны, помноженной на четыре
Вычисления площади квадрата относительно суммы всех сторон необходимо в том случае, если в задаче задано только значение периметра. Зная формулу вычисления периметра, очень легко найти площадь.
Если Р = 4а, то а = Р/4. Далее уже нужно использовать формулу расчета площади по стороне.
Пример: Пусть будет дан квадрат с периметром 100 мм. Какова площадь?Решение: Сторона квадрата будет равна 100/4 = 25 мм. Ну, а площадь квадрата дальше вычисляется по формуле, где площадь квадрата равна квадрату сторон. То есть, S = 25² = 625 мм²
Площадь квадрата вписанного в окружность
Этот вариант используется как следствие формулы, полученной ранее (расчет по диагонали). Согласно математическим данным, диаметр круга как раз и будет равен диагонали квадрата. Поэтому, чтобы оперативно рассчитать площадь равностороннего четырехугольника, достаточно будет знать диаметр круга. А далее используется уже известная формула: S = d²/2
Типовая задача: например, дана окружность с диагональю 8 см и в нее вписан квадрат. Какая площадь четырехугольника?Правильное решение: S = 8²/2 = 64/2 = 32 cм²
Площадь квадрата
Больше примеров в школьном курсе при изучении квадрату связано с вычислением его площади и периметра. Вам может показаться что для вычисления площади достаточно знать одну формулу S=a*a и этого хватит для всех задач, однак это не так. Поскольку быстро информация воспринимается и изучается визуально, то мы объединили все величины квадрата которые Вам придется вычислять и нарисовали простые и понятные рисунки с формулами. Их без трудностей можете скачать по ссилке внизу статьи.
Большинство обозначений Вам понятна, но повторим их сноваa– сторона квадрата;d– диагональ;P– периметр;S– площадь;R– радиус описанной окружности;r– радиус вписанной окружности;l– отрезок изображен на рисунке (часто используется в сложных примерах).
Формулы площади квадрата которые приведены ниже дают возможность вычислять ее через периметр, сторону, диагонали, радиусы .
Они не слишком сложные и каждая из них может Вам пригодиться для вычисления площади квадрата.
Периметр квадрата
Что может быть проще вычисления периметра квадрата если конечно известно его стороны. Однако, если задана только диагональ, площадь, радиус то нахождение периметра не так очевидно. Приведенный ниже рисунок содержит самые необходимые формулы для вычисления параметра
Сами же формулы периметру от различных параметров квадрату привидены ниже
Диагональ квадрата
Диагональ квадрата может бить выражена через радиусы вписанной, описанной окружностей, сторону, периметр, площадь следующими формулам.
В качестве справочника формул диагонали квадрата можете использовать следующий рисунок.
Соотношение между единицами измерения площадей
Площадь измеряется в «квадратных» величинах: м2, см2, км2 и т.д. Как связаны эти единицы измерения? Для ответа на этот вопрос построим квадрат со стороной 1 см и разобьем каждую его сторону на отрезки длиной 1 мм. Естественно, что таких отрезков будет 10, ведь, в 1 см равен 10 мм. Далее разобьем большой квадрат на маленькие, их число будет равно 102 = 100:
Площадь большого квадрата равна 1 см2, а площадь маленьких составляет 1 мм2. Так как большой квадрат состоит из 100 маленьких, мы можем записать:
Существуют специальные единицы измерения площади, известные как ар (обозначается сокращением а) и гектар (сокращение га). Первый представляет собой квадрат со стороной 10 м, а второй – со стороной 100 м. Верны следующие соотношения:
В частности, если стороны квадратов отличаются в 10 раз, то их площади отличаются уже в 100 раз. Отсюда вытекает быстрый метод перевода единиц площади. Пусть надо перевести 1 квадратный километр в квадратные дециметры. Сначала мы считаем, во сколько раз километр длиннее дециметра:
Задание. Площадь окружности равна 24 см2. Выразите эту величину в мм2 и м2.
Решение. Миллиметр в 10 раз меньше сантиметра, а потому 1 см2 равен 100 мм2:
Площадь произвольного треугольника
Перейдем к более сложному случаю, когда необходимо подсчитать площадь произвольного треугольника, не являющегося прямоугольным. Предположим, надо найти площадь произвольного ∆АВС. Опустим из А на сторону ВС высоту АН:
В результате мы получили два прямоугольных треуг-ка, ∆АВН и ∆АCН. Мы уже знаем, как найти их площади:
Общая площадь всего ∆АВС равна сумме площадей ∆АВН и ∆АСН. Запишем ее и вынесем общий множитель АН/2 за скобки:
В скобках стоит сумма ВН + НС. Но ведь эта сумма равна длине стороны ВС! Тогда окончательно формулу можно записать в виде:
Получили, что для вычисления площади произвольного треугольника надо сначала умножить его высоту на сторону, на которую она падает, а далее поделить результат на 2. Однако для полного доказательства этого факта надо рассмотреть особый случай, когда высота в треуг-ке падает не на сторону, а на ее продолжение (такая ситуация возникает в тупоугольном треуг-ке):
На рисунке снова получились всё те же прямоугольные треуг-ки ∆АСН и ∆АВН. Запишем формулы их площади:
Отличие в том, что на этот раз площадь АВС можно вычислить не как сумму, а как разницу этих площадей:
Итак, можно сформулировать следующее правило:
Примечание. Часто сторону, на которую опущена высота, называют основанием треуг-ка.
Задание. Вычислите площадь ∆АВС, если сторона АВ имеет длину 7, а высота СН равна 4.
Решение. В данной задаче на сторону длиной 7 падает высота длиной 4. Надо просто подставить эти числа в формулу:
Задание. Докажите, что медиана треуг-ка разбивает его на два равновеликих треуг-ка.
Решение.
Пусть в ∆АВС проведена медиана СМ. Требуется доказать, что
Важно заметить, что СН будет являться высотой не только для ∆АВС, но также и для ∆СВМ и ∆САМ. Обозначим СН как h, а АВ как а
Тогда мы можем найти длины отрезков ВМ и АМ, ведь медиана делит сторону АВ пополам:
Получили одно и то же значение, то есть площади треуг-ков равны.
В рассмотренной задаче мы использовали тот факт, что у нескольких треуг-ков может быть общая высота. Общая высота используется и в многих других геометрических задачах.
Задание. Предложите способ, как разделить треуг-к, показанный на рисунке, на три равновеликих треуг-ка:
Чтобы треуг-ки были равновелики, достаточно, чтобы у них была общая высота, а основания, на которые эта высота падает, были бы равны друг другу. Поэтому можно просто поделить нижнюю сторону на три одинаковых отрезка (длиной по 7 клеток) и соединить концы полученных отрезков с противоположной вершиной:
Красной линией здесь показаны границы треуг-ков, а штриховой – их общая высота СН. Вычислить площадь каждого из треуг-ков можно по следующим формулам:
Но отрезки BD, DE и EA одинаковы (по 7 клеточек), поэтому одинаковы будут и площади:
Заметим, что необязательно делить на три одинаковых отрезка именно нижнюю сторону. Допустимы и два других варианта решения:
Но и это не единственные решения задачи. Попробуйте самостоятельно предложить ещё несколько вариантов.
Формула площади треуг-ка показывает, что между длинами высот и сторон есть взаимосвязь.
Задание.В ∆РЕТ РЕ = 72, ЕТ = 45. Высота ТН имеет длину 40. Найдите высоту РМ.
Решение.
Зная ТН и РЕ, мы сможем найти площадь треуг-ка:
Теперь запишем эту формулу площади в ином виде, когда используется высота МР и сторона ЕТ
Величину SРЕТ мы только что вычислили, а длина ЕТ известна из условия, поэтому можно подставить их в формулу:
Площадь прямоугольника
Ещё из младшей школы известно, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажем этот факт, используя только свойства площади и выведенную нами ранее формулу площади квадрата.
Возьмем произвольный прямоугольник со сторонами a и b. Далее достроим его до квадрата со стороной (а + b):
С одной стороны, площадь большого квадрата (со стороной а + b) равна величине (а + b)2. С другой стороны, он состоит из 4 фигур, а потому его площадь равна сумме
Итак, мы доказали следующее утверждение:
Задание. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 5 и 8 см?
Решение. Просто перемножаем эти числа:
Задание. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:
Решение. Необходимо разбить фигуры на несколько прямоугольников:
Далее считаем площадь каждого отдельного прямоугольника:
Задание. Полкомнаты необходимо покрыть паркетом. Длина и ширина комнаты равны 6 и 5,5 метрам, а каждая дощечка паркета имеет габариты 30х5 см. Сколько дощечек паркета необходимо купить для ремонта?
Решение. В таких задачах прежде всего следует все длины выразить в одних единицах измерения. Перепишем габариты комнаты:
Важно убедиться, что пол можно полностью покрыть целым числом дощечек, не используя какие-либо дощечки наполовину. Для этого габариты дощечки должны быть габаритам комнаты
Это условие соблюдается:
Получается, что для покрытия пола дощечки необходимо разместить их в 20 рядов, в каждом из которых будет 110 досок. Тогда общее количество досок будет равно
Задание. Площадь прямоугольника равна 64, а одна из его сторон имеет длину 16. Найдите вторую сторону прямоугольника.
Решение. Запишем формулу площади прямоугольника:
Задание. Найдите стороны прямоугольника, если площадь равна 500, а одна из сторон в 5 раз больше другой стороны.
Решение. Обозначим меньшую сторону переменной х. Тогда большая сторона будет в 5 раз больше, то есть она равна 5х. Площадь прямоугольника будет вычисляться как произведение этих чисел
Мы получили два значения х, 10 и (– 10). Естественно, длина отрезка не может выражаться отрицательным числом, поэтому нам подходит только значение 10. Это длина меньшей стороны. Большая же сторона в 5 раз длиннее, то есть ее длина равна
Задание. Одна сторона прямоугольника длиннее другой на 5 см, а площадь прямоугольника равна 150 см2. Вычислите обе стороны прямоугольника.
Решение. Снова обозначим длину меньшей стороны буквой х, тогда большая сторона будет иметь длину х + 5 см. По условию произведение этих сторон равно 150:
Это обычное квадратное уравнение, решаемое с помощью:
Снова получили два корня, из которых только один является положительным. Итак, меньшая сторона равна 10 см. Тогда большая сторона буде равна
Задание. Периметр прямоугольника равен 16 см, а площадь составляет 15 см2. Каковы стороны этого прямоугольника?
Решение. Обозначим смежные стороны буквами a и b. Тогда и две другие стороны также будут равны а и b. Так как периметр (его обозначают буквой Р) по определению является суммой длин всех сторон, то для прямоугольника он будет равен:
Если сюда вместо S подставить 15, а вместо а выражение 8 – b, то получим такое уравнение:
Оба полученных корня являются положительными числами, то есть устраивают нас. Зная b, легко найдем и a:
В первом случае получается, что стороны равны 3 и 5 см. Во втором случае получились те же числа, только в другом порядке: 5 и 3 см. То есть эти два ответа, по сути, идентичны друг другу.
Ответ: 5 см; 3 см.
Заключение
Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.
- d = rad2*a;
- d = rad2*radS;
- d = rad2*P/4;
- d = 2*R;
- d = rad2*2*r.
Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.
Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.
Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.
