Доверительный интервал — формула и примеры определения вероятности

Выбор варианта отображения процента в ячейке

Как ранее уже было сказано, проценты могут выглядеть в виде обычных чисел со знаком %, либо в виде десятичных дробей. В Excel можно выбрать оба варианта отображения ячеек.

Для этого, правой кнопкой мыши щелкните на ячейку с процентным значением, далее выберите пункт “Формат ячеек”.

В открывшемся окне в разделе “Число” можно выбрать “Процентный” формат отображения ячейки и сразу посмотреть образец, как это будет выглядеть.

Также, в этом же разделе можно выбрать “Числовой” формат, при котором проценты будут отображаться в виде десятичных дробей, а само значение процента автоматически будет пересчитано (т.е. вместо 15% будет отображаться 0,15).

Надеемся, данное руководство будет полезно при вычислениях с процентными величинами в Microsoft Excel, как новичку, так и опытному пользователю.

Доверительный интервал для среднего

Использование нормального распределения

Выборочное среднее имеет нормальное распределение, если объем выборки большой, поэтому можно применить знания о нормальном распределении при рассмотрении выборочного среднего.

В частности, 95% распределения выборочных средних находится в пределах 1,96 стандартных отклонений (SD) среднего популяции.

Когда у нас есть только одна выборка, мы называем это стандартной ошибкой среднего (SEM)  и вычисляем 95% доверительного интервала для среднего следующим образом:

Если повторить этот эксперимент несколько раз, то интервал будет содержать истинное среднее популяции в 95% случаев.

Обычно это доверительный интервал как, например, интервал значений, в пределах которого с доверительной вероятностью 95% находится истинное  среднее популяции (генеральное среднее).

Хотя это не вполне строго (среднее в популяции есть фиксированное значение и поэтому не может иметь вероятность, отнесённую к нему) таким образом интерпретировать доверительный интервал, но концептуально это удобнее для понимания.

Использование t-распределения

Можно использовать нормальное распределение, если знать  значение дисперсии в популяции. Кроме того, когда объем выборки небольшой, выборочное среднее отвечает нормальному распределению, если данные, лежащие в основе популяции, распределены нормально.

Если данные, лежащие в основе популяции, распределены ненормально и/или неизвестна генеральная дисперсия (дисперсия в популяции), выборочное  среднее подчиняется t-распределению Стьюдента.

Вычисляем 95% доверительный интервал для генерального среднего в популяции следующим образом:

t-

Вообще, она обеспечивает более широкий интервал, чем при использовании нормального распределения, поскольку учитывает дополнительную неопределенность, которую вводят, оценивая стандартное отклонение популяции и/или из-за небольшого объёма выборки.

Когда объём выборки большой (порядка 100 и более), разница между двумя распределениями (t-Стьюдента и нормальным) незначительна. Тем не менее всегда используют t-распределение при вычислении доверительных интервалов, даже если объем выборки большой.

Обычно указывают 95% ДИ. Можно вычислить другие доверительные интервалы, например 99% ДИ для среднего.

Вместо произведения стандартной ошибки и табличного значения t-распределения, которое соответствует двусторонней вероятности 0,05, умножают её (стандартную ошибку) на значение, которое соответствует двусторонней вероятности 0,01. Это более широкий доверительный интервал, чем в случае 95%, поскольку он отражает увеличенное доверие к тому, что интервал действительно включает среднее популяции.

Как самостоятельно рассчитать доверительный интервал в Excel?

Расчет доверительного интервала в Excel (т.е. верхней и нижней границы прогноза) рассмотрим на примере. У нас есть временной ряд — продажи по месяцам за 5 лет. См. Вложенный файл.

Для расчета границ прогноза рассчитаем:

1. Прогноз продаж (см. статью «Как самостоятельно рассчитать прогноз продаж с учетом роста и сезонностью»).
2. Сигма — среднеквадратическое отклонение модели прогноза от фактических значений.
3. Три сигма.
4. Доверительный интервал.

1. Прогноз продаж.

О том, «как рассчитать прогноз продаж с учетом роста и с сезонностью» подробно описано в данной статье. Поэтому для тех, кто еще не изучал данный материал и не знает, как самостоятельно рассчитать прогноз продаж по месяцам с учетом роста и сезонности, рекомендуем для понимания последующих действий изучить данную статью, а затем перейти к дальнейшему изучению данного материала.

Для расчета сигма рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого месяца.

1. Для этого на 7-м шаге во вложенном файле рассчитаем значения прогнозной модели, в нашем случае это прогноз с линейным трендом и сезонностью.

Значение модели = Значение тренда умножим на коэффициент сезонности соответствующего месяца.

В Excel введем формулу:

=RC (ссылка на тренд) *ВПР(RC;R8C9:R19C10;2;0) (формула ВПР со ссылкой на коэффициент сезонности соответствующего месяца)

2. Рассчитаем квадрат разницы фактических значений и прогнозной модели (Xi-Ximod)^2 (8 этап во вложенном файле)

=(RC (данные во временном ряду) — RC (значение модели) )^2 (в квадрате)

3. Просуммируем для каждого месяца значения отклонений из 8 этапа Сумма((Xi-Ximod)^2), т.е. просуммируем январи, феврали. для каждого года.

Для этого воспользуемся формулой =СУММЕСЛИ()

=СУММЕСЛИ(массив с номерами периодов внутри цикла (для месяцев от 1 до 12);ссылка на номер периода в цикле; ссылка на массив с квадратами разницы исходных данных и значений периодов)

4. Рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого периода в цикле от 1 до 12 (10 этап во вложенном файле).

Для этого из значения рассчитанного на 9 этапе мы извлекаем корень и делим на количество периодов в этом цикле минус 1 = КОРЕНЬ((Сумма(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Воспользуемся формулами в Excel =КОРЕНЬ(R8 (ссылка на (Сумма(Xi-Ximod)^2) /(СЧЁТЕСЛИ($O$8:$O$67 (ссылка на массив с номерами цикла) ; O8 (ссылка на конкретный номер цикла, которые считаем в массиве) )-1))

С помощью формулы Excel = СЧЁТЕСЛИ мы считаем количество n

Рассчитав среднеквадратическое отклонение фактических данных от модели прогноза, мы получили значение сигма для каждого месяца — этап 10 во вложенном файле.

На 11 этапе задаем количество сигм — в нашем примере «3» (11 этап во вложенном файле):

Также удобные для практики значения сигма:

1,64 сигма — 10% вероятность выхода за предел (1 шанс из 10);

1,96 сигма — 5% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 20);

2,6 сигма — 1% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 100).

5) Рассчитываем три сигма, для этого мы значения «сигма» для каждого месяца умножаем на «3».

3.Определяем доверительный интервал.

1. Верхняя граница прогноза — прогноз продаж с учетом роста и сезонности + (плюс) 3 сигма;
2. Нижняя граница прогноза — прогноз продаж с учетом роста и сезонности – (минус) 3 сигма;

Для удобства расчета доверительного интервала на длительный период (см. вложенный файл) воспользуемся формулой Excel =Y8+ВПР(W8;$U$8:$V$19;2;0) , где

Y8 — прогноз продаж;

W8 — номер месяца, для которого будем брать значение 3-х сигма;

$U$8:$V$19 — таблица, из которой с помощью функции =ВПР извлекаем значение 3-х сигма, соответствующее данному месяцу, фиксируем ссылку на таблицу с помощью F4, подробнее в статье «Как зафиксировать ссылку в Excel».

Т.е. Верхняя граница прогноза = «прогноз продаж» + «3 сигма» (в примере, ВПР(номер месяца; таблица со значениями 3-х сигма; столбец, из которого извлекаем значение сигма равное номеру месяца в соответствующей строке;0)).

Нижняя граница прогноза = «прогноз продаж» минус «3 сигма».

Итак, мы рассчитали доверительный интервал в Excel.

Теперь у нас есть прогноз и диапазон с границами в пределах, которого с заданной вероятностью сигма попадут фактические значения.

В данной статье мы рассмотрели, что такое сигма и правило трёх сигм, как определить доверительный интервал и для чего вы можете использовать данную методику на практике.

Построение доверительного интервала при распределении отличном от нормального

В случае если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности не известно или распределение отлично от нормального, для построения доверительного интервала используется t-распределение. Это методика является более консервативной, что выражается в более широких доверительных интервалах, по сравнению с методикой, базирующейся на Z-оценке.

Формула

Для расчета нижнего и верхнего предела доверительного интервала на основании t-распределения применяются следующие формулы

где X – математическое ожидание выборки, α – уровень статистической значимости, t_α – t-критерий Стьюдента для уровня статистической значимости α и количества степеней свободы (n-1), σ – среднеквадратическое отклонение выборки, n – количество наблюдений в выборке.

Сам доверительный интервал может быть записан в следующем виде

Распределение Стьюдента или t-распределение зависит только от одного параметра – количества степеней свободы, которое равно количеству индивидуальных значений признака (количество наблюдений в выборке). Значение t-критерия Стьюдента для заданного количества степеней свободы (n) и уровня статистической значимости α можно узнать из справочных таблиц.

Пример

Предположим, что размер выборки составляет 25 индивидуальных значений, математическое ожидание выборки равно 50, а среднеквадратическое отклонение выборки равно 28. Необходимо построить доверительный интервал для уровня статистической значимости α=5%.

В нашем случае количество степеней свободы равно 24 (25-1), следовательно соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня статистической значимости α=5% составляет 2,064. Следовательно, нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят

L = 50 — 2,064	28	= 38,442
√25

L = 50 + 2,064	28	= 61,558
√25

А сам интервал может быть записан в виде

50 ± 11,558

Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Использование t-распределения позволяет сузить доверительный интервал либо за счет снижения статистической значимости, либо за счет увеличения размера выборки.

Снизив статистическую значимость с 95% до 90% в условиях нашего примера мы получим соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента 1,711.

L = 50 — 1,711	28	= 40,418
√25

L = 50 + 1,711	28	= 59,582
√25

50 ± 9,582

В этом случае мы можем утверждать, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Если мы не хотим снижать статистическую значимость, то единственной альтернативой будет увеличение объема выборки. Допустим, что он составляет 64 индивидуальных наблюдения, а не 25 как в первоначальном условии примера. Табличное значение t-критерия Стьюдента для 63 степеней свободы (64-1) и уровня статистической значимости α=5% составляет 1,998.

L = 50 — 1,998	28	= 43,007
√64

L = 50 + 1,998	28	= 56,993
√64

50 ± 6,993

Это дает нам возможность утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .

Оценка качества системы A/B-тестирования

1. Если , то либо стат. тест, либо выбранная метрика слишком консервативны. То есть у A/B-тестов заниженная чувствительность («стойкий оловянный солдатик»). И это плохо, т. к. в процессе эксплуатации такой системы A/B-тестирования мы будем часто отклонять изменения, которые действительно что-то улучшили, т. к. мы не почувствовали улучшения (т. е. мы будем часто совершать ошибку второго рода).
2. Если , то либо стат. тест, либо выбранная метрика слишком чувствительны («принцесса на горошине»). Это тоже плохо, т. к. в процессе эксплуатации мы будем часто принимать изменения, которые в действительности ни на что не влияли (т. е. мы будем часто совершать ошибку первого рода).
3. Наконец, если , значит, стат. тест вместе с выбранной метрикой показывают хорошее качество и такой системой можно пользоваться для проведения A/B-тестирования.

(а) Перебираем все возможные пары	(б) Случайно разбиваем на непересекающиеся пары
Рисунок 4. Два варианта разбиения 4 групп пользователей (, , , ) на пары.

серьезным недостаткомзависимыхЕсли число пар невелико, то как нам надежно измерить ?

1. Повторять раз:
   • Случайно распределить всех пользователей по группам;
   • Случайно разбить групп на пар;
   • Для всех пар провести A/A-тест и вычислить процент прокрасившися пар на данной -ой итерации

2. вычислить как среднее по всем итерациям:

система оценки качества метрик

Критерий Стьюдента в Microsoft Excel

​ совокупности имеющей нормальное​ его квантили.​ способе округления границ.​ способа. Эти значения​в случае двухстороннего​ этого критерия используется​ α/2-квантиль (его называют​ значимости α=1-0,95=0,05.​ математическое ожидание) и​ уровень дисперсии с​α/2,n-1​ σ2 взята выборка размера​

Определение термина

​ α/2-квантиль. Это возможно​ случайная величина, распределенная​ стандартных отклонения от​ распределение взята выборка​К сожалению, интервал, в​ Добавил расчёт по​ и следует подставлять​ распределения.​ целый набор методов.​ просто α/2-квантиль), т.к.​Значение 1,960 – это​ построить двухсторонний доверительный​ уровнем доверия 95%.​)=α/2). Чтобы найти этот​ n. Необходимо на​Правая граница: =78+НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*8/КОРЕНЬ(25)=81,136​ не известна (оно​

Расчет показателя в Excel

​ потому, что стандартное​ по нормальному закону,​ среднего значения (см.​ размера n. Предполагается,​ котором​​ своему источнику с​​ в данную функцию.​В поле​ Показатель можно рассчитывать​​ он равен верхнему​​ верхний квантиль стандартного​ интервал.​Для решения задачи воспользуемся​ квантиль в MS​ основании этой выборки​или так​ не обязательно должно​​ нормальное распределение симметрично​​ с вероятностью 95%​ статью про нормальное​ что стандартное отклонение​может​

Способ 1: Мастер функций

​ округлением вниз. Разница​После того, как данные​«Тип»​

1. ​ с учетом одностороннего​ α/2-квантилю со знаком​

2. ​ нормального распределения, соответствующий​Т.к. в этой задаче​ выражением​​ EXCEL используйте формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(α;​​ оценить дисперсию распределения​Левая граница: =НОРМ.ОБР(0,05/2; 78;​

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

3. ​ быть нормальным). Среднее,​ относительно оси х​ попадает в интервал​​ распределение). Этот интервал,​​ этого распределения известно.​​находиться неизвестный параметр,​​ значительная.​ введены, жмем кнопку​​вводятся следующие значения:​​ или двухстороннего распределения.​

4. ​ минус.​ уровню значимости 5%​​ стандартное отклонение не​​Сначала найдем верхний (1-α)-квантиль​​ n-1). χ2​​ и построить доверительный​ 8/КОРЕНЬ(25))​ т.е. математическое ожидание,​ (плотность его распределения​ +/- 1,960 стандартных​

   ​ послужит нам прототипом​​ Необходимо на основании​​ совпадает со всей​​stormbringernew​​Enter​1 – выборка состоит​Теперь перейдем непосредственно к​​Примечание​​ (1-95%). В нашем​ известно, то вместо​

   ​ (или равный ему​​1-α/2,n-1​​ интервал.​

   • ​Правая граница: =НОРМ.ОБР(1-0,05/2;​ этого распределения также​
   • ​ симметрична относительно среднего,​ отклонений, а не+/-​
   • ​ для доверительного интервала.​ этой выборки оценить​ возможной областью изменения​

   ​: Можете ваш источник​для вывода результата​​ из зависимых величин;​​ вопросу, как рассчитать​

​: Более подробно про​ случае его нужно​ σ нужно использовать его​ нижний α-квантиль) ХИ2-распределения​

Способ 2: работа со вкладкой «Формулы»

​ – верхний 1-α/2-квантиль, который равен​​Примечание​​ 78; 8/КОРЕНЬ(25))​ неизвестно. Известно только​ т.е. 0). Поэтому,​​ 2 стандартных отклонения.​​Теперь разберемся,знаем ли мы​ неизвестное среднее значение​

1. ​ этого параметра, поскольку​ назвать?​ на экран.​2 – выборка состоит​​ данный показатель в​​ t-распределение Стьюдента см.​

2. ​ заменить на верхний​​ оценку – стандартное​​ с n-1 степенью​ нижнему α/2-квантилю. Чтобы найти этот​​: Построение доверительного интервала​​Ответ​ его стандартное отклонение σ=8.​​ нет нужды вычислять​​ Это можно рассчитать​ распределение, чтобы вычислить​​ распределения (μ, математическое​​ соответствующую выборку, а​

3. ​Цитата​Как видим, вычисляется критерий​ из независимых величин;​ Экселе. Его можно​ статью Распределение Стьюдента​ (двухсторонний) квантиль распределения​ отклонение выборки s,​

Способ 3: ручной ввод

​ свободы при уровне​​ квантиль в MS​​ для оценки среднего​: доверительный интервал при​ Поэтому, пока мы​ нижний α/2-квантиль (его​ с помощью формулы​ этот интервал? Для​ ожидание) и построить​

​Формуляр, 21.07.2013 в​ Стьюдента в Excel​3 – выборка состоит​ произвести через функцию​ (t-распределение). Распределения математической​ Стьюдента с n-1​

​ и, соответственно, вместо​ значимости α равном 1-0,95=0,05.​​ EXCEL используйте формулу =ХИ2.ОБР(α;​​ относительно нечувствительно к​ уровне доверия 95%​

​ не можем посчитать​ называют просто α/2-квантиль),​ =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2), см. файл​ ответа на вопрос​ соответствующий двухсторонний доверительный​ параметра, можно получить​ 12:35, в сообщении​ очень просто и​ из независимых величин​СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ​ статистики в MS​

​ степенью свободы  t​

lumpics.ru>

Недостаточность точечных оценок

Какими бы хорошими свойствами эти оценки не обладали, например несмещенностью и эффективностью, все же в ряде случаев, представляющих большой практический интерес, оказывается недостаточным характеризовать качество и надежность изделий только с помощью оценок.

Если отказ элемента приводит к большому ущербу, то используются только очень надежные элементы. В случае показательного закона отказов это означает, что величина должна быть крайне мала.

Поскольку время Т проведения испытаний ограничено, то малость приводит к тому, что среднее число отказов, наблюдаемых при проведении испытаний, также мало.

Может оказаться, что при проведении испытаний отказы вообще не наблюдаются. В тех случаях, когда наблюдаемое число отказов отлично от нуля, но невелико, естественная мера разброса значений случайной оценки — отношение корня из дисперсии к математическому ожиданию — велика (>1), поэтому величина оценки резко меняется от испытания к испытанию и не может служить устойчивой характеристикой надежности элементов.

Эти критические замечания подводят нас к целесообразности использования для оценки параметра экспоненциального закона метода доверительных интервалов.

Двусторонним доверительным интервалом для параметра с коэффициентом доверия, не меньшим , называется случайный интервал , концы которого зависят только от исходов испытаний х и для любого > 0

Верхним и нижним односторонними интервалами называются такие случайные интервалы, для которых при любом > 0 соответственно

При построении доверительных интервалов мы будем использовать общий метод. При этом в качестве случайных величин, распределение которых зависит от неизвестного параметра , мы будем брать значения достаточных статистик, которые получаются в результате проведения испытаний.

Заметим, поскольку оценки для параметра являются монотонными функциями от рассматриваемых ниже достаточных статистик, то доверительные интервалы, полученные исходя из оценок, с одной стороны, и достаточных статистик, с другой, — совпадают. Мы несколько изменим порядок изложения, рассмотрев сначала более простые планы , , , , а затем более сложные планы , , .

ДОВЕРИТ (функция ДОВЕРИТ)

Описание

​Прогноз​ С помощью прогноза​Уровень значимости​

​Стандартное_откл​ что выборочное среднее​α/2​ распределений не равна​Примечание​2​Размер выборки​Размер​ μ0. В этом​В этой статье описаны​Функции прогнозирования​Включить статистические данные прогноза​ сезонность вручную, не​ данные. Тем не​нажмите кнопку​ вы можете предсказывать​2,5​     — обязательный аргумент.​ отличается от μ0​ для различных уровней значимости​ Δ​: Случай, когда дисперсии​. Мы делаем предположение,​Формула​     — обязательный аргумент.​ случае гипотеза не​ синтаксис формулы и​koshareg​Установите этот флажок, если​ используйте значения, которые​ менее при запуске​Лист прогноза​ такие показатели, как​Стандартное отклонение для генеральной​ Стандартное отклонение генеральной​ более чем на​ (10%; 5%; 1%)​0​ распределений известны, кажется​ что эта разница​Описание​ Размер выборки.​ отвергается, если μ0​ использование функции​: Доброго времени суток!​ вы хотите дополнительные​ меньше двух циклов​ прогноз слишком рано,​.​ будущий объем продаж,​ совокупности​ совокупности для диапазона​ x, превышает значение​ используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(1-α/2).​. А если Хср​ несколько натянутым, т.к.​ равна Δ​Результат​

​Если какой-либо из аргументов​​ принадлежит доверительному интервалу,​ДОВЕРИТ​У меня такая​ статистические сведения о​ статистических данных. При​ созданный прогноз не​В диалоговом окне​ потребность в складских​50​ данных, предполагается известным.​ уровня значимости «альфа».​В файле примера решена​1​ обычно на практике​0​

​=ДОВЕРИТ(A2;A3;A4)​ не является числом,​ и отвергается, если​в Microsoft Excel.​ проблема. нужно построить​

Синтаксис

​ включенных на новый​

​ таких значениях этого​ обязательно прогноз, что​

• ​Создание листа прогноза​​ запасах или потребительские​Размер выборки​Размер​ Для любого математического​ задача для построения​- Хср​ дисперсии неизвестны, а​, т.е. Δ​Доверительный интервал для математического​ функция ДОВЕРИТ возвращает​

• ​ μ0 ему не​​Возвращает доверительный интервал для​ диаграмму с доверительным​ лист прогноза. В​ параметра приложению Excel​

• ​ вам будет использовать​​выберите график или​ тенденции.​

Замечания

• ​Формула​     — обязательный аргумент.​ ожидания μ0, не​ двустороннего доверительного интервала​

• ​2​ если и известны,​0​ ожидания генеральной совокупности.​

• ​ значение ошибки #ЗНАЧ!.​ принадлежит. Доверительный интервал​ среднего генеральной совокупности​

• ​ интервалом.​ результате добавит таблицу​ не удастся определить​

• ​ статистических данных. Использование​ гистограмму для визуального​Сведения о том, как​Описание​

• ​ Размер выборки.​ относящегося к этому​ для разницы двух​попадает в границы​ то, скорее всего,​= μ​ Иными словами, доверительный​Если альфа ≤ 0​ не позволяет предполагать,​ с нормальным распределением.​Имеется ввиду, что​

Пример

​ статистики, созданной с​ сезонные компоненты. Если​ всех статистических данных​ представления прогноза.​ вычисляется прогноз и​Результат​Если какой-либо из аргументов​ интервалу, вероятность того,​ средних значений нормальных​ доверительного интервала, то​ известно и среднее,​1 ​ интервал средней продолжительности​

​ или ≥ 1,​	​ что с вероятностью​
​Доверительный интервал представляет собой​	​ есть некоторые данные,​
​ помощью ПРОГНОЗА. ETS.​	​ же сезонные колебания​ дает более точные​
​В поле​	​ какие параметры можно​
​=ДОВЕРИТ.НОРМ(A2;A3;A4)​	​ не является числом,​	​ что выборочное среднее​
​ распределений.​	​ с определенной долей​ которое определить часто​- μ​ поездки на работу​ функция ДОВЕРИТ возвращает​ (1 — альфа)​ диапазон значений. Выборочное​ полученные в ходе​ СТАТИСТИКА функциями, а​ недостаточно велики и​	​ прогноза.​

support.office.com>

Определение границ интервала с двух сторон

Для расчета границ интервала необходимо узнать, каково среднее значение по нему, с помощью функции СРЗНАЧ.

1. Откроем «Менеджер функций» и выберем нужный оператор в разделе «Статистические».

14

1. Добавляем группу ячеек, содержащих значения, в поле первого аргумента и жмем кнопку «ОК».

15

1. Теперь можно определить правую и левую границу. Понадобятся простые математические действия. Расчет правой границы: выбираем пустую ячейку, проводим в ней сложение ячеек с доверительным интервалом и средним значением.

16

1. Для определения левой границы из среднего значения нужно вычесть доверительный интервал.

17

1. Такие же операции проделываем с доверительным интервалом по Стьюденту. В результате получаем границы интервала в двух вариантах.

18