Как вычислить длину дуги кривой?

Необходимость расчётов

Геометрическими формулами, связанными с подсчетом площади сектора, объема сегмента и периметра полукруга, следует виртуозно владеть людям, связавшим свою жизнь со строительством или благоустройством территорий. Чтобы обновить после зимы элементы архитектуры городского парка и закрасить дефекты абстрактных скульптур, не нужно вспоминать сложные уравнения, достаточно применить знание геометрических формул.

К примеру, для правильного нахождения веса декоративного камня, предназначенного для окантовки части клумбы, нужно уметь быстро посчитать размер полуокружности на поверхности ландшафта. Затем необходимо определиться с ценой и принять решение, какой камень можно покупать с учетом сметы. Аналогичная задача возникает при строительстве альпийской горки. Тяжесть камня обеспечит круговую укладку, это свойство позволит высадить декоративные растения в запланированных местах сечения, придав конструкции форму трапеции.

Что представляет собой часть клумбы? Это сектор геометрической фигуры. Внешняя его часть — окантовка клумбы — чаще всего представляет собой дугу окружности. Существует две методики вычисления этой величины:

• градусная (с привязкой к центральному углу);
• по формуле Гюйгенса (с использованием хорды).

Для удобства рассмотрим пример с двумя точками A и B, расположенными на окружности на небольшом расстоянии друг от друга. Они делят её на 2 части — большую и меньшую. Каждая из них называется дугой окружности.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Практика с задачами

Нужно сказать несколько слов об изучении геометрии в средних классах общеобразовательной школы. Существует категория учащихся, для которых формулы сложны для восприятия. Таким ученикам требуется наглядный материал.

На уроке геометрии при изучении материала по вычислениям параметров окружности можно провести практическое занятие. Для этого следует предварительно подготовиться: сделать небольшой чертеж-проекцию гимнастического кольца. Цель занятия — научиться использовать формулы в процессе работы. Ход урока:

1. Попросить дежурного ученика принести из спортивного зала гимнастическое кольцо (хула-хуп) небольшого диаметра.
2. Отметить фломастером или цветным мелком 3 точки на наружной стороне кольца. После этого оно окажется поделенным на несколько секторов.
3. Сделать проекцию кольца на школьной доске с нанесенными точками. На чертеже обозначить центр круга, провести диаметр. Затем нужно соединить отмеченные на окружности точки радиусами с центром круга и хордами между собой.
4. Провести все замеры. Получить значения всех параметров и записать на доске. Её предварительно разделить на две части: в центре, доступном для обзора, будут значения центральных углов АОВ и ВОС, диаметр, длина прямых линий АВ, ВС и АС.
5. Ответы (искомые значения) записать в правой части доски и прикрыть шторкой до момента окончания практического занятия.

Далее следует разделить класс на 4 небольших группы. Каждой из них нужно дать задание по проведению вычислений с использованием изученных формул.

• группа №1 вычисляет длину дуги между точками А и В, используя градусную меру центрального угла АОВ;
• вторая группа получает аналогичное задание для отрезка между точками В и С;
• третья группа вычисляет искомый параметр между точками А и С, используя длину хорды АС и вспомогательных линий АВ и ВС;
• группа №4 работает с точками А и С, применяя значения угла АОС.

На выполнение задания отводится 12 минут. После истечения времени от каждой из четырех групп выходит ученик, поясняет формулу и записывает на доске полученный результат. Эти ответы сравниваются с уже готовыми замерами, записанными ранее на правой стороне доски.

Как найти длину дуги кривой, если линия задана параметрически?

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах  , рассчитывается по формуле:

, где  – значения, определяющие точки  и .

В начале урока о площади и объёме при линиях, заданных параметрически, я обратил ваше внимание на тот факт, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» кривую  как слева направо, так и справа налево, из-за чего во втором случае «вылезает минус» и возникают небольшие технические затруднения. В рассматриваемой задаче мы от этого избавлены! Так как подынтегральная функция, как и в первом пункте, неотрицательна , то заранее можно утверждать, что результата со знаком «минус» получиться не должно (понятно, при условии )

Однако вместо «вопроса прорисовки дуги» у нас появляется другая почётная обязанность – беречь неотрицательность подынтегральной функции, как зеницу ока:

Пример 4

Вычислить длину дуги кривой

Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу . Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.

Используем формулу .

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.

Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:

А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:

, если функция  на промежутке ,или , если  на данном промежутке.

Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

На отрезке , следовательно, их произведение неположительное:  и поэтому

Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.

Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:

Ответ:

Приятно, когда знаешь график функции, но вдвойне приятнее, когда можно эффективно проверить или даже заранее узнать ответ. Длина астроиды  равна . В нашей задаче  и мы рассчитали длину «четвертинки»:

, что и требовалось проверить.

Тренируемся самостоятельно:

Пример 5

Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой

Примерный образец оформления задачи и в конце урока.

Продолжаем динамично закатывать асфальт:

Мера углов и дуг

За единицу угла обыкновенно принимают прямой угол.

Углы и дуги измеряют также частями окружности.

Для этого делят окружность на 360 равных частей, называемых градусами, градус на 60 минут, минуту на 60 секунд.

Таким образом, окружность имеет 360 градусов или 360°. Градус имеет 60 минут или 60′. Минута включает 60 секунд или 360».

Выражение 12°7’16» означает дугу круга, имеющую 12 градусов 7 минут и 16 секунд. Угол, опирающийся на эту дугу, называется также углом в 12°7’16».

Прямой угол имеет 90°.

Теорема 77. Углы, имеющие вершину на окружности, измеряются половиной дуги, содержащейся между его сторонами.

Здесь может быть несколько случаев (черт. 112).

Первый случай. Угол BAC образуется диаметром AC и хордой AB.

Соединим центр O с точкой B; тогда

∠BOC = ∠ABO + ∠BAO

Так как ∠ABO = ∠BAO как углы равнобедренного треугольника AOB, то

BOC = 2BAO и
BAO = ½ BOC.

Угол BOC измеряется дугой BC, следовательно, угол BAO измеряется дугой ½ BC.

Второй случай. Угол BAD образуется двумя хордами, лежащими по обе стороны диаметра.

BAD = BAC + CAD
уг. BAD измеряется дугой ½ BC
уг. CAD измеряется дугой ½ CD.

Следовательно, угол BAD измеряется дугой

½ BC + ½ CD = ½ (BC + CD) = ½ BD.

Т. е. угол BAD измеряется половиной дуги, заключающейся между его сторонами (ЧТД).

Третий случай. Угол EAB образуется двумя хордами, лежащими по дну сторону диаметра.

EAB = EAC — BAC
EAC измеряется дугой ½ EC
BAC измеряется дугой ½ BC

следовательно, EAB измеряется дугой

½ EC — ½ BC = ½ (EC — BC) = ½ EB.

Правило остается то же.

Теорема 78. Угол, образуемый касательной и хордой, измеряется половиной дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство. Угол FAE (черт. 112) есть угол, образуемой касательной AF и хордой AE. Проведя диаметр AC, мы получим прямой угол FAC.

FAE = FAC — EAC

Прямой угол FAC измеряется дугой ½AC.

Угол EAC измеряется дугой ½EC.

Угол FAE измеряется

½AC — ½EC = ½(AC — EC) = ½AE (ЧТД).

Теорема 79. Угол, имеющий вершину внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, заключающихся между его основаниями.

Дан угол ACB, имеющий вершину C внутри окружности (черт. 113).

Требуется доказать, что он измеряется дугой ½(AB + DE).

Доказательство. Из точки B проведем прямую BF параллельную AE, тогда

∠ACB = ∠DBF

Угол DBF измеряется дугой ½DF или

∠DBF = ½ DEF = ½ (DE + EF)

◡AB = ◡EF как дуги, содержащиеся между параллельными сторонами, следовательно,

ACB = ½ (DE + AB) (ЧТД).

Теорема 80. Угол, имеющий вершину вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключающихся между его сторонами.

Дано. Угол ACB имеет вершину вне окружности (черт. 114).

Требуется доказать, что он измеряется дугой ½ (AB — EF).

Доказательство. Проведем из точки F прямую FG параллельную AC, тогда

∠C = ∠GFB

Мера угла C равна мере угла GFB = ½ GB

GB = AB — AG

Так как AG = EF, то GB = AB — EF, следовательно, ∠C = ½ (AB — EF) (ЧТД).

Из предложенных теорем вытекают заключения:

1) Все углы, имеющие вершину на окружности и опирающиеся на диаметр, являются прямыми, ибо все они измеряются половиной полуокружности.

2) Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны.

Обратно:

3) Все прямые углы, имеющие вершину на окружности, опираются на концы диаметра.

4) Угол при центре вдвое больше угла вписанного и опирающегося на одну и ту же дугу.

Исторические методы

Античность

На протяжении большей части истории математики даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед первым изобрел способ нахождения площади под кривой с помощью своего « метода истощения », мало кто верил, что кривые могут иметь определенную длину, как и прямые линии. Первые шаги в этой области, как это часто бывает в расчетах , были сделаны путем приближения . Люди начали вписывать многоугольники в кривые и вычислять длину сторон для некоторого точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшая длину каждого сегмента, они смогли получить все более и более точное приближение. В частности, вписав в круг многоугольник с множеством сторон, они смогли найти приблизительные значения π .

17-го века

В 17 — м века, метод исчерпывания привели к выпрямлению геометрических методами нескольких кривых трансцендентных : логарифмическая спираль по Торричелли в 1645 году (некоторые источники говорят , Валлис в 1650 — х годах), то циклоида от Кристофера Рена в 1658 году, и цепная линия от Готфрида Лейбница в 1691 году.

В 1659 году Уоллис приписал Уильяму Нейлу открытие первого выпрямления нетривиальной алгебраической кривой — полукубической параболы . Соответствующие рисунки приведены на странице 145. На странице 91 Уильям Нейл упоминается как Гулиельмус Нелиус .

Интегральная форма

До полного формального развития исчисления основа современной интегральной формы для длины дуги была независимо открыта Хендриком ван Хойраетом и Пьером де Ферма .

В 1659 году ван Хойрает опубликовал конструкцию, показывающую, что задача определения длины дуги может быть преобразована в задачу определения площади под кривой (т. Е. Интеграла). В качестве примера своего метода он определил длину дуги полукубической параболы, что потребовало нахождения области под параболой . В 1660 году Ферма опубликовал более общую теорию, содержащую тот же результат в своей работе « De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrya» (Геометрическая диссертация о кривых линиях в сравнении с прямыми линиями).

Метод Ферма определения длины дуги

Основываясь на своей предыдущей работе с касательными, Ферма использовал кривую

узнак равноИкс32{\ Displaystyle у = х ^ {\ гидроразрыва {3} {2}} \,}

которого касательной при х = имела наклон в

32а12{\ displaystyle {3 \ over 2} а ^ {\ frac {1} {2}}}

так что касательная линия будет иметь уравнение

узнак равно32а12(Икс-а)+ж(а).{\ displaystyle y = {3 \ over 2} a ^ {\ frac {1} {2}} (xa) + f (a).}

Затем он увеличил на небольшую величину , чтобы в + е , делая сегмента AC относительно хорошее приближение для длины кривой от А до D . Чтобы найти длину отрезка AC , он использовал теорему Пифагора

АC2знак равноАB2+BC2знак равноε2+94аε2знак равноε2(1+94а){\ displaystyle {\ begin {align} AC ^ {2} & = AB ^ {2} + BC ^ {2} \\ & = \ varepsilon ^ {2} + {9 \ over 4} a \ varepsilon ^ {2 } \\ & = \ varepsilon ^ {2} \ left (1+ {9 \ over 4} a \ right) \ end {align}}}

что, когда решено, дает

АCзнак равноε1+94а.{\ displaystyle AC = \ varepsilon {\ sqrt {1+ {9 \ over 4} a \,}}.}

Чтобы приблизиться к длине, Ферма суммировал бы последовательность коротких отрезков.

Как найти длину дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат?

Пусть кривая  задана в полярных координатах уравнением , где , и при этом значение  определяет точку , а значение  – точку . Если на промежутке  функция  имеет непрерывную производную , то длина кривой  выражается следующей формулой:

Условие  логично и незыблемо. Это третья, похожая на предыдущую формула, которую мы незамедлительно оприходуем:

Пример 6

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат,

Порядок и принципы решения точно такие же.

Используем формулу .

Найдём производную по «фи»:

Составим и максимально упростим подкоренное выражение:

Заливаем топливо:

…мда, презабавно, всё время понижали-понижали степень, а теперь её надо повысить. Используем формулу двойного угла  и основное тригонометрическое тождество , выцыганив тем самым заветный квадрат:

Теперь нужно разобраться с функцией  на отрезке , чтобы правильно избавиться от корня. Я мысленно представляю график и вижу, что функция здесь положительна, но это очевидно далеко не всем, и в этой ситуации можно использовать нечто похожее на метод интервалов. Вычислим значение функции в какой-нибудь промежуточной точке, например, посерединке в точке :

, а значит,  и в любой точке интервала . К слову, и на концах тоже.Примечание: строго говоря, надо ещё добавить, что уравнение  не имеет корней на данном интервале.

Таким образом, вынесение из-под корня проходит без всяких последствий. …Не хотел вам рассказывать об одном нехорошем методе решения, но таки поделюсь – всё равно догадаетесь, по себе знаю =) На черновике считаем  интеграл  и если получился отрицательный результат, то на чистовике ставим перед интегралом «минус». И никаких запарок с рассуждениями.

Ответ:

Я решил эту задачу много лет назад именно таким способом и недавно, подбирая примеры к уроку, нашёл более симпатичное решение, идея которого состоит в использовании формулы приведения  и дальнейшего повышения степени по избитой формуле . Там получается ответ в другом виде, но численно результаты совпадают. Такое тоже бывает.

Успокоительная миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат,

Хочется сказать ещё что-нибудь ласковое, но, к  сожалению, я тороплюсь, сегодня пятница и мне тоже хочется погулять =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: пределы интегрирования: . Из условия следует, что требуется вычислить длину дуги верхней ветви .Найдём производную: .По формуле:Ответ

Пример 3: Решение: найдём производную: Таким образом:

(1) Используем тригонометрическую формулу (2) При вынесении из-под корня необходимо, чтобы подынтегральная функция осталась положительной:. Так как  на отрезке интегрирования, то: .(3) Данный интеграл разобран в Примере 18 статьи Сложные интегралы.Ответ

Пример 5: Решение: используем формулу .Найдём производные:Таким образом:Примечание:  при любом значении .Ответ

Пример 7: Решение: используем формулу:Ответ

(Переход на главную страницу)

Измерение углов

Центральные углы. Углы, имеющие вершину при центре, называются центральными углами.

Относительно этих углов имеют место следующие теоремы.

Теорема 74. Равным центральным углам в одной и той же окружности соответствуют равные дуги.

Дано. Углы AOB и COD равны (черт. 109).

Требуется доказать, что ◡AB = ◡CD.

Доказательство. Проведем хорды AB и CD и соединим точки A, B, C, D с центром. Два треугольника AOB и COD равны, ибо AO = CO и BO = DO как радиусы, ∠AOB = ∠COD по условию. Следовательно, хорды AB и CD равны.

Против равных хорд лежат равные дуги, следовательно и дуги AB и CD равны: ◡AB = ◡CD (ЧТД).

Теорема 75 (обратная 74). Равным дугам в одной и той же окружности соответствуют равные углы.

Дано. Дуги AB и CD равны (черт. 109).

Требуется доказать, что ∠AOB = ∠COD.

Доказательство. Из того, что дуги AB и CD равны, следует, что и хорды AB и CD тоже равны (теорема 61).

Два треугольника AOB и COD равны, ибо AB = CD как равные хорды, AO = CO и BO = DO как радиусы. Следовательно, ∠AOB = ∠COD (ЧТД).

Теорема 76. Отношение центральных углов равно отношению соответствующих им дуг.

Даны два центральные угла AOB и COD (черт. 110).

Требуется доказать, что

AOB/COD = AB/CD.

Доказательство. Здесь имеют место два случая:

1) Когда дуги AB и CD соизмеримы и 2) когда они несоизмеримы.

1-й случай. Дуги AB и CD соизмеримы.

Пусть дуга AE будет их общей мерой. Положим, что она p раз содержится в дуге AB и q раз в дуге CD. Разделив дугу AB на p, а CD на q равных частей и соединив точки деления дуг с центром O, мы разделим угол AOB на p, а угол COD на q равных углов, из которых каждый равен углу AOE.

Из равенств

AB = pAE, CD = qAE
AOB = pAOE, COD = qAOE

получаем

AOB/COD = p/q, AB/CD = p/q, откуда
AOB/COD = AB/CD (ЧТД).

2-й случай. Дуги AB и CD несоизмеримы.

Отложим дугу AF равную CD и соединим F с O. Углы AOF и COD равны.

Требуется доказать, что

AOB/AOF = AB/AF

Доказательство. A) Положим

AOB/AOF > AB/AF (1).

Для того, чтобы имело место равенство, нужно дробь во второй части неравенства (1) увеличить. Для этого следует ее знаменатель уменьшить.

Положим, мы нашли, что имеет место равенство

AOB/AOF = AB/AG (a)

Разделим дугу AB на равное число таких частей, чтобы каждая часть была менее GF; тогда одна из точек деления i упадет в промежутке между G и F. Дуги AB и Ai соизмеримы, следовательно,

AOB/AOi = AB/Ai (b).

Разделив равенства (b) на (a), находим

AOF/AOi = AG/Ai

равенство несообразное, ибо первая часть его больше, а вторая меньше 1, следовательно, допущение (1) не имеет места.

B) Допустим, что

AOB/AOF < AB/AF (2)

Тогда вторую часть этого неравенства нужно уменьшить для того, чтобы имело место равенство. Для этого нужно знаменатель дроби AB/AF увеличить. Положим, мы нашли такую точку H, чтобы удовлетворялось равенство

AOB/AOF = AB/AH (c)

Разделив дугу AB на такие равные части, чтобы каждая часть была меньше FH, мы найдем, что одна из точек деления J упадет в промежуток между F и H. Дуги AB и AJ будут соизмеримы, следовательно,

AOB/AOJ = AB/AJ (d)

Разделив равенство (d) на (c) найдем

AOF/AOJ = AH/AJ

Это равенство несообразно, ибо первое отношение меньше, а второе больше единицы, следовательно, и допущение (2) тоже не имеет места, откуда видно, что справедливо только равенство AOB/AOF = AB/AF (ЧТД).

Зная, что отношение углов равно отношению дуг, описанных равными радиусами, мы в пропорции (черт. 111)

AOB/COD = AB/CD

можем принять за единицу любую дугу. В этом случае должны принять за единицу и соответствующий ей угол.

Принимая дугу CD, а следовательно, и угол COD за 1, имеем равенство

AOB/1 = AB/1

или отношение угла к своей единице равно отношению дуги к своей соответствующей единице, откуда

∠AOB = ◡AB.

Это равенство означает, что

числовая величина угла равна числовой величине дуги, или что угол измеряется дугой, описанной из его вершины, как из центра.

Расстояние между центрами окружностей

1. Если две окружности пересекаются в двух точках, расстояние центров меньше суммы и больше разности радиусов.

Действительно, с одной стороны (черт. 104)

OO’ < AO + AO’

с другой

AO + OO’ > AO’

следовательно,

OO’ > AO’ — AO

2. Если две окружности касаются, расстояние центров равно сумме радиусов, если соприкосновение внешнее, и разности радиусов, если соприкосновение внутреннее.

Из чертежа 105 видно, что

OO’ = AO + AO’

а из чертежа 106

OO’ = AO — AO’.

3. Если одна окружность лежит вне другой, расстояние центров больше суммы радиусов.

Из чертежа 107 видно, что

OO’ > AO + BO’

4. Если окружность лежит одна внутри другой, расстояние центров меньше разности радиусов.

Действительно, из чертежа 108 видно, что

OO’ < AO — BO’.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Простые случаи

Дуги окружностей

Длины дуги обозначаются буквой s , поскольку латинское слово, обозначающее длину (или размер), — это пространство .

В следующих строках, представляет собой радиус от в круг , является его диаметр , является его окружности , длина дуги окружности, а угол , который дуга стягивает на центре круга. Расстояния и выражены в одинаковых единицах.
р{\ displaystyle r}d{\ displaystyle d}C{\ displaystyle C}s{\ displaystyle s}θ{\ displaystyle \ theta}р,d,C,{\ displaystyle r, d, C,}s{\ displaystyle s}

• Cзнак равно2πр,{\ displaystyle C = 2 \ pi r,}что то же самое, что и Это уравнение является определениемCзнак равноπd.{\ Displaystyle C = \ pi d.}π.{\ displaystyle \ pi.}
• Если дуга — полукруг , тоsзнак равноπр.{\ displaystyle s = \ pi r.}
• Для произвольной дуги окружности:
  • Если в радианах, то это определение радиана.θ{\ displaystyle \ theta}sзнак равнорθ.{\ displaystyle s = r \ theta.}
  • Если в градусах , то это то же самое, чтоθ{\ displaystyle \ theta}sзнак равноπрθ180∘,{\ displaystyle s = {\ frac {\ pi r \ theta} {180 ^ {\ circ}}},}sзнак равноCθ360∘.{\ displaystyle s = {\ frac {C \ theta} {360 ^ {\ circ}}}.}
    
  • Если в градах (100 градов, или сорт, или gradians являются одним прямым углом ), а затем , который является таким же , какθ{\ displaystyle \ theta}sзнак равноπрθ200 град,{\ displaystyle s = {\ frac {\ pi r \ theta} {200 {\ text {grad}}}},}sзнак равноCθ400 град.{\ displaystyle s = {\ frac {C \ theta} {400 {\ text {grad}}}}.}
    
  • Если в поворотах (один оборот — полный оборот, или 360 °, или 400 градусов, или радиан), то .θ{\ displaystyle \ theta}2π{\ displaystyle 2 \ pi}sзнак равноCθ1 перемена{\ displaystyle s = C \ theta / 1 {\ text {turn}}}

Дуги больших кругов на Земле

Две единицы длины, морская миля и метр (или километр), были изначально определены таким образом, чтобы длины дуг больших окружностей на поверхности Земли были просто численно связаны с углами, которые они образуют в ее центре. Простое уравнение применимо в следующих случаях:
sзнак равноθ{\ displaystyle s = \ theta}

• если указано в морских милях и в угловых минутах ( 1 ⁄ 60 градусов), илиs{\ displaystyle s}θ{\ displaystyle \ theta}
• если измеряется в километрах и в градусах по Цельсию ( 1 ⁄ 100 градуса ).s{\ displaystyle s}θ{\ displaystyle \ theta}

Длины единиц расстояния были выбраны так, чтобы окружность Земли была равна 40 000 километров, или21 600 морских миль. Это количество соответствующих угловых единиц за один полный оборот.

Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но исходные определения все еще достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр равен точно 0,54 морской мили. Используя официальные современные определения, одна морская миля составляет ровно 1,852 километра, что означает, что 1 километр составляет около0,539 956 80 морских миль. Это современное соотношение отличается от рассчитанного по исходным определениям менее чем на одну десятую часть.