Десятичные дроби

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

Какие можно привести примеры дробных чисел в десятичной записи? Это может быть 34,21, ,35035044, ,0001, 11 231 552,9 и др.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5.67, 6789.1011 и др.) Это вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.

Пример 1. Разделить 4,8 на 2.

Как решаем:

Записать деление уголком.
Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:

Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Как решаем:

Записать деление уголком.
Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Как решаем:

Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
Разделить дробь по правилам:

Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Как решаем:

Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
Разделить дробь по правилам:

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Как решаем:

Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.

Ответ: 2/5 ∗ 0,8 = 0,32.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Как решаем:

Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби.

В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025.
В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000.
Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь ,0017 из десятичных в обыкновенные.

В числителе запишем дробь ,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17.
В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа.

Записываем число 155, как целую часть.
В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Поучаем смешанное число: 1556005100000

Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат:

155,06005=155120120000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай — период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3,75().

Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75.

Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

3,75()=3,75=375100=154.

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

,(74)=,74+,0074+,000074+,00000074+..

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что <q<1, то сумма равна b1-q.

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь ,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

Запишем:

,(8)=,8+,08+,008+..

Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом ,8 и знаменателем ,1.

Применим формулу:

,(8)=,8+,08+,008+..=,81-,1=,8,9=89

Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь ,43(18).

Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

,43(18)=,43+(,0018+,000018+,00000018..)

Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

,0018+,000018+,00000018..=,00181-,01=,0018,99=189900.

Полученное прибавляем к конечной дроби ,43=43100 и получаем результат:

,43(18)=43100+189900

После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

,43(18)=1944

В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Способ 2.

Я выберу три десятичные дроби: 3,86, 5,5 и 1,7, и сразу на их примере простыми словами расскажу, как из них получить обыкновенные.

Для начала мы смотрим, сколько знаков стоит после запятой.

3,86 – два знака; 5,5 – один знак; 1,007 – три знака.

Целую часть из дроби просто переписываем.

В числитель записываем дробную часть, а в знаменатель – 10 n , где n – количество знаков после запятой. То есть если один знак после запятой, то делим на 10 1 = 10, если два – на 10 2 = 100, если три – на 10 3 = 1000 и так далее.

Теперь сокращаем дробь насколько это возможно – делим и числитель, и знаменатель на одно и то же число столько раз, пока у них не останется общих делителей.

Во втором способе уже есть подсказка, когда мы десятичную дробь произносим вслух. Например, дробь 3,86 мы произнесем как «три целых восемьдесят шесть сотых», 5,5 – «пять целых пять десятых», а 1,007 – «одна целая семь тысячных». Вот и подсказка: сотых – значит, делить надо на 100, десятых – на 10, тысячных – на 1000.

Второй способ гораздо быстрее первого, потому что мы сразу считаем количество знаков после запятой и делим на число 10, возведенное в такую же степень, как и количество знаков.

Выражение величин в дробном виде

Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:

Это выражение означает, что один дециметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей была взята одна часть. А одна часть из десяти в данном случае равна одному сантиметру:

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.

Итак, 6 целых сантиметров у нас уже есть:

Но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. Один сантиметр это десять миллиметров. Три миллиметра это три части из десяти. А три части из десяти записываются как см

Выражение см означает, что один сантиметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части.

В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:

Цифра 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра».

Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут цéлую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.

Например, запишем без знаменателя. Сначала записываем целую часть. Целая часть это 6

Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:

И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:

6,3

Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью.

Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:

6,3 см

Выглядеть это будет следующим образом:

На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000.

Как и смешанное число, десятичная дробь имеет цéлую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .

В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.

Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:

0,5

Читается как «ноль целых, пять десятых».

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.

Определение 2

Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.

Очевидно, что полностью такие числа записаны быть просто не могут, поэтому мы указываем лишь часть из них и дальше ставим многоточие. Это знак говорит о бесконечном продолжении последовательности знаков после запятой. Примерами бесконечных десятичных дробей могут быть ,143346732…, 3,1415989032…, 153,0245005…, 2,66666666666…, 69,748768152…. и т.д.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.

Определение 3

Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

К примеру, для дроби 3,444444…. периодом будет цифра 4, а для 76, 134134134134… – группа 134.

Какое же минимальное количество знаков допустимо оставить в записи периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет записать весь период один раз в круглых скобках. Так, дробь 3,444444…. правильно будет записать как 3,(4), а 76, 134134134134…– как 76,(134).

В целом записи с несколькими периодами в скобках будут иметь точно такой же смысл: к примеру, периодическая дробь ,677777 – это то же самое, что ,6(7) и ,6(77) и т.д. Также допустимы записи вида ,67777(7), ,67(7777) и др.

Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.

То есть для указанной выше дроби основной будем считать запись ,6(7), а, например, в случае с дробью 8,9134343434 будем писать 8,91(34).

Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые множители, не равные 5 и 2, то при переводе в десятичную запись из них получатся бесконечные дроби.

В принципе, любую конечную дробь мы можем записать в виде периодической. Для этого нам просто нужно добавить справа бесконечно много нулей. Как это выглядит в записи? Допустим, у нас есть конечная дробь 45,32. В периодическом виде она будет выглядеть как 45,32(). Это действие возможно потому, что добавление нулей справа в любую десятичную дробь дает нам в результате равную ей дробь.

Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9, например, 4,89 (9), 31,6(9). Они являются альтернативной записью схожих дробей с периодом , поэтому их часто заменяют при письме именно дробями с нулевым периодом. При этом к значению следующего разряда добавляют единицу, а в круглых скобках указывают (). Равенство получившихся чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.

К примеру, дробь 8,31(9) можно заменить на соответствующую ей дробь 8,32(). Или 4,(9)=5,()=5.

Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.

Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.

Определение 4

К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.

Иногда непериодические дроби выглядят очень похожими на периодические. Например, 9,03003000300003… на первый взгляд кажется имеющей период, однако подробный анализ знаков после запятой подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими числами надо быть очень внимательным.

Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.

Десятичные дроби — подробнее

Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, \( \displaystyle \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\frac{5}{112}\).

Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби \( \displaystyle \frac{8}{10},\ \frac{13}{100},\frac{49}{1000}\) и т.д.

Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:

\( \displaystyle \frac{8}{10}=0,8\)\( \displaystyle \frac{13}{100}=0,13\)\( \displaystyle \frac{49}{1000}=0,049\)Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:

Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:

Это огромное число читается по следующему алгоритму:

Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««\( 46\) целых»;
Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».

А теперь прочитаем все вместе – «\( 46\) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!

Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат \( 10\) на \( 10\) и закрась какую-нибудь его часть равную:

\( 0,05;\)
\( 0,4;\)
\( 0,27;\)
\( 0,245\)

Справился? Проверяем, что у тебя получилось.

Во-первых, квадрат \( 10\) на \( 10\) состоит из \( 100\) клеточек. Соответственно, \( 0.05\) – \( 5\) клеточек из \( 100\); \( 0,4\) – \( 40\) клеточек из \( 100\) и так далее.

Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – \( -0,245\). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.

В общем, смотри:

С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Попробуй перевести:

\( 0,136\)
\( 0,2436\)
\( 0,0456\)
\( 0,21\)

Сравним ответы:

\( \displaystyle 0,136=\frac{136}{1000}\)
\( \displaystyle 0,2436=\frac{2436}{10000}\)
\( \displaystyle 0,0456=\frac{456}{10000}\)
\( \displaystyle 0,21=\frac{21}{100}\)

Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?

Попробуй свои силы на вот этих дробях:

\( \displaystyle \frac{2}{10}\)
\( \displaystyle \frac{3}{100}\)
\( \displaystyle \frac{4}{1000}\)
\( \displaystyle \frac{4562}{100}\)

А вот и ответы:

\( \displaystyle \frac{2}{10}=0,2\)
\( \displaystyle \frac{3}{100}=0,03\)
\( \displaystyle \frac{4}{1000}=0,004\)
\( \displaystyle \frac{4562}{100}=45\frac{62}{100}=45,62\)

Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.

Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь \( \displaystyle \frac{4}{1000}\) — \( 3\) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем \( 3\) ячейки.
Затем записываем числитель – \( 4\), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.

Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:

Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:

\( \displaystyle \frac{26}{10}\)
\( \displaystyle \frac{43}{100}\)
\( \displaystyle \frac{99}{1000}\)
\( \displaystyle \frac{3562}{100}\)

А теперь ответы:

\( \displaystyle \frac{26}{10}=2,6\)
\( \displaystyle \frac{43}{100}=0,43\)
\( \displaystyle \frac{99}{1000}=0,099\)
\( \displaystyle \frac{3562}{100}=35,62\)

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

1% = 1/100 = 0,01

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

0,15 = 0,15 · 100% = 15%.

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Быстрая напоминалка:

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Как решаем:

Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.

Ответ: 5,4 = 5 2/5.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Как решаем:

Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как решаем:

Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.

Ответ: 5,60 = 5 6/10.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
- 0,35 = 0,35/1
- 2,34 = 2,34/1
Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
- 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
- 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
- 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
- 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Десятичные дроби — коротко о главном

1. Определение

2. Конечная и бесконечная десятичная дробь

Десятичная дробь может быть:

конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (\( \displaystyle \frac{8}{10},\ \frac{13}{100},\frac{49}{1000}\));
бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (\( 0,05882352941…\));
периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (\( \displaystyle \frac{1}{7}=0,\underbrace{142857}_{{период}}\underbrace{142857}_{период}142…=0,\left( 142857 \right)\))

3. Свойства десятичных дробей

Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули \( \displaystyle \frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000\)и т.д.;
Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: \( 0,014330000=0,01433\);
Десятичная дробь возрастает в \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: \( 0,0125\cdot 100=1,25\) (перенесли запятую на \( 2\) знака вправо – умножили на \( 100\) и дробь возросла в \( 100\) раз);
Десятичная дробь уменьшается в \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: \( 124,56:100=1,2456\) (перенесли запятую на \( 2\) знака влево – разделили на \( 100\) и дробь уменьшилась в \( 100\) раз).

4. Сложение десятичных дробей

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.

5. Вычитание десятичных дробей

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:

6. Умножение десятичных дробей

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа

При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

7. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число

Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Деление десятичных дробей друг на друга

Решение примеров

Порой теоретическая информация довольно трудно воспринимается без применения её на практике

Поэтому крайне важно не только посмотреть, как делает преобразование учитель, но и самостоятельно выполнить перевод. Обычно хватает трех-четырех примеров для каждого типа преобразований, чтобы закрепить материал и освоить практическое применение

Существуют определённые сборники заданий, предназначенные для самостоятельного решения учащимися. Вот некоторые наиболее интересные примеры из них:

Преобразовать: 1/1000, 34/10, 78954/10, 186/100, 959/10000. Алгоритм действия определяется правилом отсчитывания запятой. В задании три нуля, но в числителе только один знак. Поэтому на недостающих местах следует поставить нули. Отсюда следует что 1/1000 = 0,001. По аналогии нужно решать и следующие примеры. В итоге должно получиться: 34/10 = 3,4, 78954/10 = 7895,4, 186/100 = 1,86, 959/10000 = 0,0959.
Записать выражения в обыкновенном виде: 0,59, 34,78, 0,00078, 767,009. В соответствии с правилом в числителе записывают исходное число, а в знаменатель ставят единицу: 0,59 = 0,59/1. Для избавления от запятой делимое и делитель умножают на сто, так как по условию после запятой стоит два знака: (0,59 * 100) / (1 * 100) = 59/100. Аналогично решают и оставшиеся примеры: 34,78 = 34,78/1 = 34,78 * 100/ 100 = 3478/100, 0,00078 = 78/100000 = 39/50000, 767,009 = 767 + 0,009= 767 9/1000.
Перевести выражения в десятичный вид: 5/2, ¼, 34/81, 456/1245, 1245/456. Преобразование таких примеров можно выполнить путём деления числителя на знаменатель для нахождения частного. В первом случае пять нужно разделить на два. Используя деление в столбик, можно опередить, что целым будет число два (2 * 2 = 4). Так как в остатке получается единица, то в частном ставят запятую, а к остатку дописывают ноль. То есть, 5/2 = 2,5. Таким же образом переводят и другие примеры: ¼ = 0,25, 34/81 = 0,420, 456/1245 = 0,366, 1245/456 = 2,73.

Эти задания затрагивают преобразование как в одну, так и в другую сторону. После первичного перевода не стоит забывать об упрощении полученного результата. Его нужно делать всегда, чтобы в дальнейшем при решении сложных задач последующие действия становились проще.