Как складывать и вычитать дроби: 3 простых шага

Действия с дробями 5 класс

В пятом классе учатся выполнять все арифметические действия с дробями.

Все действия с дробями выполняются по правилам, и надеяться на то, что не выучив правило все получится само сабой не стоит. Поэтому не стоит пренебрегать устной частью домашнего задания по математике.

Мы уже поняли, что запись десятичной и обыкновенной дроби различны, следовательно и арифметические действия будут выполняться по-разному. Действия с обыкновенными дробями зависят от тех чисел, которые стоят в знаменателе, а в десятичной-после запятой справа.

Для дробей, у которых знаменатели одинаковые, алгоритм сложения и вычитания очень прост. Действия выполняем только с числителями.

Пример:

Для дробей с разными знаменателями нужно найти Наименьший Общий Знаменатель ( НОЗ). Это то число, которое будет делиться без остатка на все знаменатели, и будет наименьшим из таких чисел, если их несколько.

Пример:

Для сложения либо вычитания десятичных дробей, нужно записать их в столбик, запятая под запятой, и уравнить количество десятичных знаков если это требуется.

Пример:

Чтобы перемножить обыкновенные дроби просто найди произведение числителей и знаменателей. Очень простое правило.

Пример:

Деление  выполняется по следующему алгоритму:

1. Делимое записать без изменения
2. Деление превратить в  умножение
3. Делитель перевернуть (записать обратную дробь делителю)
4. Выполнить умножение

Пример:

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дробей 1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю. 2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. 3. Равными называются такие a/b и c/d, если: a * d = b * c. 4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

• От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
• Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
• Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
• При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей. 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить результат суммы двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

• 90 : 15 = 6,
• 90 : 18 = 5.

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

• Раз 
• Два
• Три

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

Вопросы по теме:Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Решение:

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\)  б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\)   б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\)  б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\)  в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

Решение:

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

Ответ: весь торт съели.

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.

Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:

• во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);
• во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.

Пример.

Сложите обыкновенные дроби 5/8 и 1/12.

Решение.

Знаменатели складываемых дробей разные, поэтому, сначала нужно выполнить приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Для этого находим НОК(8, 12)=24, находим соответствующие дополнительные множители 24:8=3 и 24:12=2 дробей 5/8 и 1/12, в результате получаем и .

Теперь складываем дроби 15/24 и 2/24, имеем .

Таким образом, сложение дробей с разными знаменателями 5/8 и 1/12 дает дробь 7/24.

Запишем все решение кратко: .

Ответ:

.

Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.

Пример.

Выполните сложение дробей с разными знаменателями 12/5 и 2/3.

Решение.

Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю: .

Теперь сложим дроби 36/15 и 10/15, получаем .

Проверим, не является ли полученная дробь сократимой. Для этого вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя, воспользовавшись алгоритмом Евклида: 46=15·3+1, 15=1·15, следовательно, НОД(46, 15)=1. Таким образом, дробь 46/15 несократима.

Но дробь 46/15 очевидно неправильная, поэтому из нее нужно выделить целую часть. Так как 46:15=3 (ост. 1), то .

На этом сложение дробей с разными знаменателями завершено. Вот краткое решение: .

Ответ:

.

Вычитание дробей, объяснение

Найдем разность дробей пять шестых и семь десятых. Находим общий знаменатель. Используем способ подбора, из 6 и 10 наибольший 10. Проверяем: 10 : 6 без остатка не делится. Добавляем еще 10, получается 20:6, тоже без остатка не делится. Снова увеличиваем на 10, получили 30:6 = 5. Общий знаменатель 30. Так же НОЗ можно найти по таблице умножения.

Находим дополнительные множители. 30:6 = 5 — для первой дроби. 30:10 = 3 — для второй. Перемножаем числители и их доп.множ. Получаем уменьшаемое 25/30 и вычитаемое 21/30. Далее выполняем вычитание числителей, а знаменатель оставляем без изменения.

В результате получилась разность 4/30. Дробь сократимая. Разделим ее на 2. В ответе 2/15.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Как решаем:

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
       
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
       
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
       

   1 + 2x = 5х

       
       

4. Решим обычное уравнение.
       

   5x — 2х = 1

   3x = 1

   х = 1/3

       

Ответ: х = 1/3.

Пример 2. Найти корень уравнения

Как решаем:

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
       
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
       
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
       
       
       
4. Переведем новый множитель в числитель..
       
       
       
5. Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
       

   4 = х + 2

   х = 4 — 2 = 2

       

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Как решаем:

1. Найти общий знаменатель:
       

   3(x-3)(x+3)

       
       

2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
       

   3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36

       
       

3. Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
       

   x2-9=0

       
       

4. Решим полученное квадратное уравнение:
       

   x2=9

       
       

5. Получили два возможных корня:
       

   x₁=−3, x₂=3

   х = 4 — 2 = 2

       
       

6. Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
       

   3(x-3)(x+3)=0

   Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

       
       

7. Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Ответ: нет решения.

Если нужно решить уравнение с дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор дробей. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

• Калькулятор раз
      
• Два
      
• Три

Смешанные числа: определения, примеры

Смешанное число — это число, состоящее из натурального числа и обыкновенной дроби. Пишут в виде n

Где n — целая часть, — дробная часть.

Смешанное число равно сумме своей целой и дробной части. То есть

Примеры смешанных чисел

Каждое такое смешанное число содержит целую и дробную части.

Чтобы точно определять, какая именно перед вами дробь, запомните:

• Дробь виданазывается правильной дробью. В ней числитель всегда меньше знаменателя.
• Дробь виданазывается неправильной. В таких дробях числитель больше знаменателя или равен ему.
• Дробь виданазывается смешанной дробью/смешанным числом. Такая дробь состоит из целой части (натуральное число) и дробной части.

Смешанные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Давайте узнаем, как именно это делать.

Что такое дроби?

Дробное число или дробь используется для представления сегмента целого числа.

Дробь будет состоять из двух чисел, расположенных одно над другим. Первое число, которое находится над строкой, является числителем . Второе число под линией — знаменатель .

Знаменатель указывает общее количество равных частей, на которые что-то делится. Числитель показывает, сколько из этих равных частей необходимо учитывать.

Самый простой способ запомнить дроби — это обозначить линию, разделяющую каждое число, «вне». Таким образом, дробь, записанная как 3/5, просто относится к 3 частям из 5 равных частей.

Как решать уравнения с дробями

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.                  Найти общий знаменатель.                  Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.                  Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.                  Решить полученное уравнение.                  Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.                  Записать ответ, который прошел проверку.

А теперь еще несколько способов, которые пригодятся ребенку на уроках математики.

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Как решаем:

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
      
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении
            
                
если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
                
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
            

            

А вот и полезные видео для закрепления материала:

• уравнения с дробями 5 класс;
      
• уравнения с дробями 6 класс;
      
• уравнения с дробями 7 класс;

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

1. В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
2. В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
3. При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь. 

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби.

1. В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025.
2. В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000.
3. Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь ,0017 из десятичных в обыкновенные.

1. В числителе запишем дробь ,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17.
2. В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

1. Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
2. В числителе  записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
3. В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа.

1. Записываем число 155, как целую часть.
2. В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль. 
3. В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Поучаем смешанное число: 1556005100000

Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат:

155,06005=155120120000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай — период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3,75().

Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75.

Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

3,75()=3,75=375100=154.

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

,(74)=,74+,0074+,000074+,00000074+..

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что <q<1, то сумма равна b1-q.

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь ,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

Запишем:

,(8)=,8+,08+,008+..

Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом ,8 и знаменателем ,1.

Применим формулу:

,(8)=,8+,08+,008+..=,81-,1=,8,9=89

Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь ,43(18).

Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

,43(18)=,43+(,0018+,000018+,00000018..)

Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

,0018+,000018+,00000018..=,00181-,01=,0018,99=189900.

Полученное прибавляем к конечной дроби ,43=43100 и получаем результат:

,43(18)=43100+189900

После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

,43(18)=1944

В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Как делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д?

Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, надо перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

При этом иногда приходится сначала написать перед целой частью нуль или несколько нулей.

Например:

374,5 : 100 = 3,745

5,021 : 1000 = 0005,021 : 1000 = 0,005021

0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001

В этом онлайн тренажере необходимо выбрать правильный ответ и нажать на него. В случае правильного ответа он загорится зеленым цветом, если ответ неверный — красным. В этом случае попробуйте найти правильный ответ, а затем нажмите кнопку «Дальше».

Онлайн тренажер по математике из раздела «Умножение и деление десятичных дробей»

Закрепляющие файлы для работы.

Менталар желает Вам легкой плодотворной усвояемой работы над собой.

Верьте в себя и у вас все получится!!!

Ваш сайт Менталар.

Сложение дробей, объяснение

Давайте более подробно разберем, как складывать обыкновенные и десятичные дроби.

Как видно на изображении выше, у дроби одна третья и две третьих общий знаменатель три. Значит требуется сложить только числители единицу и два, а знаменатель оставить без изменения. В итоге получается сумма три третьих. Такой ответ, когда числитель и знаменатель дроби равны, можно записать как 1, так как 3:3 = 1.

Требуется найти сумму дробей две третьих и две девятых. В этом случае знаменатели различны, 3 и 9. Чтобы выполнить сложение, нужно подобрать общий. Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.

Следующим шагом находим дополнительные множители для каждого числителя. Для этого общий знаменатель 9 делим поочередно на знаменатель каждой дроби, полученные числа и будут допол. множ. Для первой дроби: 9:3 = 3, дописываем к числителю первой дроби 3. Для второй дроби: 9:9 = 1, единицу можно не дописывать, так как при умножении на нее получится то же самое число.

Теперь умножаем числители на их дополнительные множители и складываем результаты. Полученная сумма дробь восемь девятых.

Сложение десятичных дробей выполняется по тому же правилу, что и сложение натуральных чисел. В столбик, разряд записывается под разрядом. Единственное отличие в том, что в десятичных дробях нужно правильно поставить запятую в результате. Для этого дроби записываются запятая под запятой, и в сумме требуется лишь снести запятую вниз.

Найдем сумму дробей 38, 251 и 1, 56. Чтобы было удобнее выполнять действия, мы уровняли количество десятичных знаков справа, добавив 0.

Складываем дроби не обращая внимания на запятую. А в полученной сумме просто опускаем запятую вниз. Ответ: 39, 811.

Умножение и деление десятичных дробей Онлайн тренажер

Давайте проверим себя, как вы умеете умножать и делить десятичные дроби. Вспомните, как нужно умножать и делить дроби, а затем поработайте на нашем тренажёре. В нём всего 21 пример, но будьте внимательны!

Задания в тренажёре включают умножение и деление на 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.д, а также умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д. То есть мы учимся правильно переносить запятую.

Как умножать десятичные дроби на 10, 100, 1000, 10 000 и т. д?

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Например:

8,963 · 10 = 89,63

0,062 · 1000 = 0062 = 62 (нули перед числом не пишутся)

2,9 · 10000 = 2,9000 · 10000 = 29000

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, .

Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите ). К примеру, .

Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к . Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: . Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.

Виды дробей

Дробь — это число, в состав которого входит одна доля или несколько её частей, поделенных на равные части. По сути, это отношение двух значений. Обыкновенное дробное выражение записывают с помощью натуральных чисел, разделённых горизонтальной чертой. Называется она винкулумом. В литературе можно встретить и другой тип записи с наклонной чертой (солидус).

Верхнее число, или стоящее слева от черты, называют числителем или делимым, а нижнее — знаменателем (делителем). Что такое дробь, удобнее всего объяснить на примере. Пусть на столе стоит тарелка, на которой лежит пирог. Он один и целый. Можно взять нож и разделить его на шесть равных частей.

По сути, количество пирога не изменится, поэтому, с математической точки зрения, на тарелке будет всё так же находиться целый пирог. Если с неё взять два куска, то целостность нарушится. Записывают это действие с помощью дроби: 2/6. То есть внизу указывают число, обозначающее, на сколько поделили пирог, а сверху — сколько кусков забрали.

Дробь — это число, обозначающее часть целого предмета. При этом дробное отношение всегда будет меньше единицы. Существующие отношения принято разделять на следующие виды:

1. Правильные — отношения, в которых числитель меньше знаменателя.
2. Неправильные — дроби, где делимое по величине превышает делитель.
3. Смешанные — состоящие из суммы натурального и дробного числа.
4. Десятичные — в знаменателе которых стоит натуральное число с размерностью кратной десяти.
5. Составные — состоящие из нескольких черт дроби.

С дробными отношениями можно выполнять любые математические действия. Их складывают, вычитают, умножают, возводят в степень. Замечательным свойством дробей есть возможность их преобразования из одного вида в другой. Например, можно перевести обычную дробь в десятичную, неправильную — в смешанную. При этом операции возможны как в одну, так и другую сторону.

Проводимые операции, кроме получения периодической дроби, можно выполнять и в обратную сторону. Остаток при делении должен всегда быть меньше делителя. Поэтому, если при действии получается ноль, деление прекращается, а если остаток — бесконечная периодическое отношение.

Чаще всего для того, чтобы преобразовать простую дробь в десятичную, необходимо выполнить три шага:

1. Сократить выражение, требующее преобразования.
2. Разделить удобным способом числитель на знаменатель. В зависимости от величины значений, стоящих в числителе и знаменателе, это можно сделать столбиком или в уме. Если при делении остаток выходит отличным от нуля, то поставить запятую и продолжить искать частное.
3. Записать найденный результат с использованием запятой.

Нужно отметить, что алгоритм, объясняющий правило того, как перевести обыкновенную дробь в десятичную, подходит лишь для случаев, когда знаменатель раскладывается на множители пять и два. В иных случая получится периодическое десятичное число.

Смешанные дроби 5 класс

Пятиклашки любят называть такие дроби не смешанные, а <<смешные>>, наверное так легче запомнить. Смешанные дроби называются так от того, что они получились путем соединения целого натурального числа  и обыкновенной дроби.

Смешанная дробь состоит из целой и дробной части.

Как же они получаются, эти смешанные дроби? Все довольно просто. Когда мы получаем в ответе неправильную дробь ( дробь у которой числитель больше знаменателя), мы ее должны всегда переводить в смешанную. Достаточно разделить числитель на знаменатель. Это действие называется выделением целой части:

Перевести смешанную дробь обратно в неправильную тоже несложно:

Примеры для самопроверки

Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что

Пример 2. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что

Пример 3. Сравните дроби:

Как решаем:

Ответ:.

• По правилу сравнения дробей с разными числителями и знаменателями, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю:
• Наименьшее общее кратное — 15:
  15 : 15 = 1
  15 : 5 = 3
• Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 1:
• Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 3:
• Дроби приведены к общему знаменателю:
• Сравниваем числители получившихся дробей: 3 < 6

Пример 4. Найдите разность:

Как решаем:

• Смешанные дроби превращаем в неправильные:
• Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю.
• Наименьшее общее кратное — 42:
  42 : 7 = 6
  42 : 6 = 7
• Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 6:
• Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 7:
• Дроби приведены к общему знаменателю.
• Если знаменатели одинаковые — больше та дробь, числитель которой больше.
  Мы видим, что вычитаемое меньше уменьшаемого, значит можем найти разность:

Ответ:

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.

Запоминаем

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сравнить числители.

Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.

• Нужно подобрать число, которое будет делиться на 7 и на 2 (найти наименьшее общее кратное НОК). В данном случае, НОК — 14. Проверим:
  14:7 = 2
  14 : 2 = 7
• Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
• Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 7:
• Дроби приведены к общему знаменателю:

Давайте потренируемся в сравнении дробей. 

Пример 1. Сравните дроби:

• Приведем дроби к общему знаменателю. 30 делится на 15 и на 2.
  30 : 15 = 2
  30 : 2 = 15
• Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
• Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 15:
• Дроби приведены к общему знаменателю:
• Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то, согласно правилу, больше та дробь, чей числитель больше:

При сравнении неправильных дробей, помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.

Пример 2: Сравните дроби:

• 6/5 — неправильная дробь. 
• Выделим целую часть:
• Значит, что