Доказательство выражения в интегральной форме
Это доказательство дает Гаусс. Позволять
я(Икс,у)знак равно∫π2dθИкс2потому что2θ+у2грех2θ,{\ displaystyle I (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {x ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + y ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}},}
Изменение переменной интегрирования на , где
θ′{\ displaystyle \ theta ‘}
грехθзнак равно2Иксгрехθ′(Икс+у)+(Икс-у)грех2θ′,{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {2x \ sin \ theta ‘} {(x + y) + (xy) \ sin ^ {2} \ theta’}},}
дает
я(Икс,у)знак равно∫π2dθ′(12(Икс+у))2потому что2θ′+(Иксу)2грех2θ′знак равноя(12(Икс+у),Иксу).{\ displaystyle {\ begin {align} I (x, y) & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {d \ theta ‘} {\ sqrt {{\ bigl (} {\ гидроразрыв {1} {2}} (x + y) {\ bigr)} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta ‘+ {\ bigl (} {\ sqrt {xy}} {\ bigr)} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta ‘}}} \\ & = I {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} (x + y), {\ sqrt {xy}} {\ bigr)}. \ end {выравнивается}}}
Таким образом, мы имеем
я(Икс,у)знак равноя(а1,грамм1)знак равноя(а2,грамм2)знак равно⋯знак равноя(M(Икс,у),M(Икс,у))знак равноπ(2M(Икс,у)).{\ Displaystyle {\ begin {align} I (x, y) & = I (a_ {1}, g_ {1}) = I (a_ {2}, g_ {2}) = \ cdots \\ & = I {\ bigl (} M (x, y), M (x, y) {\ bigr)} = \ pi / {\ bigr (} 2M (x, y) {\ bigl)}. \ end {align}} }
я(z,z)знак равноπ(2z){\ Displaystyle I (z, z) = \ pi / (2z)}
В итоге получаем желаемый результат
M(Икс,у)знак равноπ(2я(Икс,у)).{\ Displaystyle M (x, y) = \ pi / {\ bigl (} 2I (x, y) {\ bigr)}.}
Держатель означает
Без утяжеления
Среднее геометрическое получается как частный случай среднего Гельдера для .п→{\ displaystyle p \ to 0}
Определение (невзвешенное) Держатель-агент для являются: .
п→{\ displaystyle p \ to 0}Limп→(1п∑язнак равно1пИксяп)1п{\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} ^ {p}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}
Теперь мы можем трансформировать и с помощью правила де л’Оспиталя, наконец, получаем
В логарифмические законы упростить экспоненту к ..
пер∏язнак равно1пИксяп{\ displaystyle \ ln {\ left {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}} \ right]}}
Начнем с исходного термина и получим определение среднего геометрического
- exp(пер∏язнак равно1пИксяп)→Икс¯геОмзнак равно∏язнак равно1пИксяп{\ displaystyle \ exp \ left (\ ln \ left {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}} \ right] \ right) \ rightarrow {\ бар {x}} _ {\ mathrm {geom}} = {\ sqrt {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}}.
С утяжелением
Средневзвешенное геометрическое среднее также может быть получено путем расчета предельного значения взвешенного среднего значения Гельдера.
Для этого вы должны отметить, что вы можете нормализовать любые веса и (чтобы иметь возможность применять правило de l´Hôspital) должны использовать их вместо них.
шя∑язнак равно1пшя{\ displaystyle {\ frac {w_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}}шя{\ displaystyle w_ {i}}
В свою очередь, получается невзвешенное среднее геометрическое.
шязнак равно1п{\ displaystyle w_ {i} = {\ frac {1} {n}}}
Рассмотрим пару примеров
Расчет средней оценки
Многие учителя используют метод среднего арифметического для определения годовой оценки по предмету. Давайте представим, что ребенок получил следующие четвертные отметки по математике: 3, 3, 5, 4. Какую годовую оценку ему поставит учитель? Воспользуемся калькулятором и посчитаем среднее арифметическое. Для начала выберете соответствующее количество полей и введите значения оценок в появившиеся ячейки:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Учитель округлит значение в пользу ученика, и школьник получит за год твердую четверку.
Расчет съеденных конфет
Давайте проиллюстрируем некоторую абсурдность среднего арифметического. Представим, что у Маши и Вовы было 10 конфет. Маша съела 8 конфет, а Вова — всего 2. Сколько конфет в среднем съел каждый ребенок? При помощи калькулятора легко вычислить, что в среднем дети съели по 5 конфет, что совершенно не соответствует действительности и здравому смыслу
Этот пример показывает, что показатель среднего арифметического важно считать для осмысленных наборов данных
Доказательство существования
Из неравенства средних арифметических и геометрических можно сделать вывод, что:
граммп≤ап{\ displaystyle g_ {n} \ leq a_ {n}}
и поэтому
граммп+1знак равнограммп⋅ап≥граммп⋅граммпзнак равнограммп{\ displaystyle g_ {n + 1} = {\ sqrt {g_ {n} \ cdot a_ {n}}} \ geq {\ sqrt {g_ {n} \ cdot g_ {n}}} = g_ {n}}
то есть последовательность g n не убывает.
Кроме того, легко видеть, что оно также ограничено сверху большим из x и y (что следует из того факта, что средние арифметические и геометрические двух чисел лежат между ними). Таким образом, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится, поэтому существует g такой, что:
Limп→∞граммпзнак равнограмм{\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} g_ {n} = g}
Однако мы также можем видеть, что:
апзнак равнограммп+12граммп{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {g_ {n + 1} ^ {2}} {g_ {n}}}}
так что:
Limп→∞апзнак равноLimп→∞граммп+12граммпзнак равнограмм2граммзнак равнограмм{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {g_ {n + 1} ^ {2}} {g_ {n}}} = {\ frac {g ^ {2}} {g}} = g}
Как рассчитать среднее геометрическое
Чтобы рассчитать сложные проценты с использованием среднего геометрического дохода от инвестиций, инвестору необходимо сначала рассчитать проценты в первом году, которые составляют 10 000 долларов, умноженные на 10%, или 1000 долларов. На второй год новая основная сумма составляет 11000 долларов, а 10% от 11000 долларов составляют 1100 долларов. Новая основная сумма теперь составляет 11000 долларов плюс 1100 долларов, или 12100 долларов.
На третий год новая основная сумма составляет 12 100 долларов, а 10% от 12 100 долларов составляют 1210 долларов. По прошествии 25 лет 10 000 долларов США превращаются в 108 347,06 долларов США, что на 98 347,05 долларов США больше первоначальных инвестиций. Более короткий путь состоит в том, чтобы умножить текущую основную сумму долга на единицу плюс процентную ставку, а затем поднять коэффициент до числа сложенных лет. Расчет: 10 000 долларов США
Что такое Среднее геометрическое?
Среднее геометрическое – это среднее значение набора продуктов, расчет которого обычно используется среднее арифметическое работает с самими значениями.
Среднее геометрическое является важным инструментом для расчета эффекты начисления сложных процентов .
Ключевые моменты
- Среднее геометрическое – это средняя доходность набора значений, рассчитанная с использованием произведений условий.
- Среднее геометрическое больше всего подходит для рядов, демонстрирующих последовательную корреляцию – это особенно верно для инвестиционных портфелей.
- Большинство доходов в финансах коррелированы, включая доходность облигаций, доходность акций и премии за рыночный риск.
- Для изменчивых чисел среднее геометрическое обеспечивает гораздо более точное измерение истинной доходности за счет учета годового сложения, которое сглаживает среднее значение.
Характеристики
Среднее геометрическое двух положительных чисел никогда не превышает среднего арифметического (см. Неравенство средних арифметических и геометрических ). Как следствие, для п > 0 , ( г п ) является возрастающей последовательности, ( п ) является убывающей последовательности, а г п ≤ М ( х , у ) ≤ п . Это строгие неравенства, если x ≠ y .
Таким образом, M ( x , y ) представляет собой число между геометрическим и средним арифметическим x и y ; он также находится между x и y .
Если r ≥ 0 , то M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) .
Существует выражение в интегральной форме для M ( x , y ) :
M(Икс,у)знак равноπ2(∫π2dθИкс2потому что2θ+у2грех2θ)-1знак равноπ(∫∞dтт(т+Икс2)(т+у2))-1знак равноπ4⋅Икс+уK(Икс-уИкс+у){\ displaystyle {\ begin {align} M (x, y) & = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} { \ frac {d \ theta} {\ sqrt {x ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + y ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \ right) ^ {- 1} \ \ & = \ pi \ left (\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {\ sqrt {t (t + x ^ {2}) (t + y ^ {2})}} } \ right) ^ {- 1} \\ & = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {x + y} {K \ left ({\ frac {xy} {x + y} } \ right)}} \ end {выровнен}}}
где K ( k ) — полный эллиптический интеграл первого рода :
K(k)знак равно∫π2dθ1-k2грех2(θ){\ Displaystyle К (к) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } (\ theta)}}}}
В самом деле, поскольку арифметико-геометрический процесс сходится так быстро, он обеспечивает эффективный способ вычисления эллиптических интегралов с помощью этой формулы. В технике он используется, например, в конструкции эллиптических фильтров .
Среднее арифметико-геометрическое связано с тета-функцией Якоби соотношением
θ3{\ displaystyle \ theta _ {3}}
M(1,Икс)знак равноθ3-2(exp(-πM(1,Икс)M(1,1-Икс2)))знак равно(∑п∈Zexp(-п2πM(1,Икс)M(1,1-Икс2)))-2.{\ Displaystyle M (1, x) = \ theta _ {3} ^ {- 2} \ left (\ exp \ left (- \ pi {\ frac {M (1, x)} {M \ left (1, {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}} \ right) \ right) = \ left (\ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ exp \ left (-n ^ { 2} \ pi {\ frac {M (1, x)} {M \ left (1, {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}} \ right) \ right) ^ {- 2 }.}
Вычисление среднего арифметического четырёх
Как уже видно по аналогии с предыдущими вариантами вычисление данного значения для количества, равного четырём, будет носить следующий порядок:
- Выбираются четыре цифры, для которых надо вычислить среднее арифметическое значение. Далее производится суммирование и нахождение конечного результата этой процедуры.
- Теперь чтобы получить окончательный результат, следует взять полученную сумму четырёх и разделить её на четыре. Полученные данные и будут требуемым значением.
Формула
Из описанной выше последовательности действий по нахождению среднего арифметического для четырёх, можно получить следующую формулу:
В данной формуле переменные имеют следующее значение:
А, В, С и Е – это те, к которым необходимо найти значение среднего арифметического.
Применяя данную формулу, всегда можно будет вычислять требуемое значение для данного количества чисел.
Как считать средние для разнородных данных
В ситуациях с подсчетом заработной платы важно учитывать вес каждого значения. Это означает, что зарплаты олигархов и банкиров получили бы вес, например, 0,00001, а зарплаты продавцов — 0,12
Это цифры с потолка, но они приблизительно иллюстрируют распространенность олигархов и продавцов в российском обществе.
Таким образом, для подсчета среднего средних или среднего значения в разнородном массиве данных, требуется использовать среднее арифметическое взвешенное. Иначе вы получите среднюю зарплату по России на уровне 27 000 рублей. Если же вы хотите узнать свою среднюю оценку по математике или среднее количество забитых шайб выбранного хоккеиста, то вам подойдет калькулятор среднего арифметического.
Наша программа представляет собой простой и удобный калькулятор для расчета среднего арифметического. Для выполнения расчетов вам понадобится ввести только значения параметров.
Подсчет среднего арифметического
Формула для вычислений предельно проста:
P = (a1 + a2 + … an) / n,
где an – значение величины, n – общее количество значений.
Для чего может использоваться данный показатель? Первое и очевидное его применение — это статистика. Практически в каждом статистическом исследовании используется показатель среднего арифметического. Это может быть средний возраст вступления в брак в России, средняя оценка по предмету у школьника или средние траты на продукты в день. Как уже говорилось выше, без учета весов подсчет средних значений может давать странные или абсурдные значения.
К примеру, президент Российской Федерации сделал заявление, что по статистике, средняя зарплата россиянина составляет 27 000 рублей. Для большинства жителей России такой уровень зарплаты показался абсурдным. Не мудрено, если при расчете учитывать размер доходов олигархов, руководителей промышленных предприятий, крупных банкиров с одной стороны и зарплаты учителей, уборщиков и продавцов с другой. Даже средние зарплаты по одной специальности, например, бухгалтера, будут иметь серьезные отличия в Москве, Костроме и Екатеринбурге.
Как вычислить среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел
Допустим, имеется ряд чисел: 11, 4, и 3. Средним арифметическим называется сумма всех чисел, поделенная на количество данных чисел. То есть в случае чисел 11, 4, 3, ответ будет 6. Как образом получается 6?
Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
В знаменателе должно стоять число, равное количеству чисел, среднее которых нужно найти. Сумма делится на 3, так как слагаемых три.
Теперь надо разобраться со средним геометрическим. Допустим, есть ряд чисел: 4, 2 и 8.
Средним геометрическим чисел называется произведение всех данных чисел, находящееся под корнем со степенью, равной количеству данных чисел.То есть в случае чисел 4, 2 и 8 ответом будет 4. Вот каким образом это получилось:
Решение: ∛(4 × 2 × 
= 4
В обоих вариантах получились целые ответы, так как для примера были взяты специальные числа. Так происходит отнюдь не всегда. В большинстве случаев ответ приходится округлять или оставлять под корнем. Например, для чисел 11, 7 и 20 среднее арифметическое ≈ 12,67, а среднее геометрическое — ∛1540. А для чисел 6 и 5 ответы, соответственно, будут 5,5 и √30.
Нахождение значения для трёх
Проведение расчёта данной величины в ситуации, когда выбраны три числа, не будет сильно отличаться от предыдущего варианта:
- Для этого следует выбрать числа, необходимые в расчёте, и сложить их для получения общей суммы.
- После того как данная сумма трёх будет найдена, требуется опять совершить процедуру деления. При этом полученную сумму надо разделить уже на три, что соответствует количеству выбранных чисел.
Формула
Тем самым формула, необходимая при проведении расчётов арифметического трёх, будет выглядеть так:
В данной формуле принято следующее обозначение:
А, В и С – это числа, к которым необходимо будет находить среднее арифметическое.
Применение к нормированным значениям
Фундаментальное свойство среднего геометрического, который не имеет места для любого другого среднего значения, является то , что в течение двух последовательностей и одинаковой длины,
Икс{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}
- GM(ИксяYя)знак равноGM(Икся)GM(Yя){\ displaystyle \ operatorname {GM} \ left ({\ frac {X_ {i}} {Y_ {i}}} \ right) = {\ frac {\ operatorname {GM} (X_ {i})} {\ operatorname {GM} (Y_ {i})}}}
Это делает среднее геометрическое единственно правильным средним при усреднении нормализованных результатов; то есть результаты, которые представлены как отношения к контрольным значениям. Это имеет место при представлении производительности компьютера по сравнению с эталонным компьютером или при вычислении единого среднего индекса из нескольких разнородных источников (например, ожидаемая продолжительность жизни, годы образования и младенческая смертность). В этом сценарии использование среднего арифметического или гармонического приведет к изменению ранжирования результатов в зависимости от того, что используется в качестве эталона. Например, возьмем следующее сравнение времени выполнения компьютерных программ:
| Компьютер А | Компьютер B | Компьютер C | |
|---|---|---|---|
| Программа 1 | 1 | 10 | 20 |
| Программа 2 | 1000 | 100 | 20 |
| Среднее арифметическое | 500,5 | 55 | 20 |
| Среднее геометрическое | 31,622. . . | 31,622. . . | 20 |
| Гармоническое среднее | 1.998. . . | 18.182. . . | 20 |
Средние арифметические и геометрические «согласны», что компьютер C самый быстрый. Однако, представляя соответствующим образом нормализованные значения и используя среднее арифметическое, мы можем показать, что любой из двух других компьютеров является самым быстрым. Нормализация по результату A дает A как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому:
| Компьютер А | Компьютер B | Компьютер C | |
|---|---|---|---|
| Программа 1 | 1 | 10 | 20 |
| Программа 2 | 1 | 0,1 | 0,02 |
| Среднее арифметическое | 1 | 5,05 | 10.01 |
| Среднее геометрическое | 1 | 1 | 0,632. . . |
| Гармоническое среднее | 1 | 0,198. . . | 0,039. . . |
в то время как нормализация по результату B дает B как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:
| Компьютер А | Компьютер B | Компьютер C | |
|---|---|---|---|
| Программа 1 | 0,1 | 1 | 2 |
| Программа 2 | 10 | 1 | 0,2 |
| Среднее арифметическое | 5,05 | 1 | 1.1 |
| Среднее геометрическое | 1 | 1 | 0,632 |
| Гармоническое среднее | 0,198. . . | 1 | 0,363. . . |
и нормализация на результат C дает C как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:
| Компьютер А | Компьютер B | Компьютер C | |
|---|---|---|---|
| Программа 1 | 0,05 | 0,5 | 1 |
| Программа 2 | 50 | 5 | 1 |
| Среднее арифметическое | 25,025 | 2,75 | 1 |
| Среднее геометрическое | 1.581. . . | 1.581. . . | 1 |
| Гармоническое среднее | 0,099. . . | 0,909. . . | 1 |
Во всех случаях рейтинг, определяемый средним геометрическим, остается таким же, как и рейтинг, полученный с ненормализованными значениями.
Однако это рассуждение было поставлено под сомнение. Давать стабильные результаты не всегда равносильно получению правильных результатов. Как правило, более строго назначать веса каждой из программ, вычислять средневзвешенное время выполнения (используя среднее арифметическое), а затем нормализовать этот результат на одном из компьютеров. В трех приведенных выше таблицах просто присваивается разный вес каждой из программ, объясняя несовместимые результаты средних арифметических и гармонических (первая таблица дает одинаковый вес обеим программам, вторая дает вес 1/1000 второй программе, а третий дает вес 1/100 второй программе и 1/10 первой). По возможности следует избегать использования среднего геометрического для агрегирования показателей производительности, потому что умножение времени выполнения не имеет физического смысла, в отличие от сложения времени, как в среднем арифметическом. Показатели, обратно пропорциональные времени (ускорение, IPC ), следует усреднять с использованием гармонического среднего.
Среднее геометрическое может быть получено из обобщенного среднего, поскольку его предел стремится к нулю. Точно так же это возможно для средневзвешенного геометрического.
п{\ displaystyle p}
Прикладное значение среднего геометрического
Среднее геометрическое широко используется в демографической статистике, моделирований социального развития общества.
С применением среднего геометрического в экономике
расcчитываются финансовые индексы, в физике — коэффициент преломления антибликового напыления, а в вычислительной математике осуществляется сглаживание шумов.
P.S. На этой странице используется Бета версия программы расчета среднего геометрического, об обнаруженных недочетах, а так же возможных пожеланиях просьба сообщить на форум сайта (окно для входа на форум находится в нижней части страницы).
1. Среднее арифметическоезначение (чаще используется термин, просто, «среднее арифметическое» или «среднее») множества заданных чисел определяется как число равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество:
aср.арифм =
a1+ a2+ …+ an
n
2. Среднее степенное значение sd порядка (степени) d от множества заданных чисел a1+ a2+ …+ an определяется формулой:
sd =
(
n∑i=1
aid
n
)
1
d
Среднее арифметическое является степенным средним c d = 1, среднее квадратическое — d = 2, среднее гармоническое можно считать степенным средним порядка d = -1.
Смысл коэффициента
Среднее арифметическое — элементарный показатель для сравнения данных и подсчета приемлемого значения. К примеру, в разных магазинах продается банка пива конкретного производителя. Но в одном магазине она стоит 67 рублей, в другом — 70 рублей, в третьем — 65 рублей, а в последнем — 62 рубля. Довольно большой разбег цен, поэтому покупателю будет интересна средняя стоимость банки, чтобы при покупке товара он мог сравнить свои расходы. В среднем банка пива по городу имеет цену:
Средняя цена = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рублей.
Зная среднюю цену, легко определить где выгодно покупать товар, а где придется переплатить.
Среднее арифметические постоянно используется в статистических расчетах в случаях, если анализируется однородный набор данных. В примере выше — это цена банки пива одной марки. Однако мы не можем сравнить цену на пиво разных производителей или цены на пиво и лимонад, так как в этом случае разброс значений будет больше, средняя цена будет смазана и недостоверна, а сам смысл расчетов исказится до карикатурного «средняя температура по больнице». Для расчета разнородных массивов данных используется среднее арифметическое взвешенное, когда каждое значение получает свой весовой коэффициент.
характеристики
В отличие от среднего арифметического, среднее геометрическое определяется только для неотрицательных чисел и в основном имеет смысл только для действительно положительных действительных чисел , потому что, если один множитель равен нулю , весь продукт уже равен нулю. Он не используется для комплексных чисел, потому что неоднозначны.
Икся{\ displaystyle x_ {i}}
Неравенство арифметического и среднего геометрического говорит , что
- Икс¯геОм≤Икс¯арятЧАСм{\ displaystyle {\ bar {x}} _ {\ mathrm {geom}} \ leq {\ bar {x}} _ {\ mathrm {arithm}}},
так что среднее геометрическое никогда не бывает больше среднего арифметического.
Логарифм среднего геометрического представляет собой среднее арифметическое логарифмов, в результате чего основание логарифма могут быть выбраны произвольно:
а{\ displaystyle a}
- журналаИкс¯геОмзнак равно1п∑язнак равно1пжурналаИкся,{\ displaystyle \ log _ {a} {\ bar {x}} _ {\ mathrm {geom}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log _ {a} x_ {i},}
что приводит к практичному методу расчета для больших .
п{\ displaystyle n}
Арифметико-геометрическое среднее число , которое лежит между арифметического и среднего геометрического.
Также относится к ипзнак равно2{\ displaystyle n = 2}ш1знак равнош2знак равно1{\ displaystyle w_ {1} = w_ {2} = 1}
- ИксгеОмзнак равноИксарятЧАСм⋅ИксЧАСарм{\ displaystyle x _ {\ mathrm {geom}} = {\ sqrt {x _ {\ mathrm {arithm}} \ cdot x _ {\ mathrm {вред}}}}}
со средним арифметическим и гармоническим .
