Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pnчисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=ap1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1pn. При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z. При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.  Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 872=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 873=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000.

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

• нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=ap1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1и следуем к пункту, находящемуся ниже;
• нахождение простого делителя p2 числа a1при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1p2_, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2_, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2_, причем производим переход к следующему шагу;
• перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2по формуле a3=a2p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3_, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3и производим переход к следующему шагу;
• производится нахождение простого делителя pn числа an-1при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn_.

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа.

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из . Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p₁, p₂, …,p_n чисел a, a₁, a₂, …, a_n-1, что позволяет получить ряд равенств a=p₁·a₁, где a₁=a:p₁, a=p₁·a₁=p₁·p₂·a₂, где a₂=a₁:p₂, …, a=p₁·p₂·…·p_n·a_n, где a_n=a_n-1:p_n. Когда получается a_n=1, то равенство a=p₁·p₂·…·p_n даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p₁≤p₂≤p₃≤…≤p_n.

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет . Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z.

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2, 3, 5, 7, 11 и так далее) и делим на них данное число z. Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z. Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где — из z. Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z, то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком ).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87. Берем число 2. Делим 87 на 2, получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью правила и примеры деления целых чисел с остатком). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1, поэтому 2 – не является делителем числа 87. Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3. Делим 87 на 3, получаем 87:3=29. Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители. Алгоритм разложения числа a таков:

• Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p₁ числа a, после чего вычисляем a₁=a:p₁. Если a₁=1, то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a₁ на равно 1, то имеем a=p₁·a₁ и переходим к следующему шагу.
• Находим наименьший простой делитель p₂ числа a₁, для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p₁, после чего вычисляем a₂=a₁:p₂. Если a₂=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p₁·p₂. Если же a₂ на равно 1, то имеем a=p₁·p₂·a₂ и переходим к следующему шагу.
• Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p₂, находим наименьший простой делитель p₃ числа a₂, после чего вычисляем a₃=a₂:p₃. Если a₃=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p₁·p₂·p₃. Если же a₃ на равно 1, то имеем a=p₁·p₂·p₃·a₃ и переходим к следующему шагу.
• …
• Находим наименьший простой делитель p_n числа a_n-1, перебирая простые числа, начиная с p_n-1, а также a_n=a_n-1:p_n, причем a_n получается равно 1. Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p₁·p₂·…·p_n.

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a₁, a₂, …, a_n, а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p₁, p₂, …, p_n.

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Основные определения (разбираемся со «сложными» словами)

Одночлены

Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)

Например:

• \( 4\)
• \( x\)
• \( 4x\)
• \( 4{{x}^{2}}\)
• \( 4{{x}^{2}}y\)

Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.

Многочлены

Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

• \( 4{{x}^{2}}+9x\)
• \( 2{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+4x\)
• \( 8x\cdot 4{{y}^{2}}-12+4{{x}^{2}}y-3{{y}^{2}}\cdot {{x}^{4}}+6-5{{y}^{2}}{{x}^{4}}\)

Множители

Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число \( 12\), разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. 

Так \( 12\) мы можем получить, умножив \( 2\) на \( 6\).

А \( 6\), в свою очередь, можно представить как произведение \( 2\) и \( 3\).

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя. 

То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, \( 12=2\cdot 6\), а \( 6=2\cdot 3\)? 

Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, \( 2\cdot 2\cdot 3=12\). 

Тут \( 2\), еще раз \( 2\) и \( 3\) – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?

Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь. 

Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь «официальное» определение.

Для чего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

5 способов разложения многочлена на множители

3. Метод группировки

Применяется если преобразование не очевидно. Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

\( {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}\)Группируем члены парами, получаем:

\( ({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})\)\( {{x}^{2}}(x-5y)-3y(x-5y)\)\( ({{x}^{2}}-3y)(x-5y)\)

4. Выделение полного квадрата

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – многочлен вида

\( a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\).

Вынесение коэффициента

Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.

Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:

• для численного выражения — найти число, на которое можно будет разделить без остатка любой коэффициент одночлена;
• для выражения с неизвестным — определить неопределённое число, повторяющееся в каждом одночлене, и вынести его за скобку в наименьшей степени;
• рассчитать многочлен, стоящий в скобках.

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.

Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.

Примеры разложения на простые множители

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78. То есть 782=39. Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p1. Получаем, что a1=ap1=782=39. Пришли к равенству вида a=p1·a1_, где 78=2·39. Тогда a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Следует перебрать простые числа, то есть 392=19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 393=13. Значит, что p2=3 является наименьшим простым делителем 39 по a2=a1p2=393=13. Получим равенство вида a=p1·p2·a2 в виде 78=2·3·13. Имеем, что a2=13 не равно 1, тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a2=13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3. Получим, что 133=4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5,7,11, потому как 135=2 (ост. 3), 137=1 (ост. 6) и 1311=1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a3=a2p3=1313=1. Получили, что a3=1, что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78=2·3·13(a=p1·p2·p3).

Ответ: 78=2·3·13.

Пример 3

Разложить число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p1=2 и a1=ap1=83 0062=41 503, где 83 006=2·41 503.

Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не простые делители для числа a1=41 503, а 7 простой делитель, потому как 41 5037=5 929. Получаем, что p2=7, a2=a1p2=41 5037=5 929. Очевидно, что 83 006=2·7·5 929.

Нахождение наименьшего простого делителя p4 к числу a3=847 равняется 7. Видно, что a4=a3p4=8477=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Для нахождения простого делителя числа a4=121 используем число 11, то есть p5=11. Тогда получим выражение вида a5=a4p5=12111=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Для числа a5=11 число p6=11является наименьшим простым делителем. Отсюда a6=a5p6=1111=1. Тогда a6=1. Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006=2·7·7·7·11·11.

Каноническая запись ответа примет вид 83 006=2·73·112.

Ответ: 83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112.

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2. Конец перебора приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=ap1=897 924 289937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

Второй шаг алгоритма заключается в переборе  меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937.  Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда получаем, что p2=967, то a2=a1p1=958 297967=991 и 897 924 289=937·967·991.

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991. Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991<402. Иначе запишем как 991<402. Отсюда видно, что p3=991 и a3=a2p3=991991=1. Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как  897 924 289=937·967·991.

Ответ: 897 924 289=937·967·991.

Перебор делителей[править]

Определение:

Перебор делителей (англ. Trial division) — алгоритм для факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

Наивная реализация O(n)править

, вкупе с утверждением, что не делит нацело: , позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа интервалом .

Основная идеяправить

Заметим, что если = , то . Таким образом, мы можем делить на его делители (множители) последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить — произведение оставшихся множителей.

Псевдокод нахождения простых множителейправить

Так как простых множителей не может быть больше, чем , а в худшем случае (когда число простое, и на каждое итерации увеличивается на ) он работает за , то, следовательно, алгоритм работает за .

  function getMultipliers(number: int): vector<int>
      
      result = vector<int>
      
      curNum = number
       
      probe = 2
      while curNum  1
          if curNum mod probe 0
              
              probe++
          else
              
              curNum /= probe
              result += 
       return result

Псевдокод нахождения делителейправить

   function getDividers(number: int): vector<int>
       
       result = vector<int> 
       
       for probe = 2 to number
           if number mod probe = 0
               
               result += 
       return result

Улучшенная реализация править

Основная идеяправить

Из определения: . Логично, что:

Таким образом, любой делитель однозначно связан с некоторым . Если мы найдем все делители до , задача может считаться решенной.

Псевдокодправить

   function getDividers(number: int): vector<int>
        result = vector<int>
        for probe = 2 to  
           if number mod probe = 0
               result += 
               result += [number / probe] 
       return result

Алгоритм можно переделать для нахождения простых чисел. Число будет простым, если у него не окажется множителей (и делителей) кроме (алгоритмы не проверяют делимость на ) и самого числа (улучшенная реализация опускает этот делитель).

Неприводимые множители

Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.

Для рассматриваемого примера дискриминант квадратного уравнения будет равняться: Д = 25 — 4*2 (-3) = 49. Отсюда p1 = (5 + 7)/4 = 3, p2 = (5 — 7)/4 = -½. Подставив полученные корни в формулу, можно запись: 2 * (p — 3) * (p + ½).

Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.

Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.

Формулы умножения

Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

1. Разность двух членов, стоящих во второй степени, прямо пропорциональна произведению разности этих членов на их сумму. Например, 16 2 — 3 2 = (16 — 3) * (16 + 3) = 247 или 9 * h 2 — 4 * e 2 * h 2 = (3 * h — 2 * e * h) * (3 * h — 2 * e * h).
2. Квадрат суммы двух членов можно разложить на квадрат первого элемента и удвоенное произведение его на второй элемент, прибавив квадрат второго члена. Используя это правило, можно быстро находить квадрат числа без использования калькулятора. Например, 114 2 = (100 +14) = 100 2 + 2 * 100 * 14 + 14 2 = 10000 + 2800 + 196 = 12966.
3. Квадрат разности двух членов равняется квадрату первого члена с вычетом из него двойного произведения первого на второй с добавлением квадрата второго члена. В этом правиле используют обыкновенное раскрытие скобок. Например, (6 — 3) 2 = 6 2 — 2 * 6 * 3 + 3 2 = (3 — 6) 2 = 9 .
4. Кубическая сумма двух выражений определяется кубом первого члена с прибавлением к нему утроенного произведения исходного числа в степени два на второй член, плюс увеличенное в три раза произведение исходного числа на квадрат второго с прибавлением этого элемента в третьей степени. Например, (2h+7e) 3 = (2 * h) 3 + 3 * 2 * h 2 * 7* e + 3 * 2h * (7 * e) 2 + (7 * e) 3.
5. Куб разности находится вычитанием из исходного числа утроенного произведения первого члена, возведённого во вторую степень, с прибавлением утроенного произведения исходного члена на второй в степени два минус его куб. Например, (4 * h − 2 * e) 3 = (4 * h) 3 − 3 * (4 * h) 2 * 2 * e + 3 * 4 * h * (2 * e) 2 − (2 * e) 3 .
6. Сумма кубов находится как произведение суммы членов на неполный квадрат разности: (5 * h) 3 + 8 3 = (5 * h + * ((5 * h) 2 − 5 * h * 8 + 8 2). Неполным квадратом называют выражение: (h 2 — h * e + e 2).
7. Разность кубов равна выражению, полученному перемножением разности двух чисел на неполный квадрат суммы: h3− e3 = (h − e) * ((h 2 +h) * (e + e 2)).

Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Пример.

Разложите число 78 на простые множители.

Решение.

Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p₁ числа a=78. Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78, получаем 78:2=39. Число 78 разделилось на 2 без остатка, поэтому p₁=2 – первый найденный простой делитель числа 78. В этом случае a₁=a:p₁=78:2=39. Так мы приходим к равенству a=p₁·a₁ имеющему вид 78=2·39. Очевидно, что a₁=39 отлично от 1, поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.

Теперь ищем наименьший простой делитель p₂ числа a₁=39. Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p₁=2. Делим 39 на 2, получаем 39:2=19 (ост. 1). Так как 39 не делится нацело на 2, то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3) и делим на него 39, получаем 39:3=13. Следовательно, p₂=3 – наименьший простой делитель числа 39, при этом a₂=a₁:p₂=39:3=13. Имеем равенство a=p₁·p₂·a₂ в виде 78=2·3·13. Так как a₂=13 отлично от 1, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a₂=13. В поисках наименьшего простого делителя p₃ числа 13 будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p₂=3. Число 13 не делится на 3, так как 13:3=4 (ост. 1), также 13 не делится на 5, 7 и на 11, так как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2). Следующим простым числом является 13, и на него 13 делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p₃ числа 13 есть само число 13, и a₃=a₂:p₃=13:13=1. Так как a₃=1, то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78 на простые множители имеет вид 78=2·3·13 (a=p₁·p₂·p₃).

Ответ:

78=2·3·13.

Пример.

Представьте число 83 006 в виде произведения простых множителей.

Решение.

На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p₁=2 и a₁=a:p₁=83 006:2=41 503, откуда 83 006=2·41 503.

На втором шаге выясняем, что 2, 3 и 5 не являются простыми делителями числа a₁=41 503, а число 7 – является, так как 41 503:7=5 929. Имеем p₂=7, a₂=a₁:p₂=41 503:7=5 929. Таким образом, 83 006=2·7·5 929.

Наименьшим простым делителем числа a₂=5 929 является число 7, так как 5 929:7=847. Таким образом, p₃=7, a₃=a₂:p₃=5 929:7=847, откуда 83 006=2·7·7·847.

Дальше находим, что наименьший простой делитель p₄ числа a₃=847 равен 7. Тогда a₄=a₃:p₄=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Теперь находим наименьший простой делитель числа a₄=121, им является число p₅=11 (так как 121 делится на 11 и не делится на 7). Тогда a₅=a₄:p₅=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Наконец, наименьший простой делитель числа a₅=11 – это число p₆=11. Тогда a₆=a₅:p₆=11:11=1. Так как a₆=1, то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11.

Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·73·112.

Ответ:

83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112

Пример.

Разложите на простые множители число 897 924 289.

Решение.

В этом примере чтобы найти первый простой множитель разложения, придется перебрать все простые числа, начиная с 2. Этот долгий перебор заканчивается на числе 937. То есть, p₁=937, тогда a₁=a:p₁=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

На втором шаге алгоритма уже бы пришлось перебирать меньше простых чисел, чем на первом шаге. Здесь мы бы начали с p₁=937, а число 967 уже является простым делителем числа a₁=958 297. То есть, p₂=967, тогда a₂=a₁:p₁=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991.

На третьем шаге мы можем сразу сказать, что 991 – простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991<402), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p₃=991 и a₃=a₂:p₃=991:991=1. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991.

Ответ:

897 924 289=937·967·991.

Простое разложение

На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:

1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

588 | 2 (588 / 2 = 294).

294 | 2 (294 / 2 = 147).

147 | 2 (147 / 3 = 49).

49 | 2 (49 / 7 = 7).

7 | 2 (7 / 7 = 1).

1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.

Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:

• 7140 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 17 = 2 2 • 3 • 5 • 7 • 17;
• 5544 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 • 11 = 2 3 • 32 • 7 • 11;
• 4104 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 19 = 2 3 • 33 • 19;
• 546 = 2 • 3 • 7 • 13;
• 510 = 2 • 3 • 5 • 17;
• 495 = 3 • 3 • 5 • 11 = 3 2 • 5 • 11;
• 224 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7 = 2 5 • 7;
• 208 = 2 • 2 • 2 • 2 • 13 = 2 4 • 13;
• 156 = 2 • 2 • 3 • 13 = 2 2 • 3 • 13;
• 126 = 2 • 3 • 3 • 7 = 2 • 3 2 • 7;
• 118 = 2 • 59.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком в две колонки. Делается это
так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

• Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам
  делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
• Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую
  колонку под исходным числом.
• Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение
заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Пример. Разложить на множители число 84.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

84

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2,
то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в
правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

8442
2

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число
21 записываем в левую колонку.

844221
22

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3,
21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

8442217
223

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

84422171
2237

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

Выделение квадрата

По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:

1. k2 + 2 * k * e + e2 = (k + e)2.
2. k2 — 2 * k * e + e2 = (k — e)2.

Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.