Формула количества диагоналей выпуклого многоугольника

Геометрия 8 класс. Урок 4.Решение задач по теме «Многоугольники»

Содержание (быстрый переход):

Основные дидактические цели урока: систематизировать теоретические знания по теме «Многоугольники»; совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

II. Актуализация знаний учащихся

1. Устный теоретический опрос.

(Учитель по очереди вызывает учащихся к доске. Первый ученик у доски рассказывает решение первой задачи. Учащиеся его слушают, затем исправляют ошибки. Таким же образом решить остальные задачи.)

• 1) Начертите две фигуры, одна из которых является многоугольником, а другая — нет. Укажите вершины, стороны данного многоугольника.
• 2) Начертите выпуклый и невыпуклый четырехугольники. У выпуклого четырехугольника укажите противоположные вершины и противоположные стороны. Отметьте по две точки, принадлежащие внутренней и внешней области невыпуклого четырехугольника.
• 3) Начертите выпуклый пятиугольник и укажите все его диагонали.
• 4) Что такое периметр многоугольника?
• 5) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? четырехугольника? Каков план доказательства теоремы о сумме углов выпуклого n-угольника?
• 6) Как найти угол выпуклого n-угольника, если известно, что все его углы равны?

2. Индивидуальная работа по карточкам.

(Три ученика получают карточки разного уровня сложности и работают самостоятельно во время проведения устного теоретического опроса.)

I уровень сложности

1. Найдите сумму углов выпуклого восьмиугольника.
2. В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны параллельны, АВ = 10 см, ВС = 14 см. Найдите периметр ABCD.

II уровень сложности

1. Сколько сторон имеет выпуклый л-угольник, если сумма его улов равна 540°?
2. В выпуклом четырехугольнике длины сторон относятся как 7 : 8 : 9 : 10, а его периметр равен 68 см. Найдите стороны ч етырехугол ьн и ка.

III уровень сложности

1. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если каждый угол равен 108°.
2. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: АВ = AD, ВС = CD, О — точка пересечения диагоналей четырехугольника. Сравните периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD.

III. Проверка домашнего задания

Проверка решения дополнительной домашней задачи. (Справившийся с заданием ученик записывает решение на доске. Заслушать перед решением задач.)

Решение: Δ АВЕ = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (BE = BD, ∠ABE = ∠CBD, ∠BEA = ∠ВDC), следовательно, АВ = ВС, АЕ = CD (рис. 5.15).
P_ABDE = AВ + BD + DE + AE,   P_BEDC = BE + ED + DC + ВС. Так как АВ = ВС, BD = BE, DE – общая сторона, АЕ = DC, то P_ABDE = P_BEDC

IV. Решение задач

1. Работа в рабочей тетради (самостоятельно).

(Один ученик вслух читает задачу и ее решение, заполняя пропуски. Учащиеся его слушают, а затем исправляют ошибки.)

Задача № 5. Ответ: а) n = 8; б) n = 12.Задача № 6. Ответ: ВС = 3 см.

2. Решить задачу № 367.

Задача № 367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая — в три раза больше второй. (Один ученик работает у доски, остальные — в тетрадях.)

Решение: Пусть первая сторона равна х см (рис. 5.16), тогда вторая сторона равна (х — см, третья сторона равна (х + см, а четвертая сторона равна (3 • (х — 8)) см. Периметр — это сумма длин всех сторон, поэтому х + (х — + (х + + 3 • (х — = 66;  х = 15;  х — 8 = 7 см;  х + 8 = 23 см;  3 • (х — = 21 см.Ответ: 15 см, 7 см, 23 см, 21 см.

VII. Рефлексия учебной деятельности

1. Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника?
2. Как вычислить угол выпуклого я-угольника, если известно, что все его углы равны?
3. Как найти число сторон выпуклого я-угольника, если известна сумма его углов?

Домашнее задание

1. Решить задачи № 366, 369, 370 из учебника.
2. Решить задачу № 7 (рабочая тетрадь).
3. Решить дополнительную задачу.
   Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон многоугольника.

Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Урок 4. Решение задач: Многоугольники с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 8 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».

Выравнивание величины прямоугольника

В прямоугольнике все углы должны равняться 90°, иначе получится неравнобедренная фигура с перекосами стен. Абрис фундамента имеет наружную и внутреннюю сторону, поэтому требование к прямоугольности касается обоих контуров. Легче всего выровнять величину для дома простой прямоугольной формы, который имеет четыре стены.

Иногда фундаменты в плане имеют сложное строение, например, делаются дополнительные монолитные ленты под пристройку или веранду, а каминный зал рассматривается как вынесенное помещение. В таком случае разметка усложняется тем, что площадь дома будет складываться из отдельных прямоугольников, которые размечаются отдельно.

Каждая фигура после распланировки поверяется на соответствие с другими частями и между составными элементами также устанавливаются прямые углы. Первоначальная сторона привязывается к какой-нибудь основе на местности, которая выглядит прямолинейно. Это может быть ограда, забор, трамвайные пути или бордюр асфальтированной трассы. От этой линии откладывается одинаковое расстояние для обозначения первой стороны искомого плана фундамента.

После окончательной разметки нужно правильно рассчитать диагональ и сравнить расстояние между первой-третьей и второй-четвертой вершиной прямоугольника на местности. Должны получиться идеально одинаковые расстояния. Проверяют и длину противоположных сторон, которые также должны быть равны.

Следствие

Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник $A_1A_2ldots A_n$, у которого только угол $angle A_2$ невыпуклый, то есть $angle A_2>180^circ$.

Обозначим сумму его улов $S$.

Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3ldots A_n$.

Сумма углов этого многоугольника равна:

$180^circcdot(n-1-2)=S-angle A_2+angle 1+angle 2=S-angle A_2+180^circ-angle A_1A_2A_3=S+180^circ-(angle A_1A_2A_3+angle A_2)=S+180^circ-360^circ$.

Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.

Пример решения

Пусть дана некоторая фигура, диагонали которой равны, а ее периметр равен 50. Одна из сторон a = 10. Следует провести идентификацию, а также найти такие параметры:

• Другие стороны.
• Значения диагоналей.
• Площадь.
• R описанной окружности через площадь и периметр.
• Выяснить возможность укладки плитки в форме квадрата на такую поверхность.
• Вычислить значения всех углов между смежными сторонами.

Данная задача является типом сложного класса, поскольку название фигуры не упоминается. Ее следует идентифицировать, а затем применить некоторые формулы для решения. Кроме того, необходимо верно выполнить 5 пункт. Однако не следует углубляться в строительную сферу. Бывают два метода укладки плитки: обычный — форма помещения является прямоугольником или квадратом, и с центра — другая фигура.

У фигуры диагонали равны, значит по третьему признаку она является прямоугольником. К нему можно применять вышеописанные формулы. Для нахождения другой стороны следует составить уравнение 2x + 2 * 10 = 50. Затем нужно перенести все известные значения в правую часть: 2х = 50 — 20. Далее можно найти переменную: х = 30 / 2 = 15 (ед.)

Следует обратить внимание на написание единицы измерения. Если в условии задачи она не указана, то пишется единица измерения, которая заключается в круглые скобки

Достаточно найти только одну сторону, поскольку у прямоугольника существует свойство равенства противоположных сторон.

Значение диагоналей находится по формуле: d = ^(1/2) = (15 2 + 10 2 )^(1/2) = (225 +100)^(1/2) = (325)^(1/2). Площадь можно найти таким образом: S = a * b = 15 * 10 = 150 . Радиус вычисляется так:

• R = (P 2 — 4Pa + 8a 2 )^(1/2) / 4 = (50 2 — 4 * 50 * 10 + 8 * 10 2 )^(1/2) / 4 = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

• R = (S 2 + a 4 )^(1/2) / 2a = (150 2 + 100 4 )^(1/2) / (2 * 10) = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).

Плитку можно укладывать обыкновенным способом, начиная не с центра, поскольку поверхность является прямоугольником. Все углы между сторонами равны между собой. Их градусная мера по 12 свойству соответствует 90.

Последовательность операций

Установив первый пруток, нужно правильно выставить и определить направление самой длинной стены здания. Согласно данным проектам необходимо высчитать ее протяженность и после этого отметить нахождение следующего прутка. На этом месте вбивается второй пруток. Между ними натягивается тонкий шнур. Затем делается установка специальных «скамеек». Выводить их «перекладины» нужно строго выдерживая 90 градусов относительно линии выровненного фундамента. Такая работа легко выполняется с помощью угольника, так вы точно сможете выровнять линии под прямой угол.

Обозначение и направление смежных стен можно вывести по «сиденью» скамеек. Как сделать разметку под фундамент, чтобы в дальнейшем не пришлось ничего переделывать, зависит от правильно выполненной технологии. Чтобы правильно вычислить, где будут находиться углы дома, нужно обязательно выдержать все заложенные в проекте, габаритные размеры. После того как были установлены все столбики, измерена диагональ фундамента, можно говорить о завершении разметки. Чтобы определить, правильно ли выполнена разметка под дом своими руками, нужно воспользоваться простым способом. Диагонали фундамента должны иметь одинаковые размеры. Это одно из главных правил.

Сложности при неправильной разметке

Нарушение геометрии фундамента снижает прочность стен Неправильная переноска размеров на местность и пренебрежение сравнением диагоналей приведет к тому, что на поверхности земли появится ромб или трапеция. При устройстве самого фундамента это может и не станет заметно, но первая укладка плит над подвалом выявит несоответствия и приведет к потерям времени для перерасчета сборных элементов или переделке основания.

Если плита опирается меньше требуемой глубины, после получения нагрузки от оборудования или людей она может обломить опорную часть стены и упасть. Такая неприятность коснется горизонтальных элементов перекрытия на всех этажах высотного строения и будет повторяться вплоть до кровли.

Выполнить устройство крыши трудно, если не соответствуют размеры между балками, фермы приходится ставить большего размера, а в других местах уменьшать габариты. Увеличивается трудоемкость работ, т.к. исполнитель выступает в несвойственной для него роли конструктора и проектировщика.

Усложнится установка кровельного покрытия, т.к. листы профнастила или шифера выпускаются с прямыми углами. Сборные угловые элементы водоотлива также рассчитаны на установку под 90°, желоб будет отходить от края кровли, а вода попадет на вертикальные ограждения, стены будут отсыревать.

Произвольная конфигурация

Если будущая постройка произвольной формы, то здесь есть свои особенности. Чтобы знать, как разметить фундамент для дома неправильной конфигурации надо запомнить следующее:

• размечается прямоугольник;
• добавляются нужные конструкции;
• для дымохода и крыльца делается прямоугольное основание;
• разметка дуг, кругов осуществляется от их центра;
• при разметке многоугольника намечается квадрат, а затем формируется сама фигура, возле всех углов ставится обноска, при помощи шнура намечается периметр.

Иногда используются опоры неправильной формы. На чертеж накладывается координатная сетка, намечаются опорные точки. Затем натягивается координатная сетка на участке, переносятся точки на грунт.

Фундамент неправильной формы Источник евродом-урал.рф

Необходимость расчета диагонали фундамента

При неверном расчете диагонали все дальнейшее строительство будет расходиться с планом

Проект предполагает подбор конструктивных элементов точно в размер, чтобы при строительстве не возникало перекосов. Длина балки или плиты перекрытия берется с требуемой глубиной опирания, которая принимается по конструктивному расчету. Во время разметки фундамента нужна предельная точность, т.к. отклонение в размерах повлечет расхождение вертикальных конструкций.

Горизонтальные элементы могут не влезть в проектное положение или вываливаться из монтажного пространства, поэтому потребуется перерасчет длины, а также других показателей.

Правильная разметка основания ведет к приятным бонусам при возведении здания:

• простота строительства стен и применения сборных элементов;
• соблюдение предусмотренной проектом экономии средств и материалов;
• сооружение объекта без отклонений от проекта.

Перед тем как вымерить диагональ фундамента, нужно выровнять строительную площадку, чтобы удобно было размечать линии на местности. Почти всегда строительные конструкции и материалы от утеплительных матов до досок и стеновых щитов имеют прямые углы, поэтому фундамент также размечают с учетом этих требований.

Необходимые инструменты для работы

Инструменты для разметки фундамента Во время рытья траншей экскаватором убирают шнуры, которые натянуты с выносом от углов, а места сторон отмечают на грунте посыпкой контрастным веществом, например, светлым песком или мелом. Элементы обноски красят яркой краской, чтобы экскаваторщик мог их увидеть и не наехать на разметочные части. После рытья траншеи шнуры натягивают на старое место и проверяют расположение ям или котлованов.

Расчет диагонали фундамента ведется с применением инструментов и приспособлений:

• колья из древесины или ровной арматуры, без кривизны;
• ровные куски металлического профиля или сухой рейки по 2 – 2,5 метра для горизонтального переноса точек;
• капроновый шнур или крепкий шпагат;
• гвозди, шурупы или саморезы;
• угольник, рулетка, молоток, ножницы;
• отвес, водяной или лазерный уровень.

Геодезисты используют теодолит, чтобы размечать углы и давать отметки по высоте. У частников нет такого инструмента, для работы с ним требуется навык. Правильно измерить диагональ дома можно с помощью простых приспособлений.

На угольник закрепляют лазерные указки и строительный уровень — такое приспособление покажет высокую точность при разметке. Продаются транспортиры и угольники большого размера, лучше взять такие, чтобы было удобнее переносить линии плана на местность. Первоначальная разметка очень важна для начала строительства, поэтому желательно высчитать диагональ несколько раз, чтобы быть уверенным в правильности работы.

Боковые стенки

Наружные стены выравнивают, если величина перепадов составляет более 1 сантиметра. Казалось бы, подземную часть ленты никто не видит, зачем придавать ей ровность?

Во-первых, на такую просто не ляжет плотно гидроизоляция, что влечет протечки и скорейшее разрушение/размывание стенки.

Во-вторых, выступающая над поверхностью земли часть фундамента в большинстве случаев является цоколем. Соответственно, дефекты стенок будут видны, что нежелательно.

• Самый простой способ выравнивания стенки в случае обнаружения неровностей – оштукатуривание. Причём, если перепады уровня превышают 5 см, следует использовать армирующую сетку, которая улучшит ненесущую способность облицовочного слоя.
• Выкладка кирпичом цокольной части фундаментной стены. В данном случае непосредственное выравнивание боковой поверхности фундамента не потребуется – она не будет видна за кирпичной кладкой.
• Облицовка плиткой с клеем, который можно положить утолщенным слоем. Этот вариант маскировки неровностей подходит только для стен с небольшими дефектами.

Выравнивание цоколя необходимо в том случае, если отмечаются сильные перепады уровня. Это относится как к боковым плоскостям, так и к горизонталям. Если строить дом на неровном цоколе в процессе эксплуатации стены и вес конструкции создаст избыточное давление на участки с кривизной, что повлияет на долговечность постройки.

Для выравнивания нужны стандартные инструменты по строительству. Выравнивание осуществляется двумя способами – по горизонтали и под облицовку. В процессе выполнения могут возникать ошибки, которые необходимо устранять на этапе заливки бетона в опалубку.

актуальные комментарии к ответам

Диагональ в многоугольнике (полиэдре) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, другими словами, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру полиэдра).

У полиэдров различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за границы граней. У полиэдров, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, так как все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника просто вычислить по формуле:

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле несложно отыскать, что

у треугольника — 0 диагоналей
у прямоугольника — 2 диагонали
у пятиугольника — 5 диагоналей
у шестиугольника — 9 диагоналей
у восьмиугольника — 20 диагоналей
у 12-угольника — 54 диагонали
у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей полиэдра с числом вершин n просто подсчитать только для варианта, когда в каждой верхушке полиэдра сходится однообразное число ребер k. Тогда есть возможность воспользоваться формулой:

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда есть возможность отыскать, что

у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей
у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные)
у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные)
у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

В том случае в различных верхушках полиэдра сходится различное число ребер, подсчет приметно усложняется и должен проводится персонально для каждого варианта.

Фигуры с равными диагоналями

На плоскости существует два правильных многоугольника, у каких все диагонали равны меж собой. Это квадрат и верный пятиугольник. У квадрата две схожих диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника 5 схожих диагоналей, которые совместно образуют набросок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Единственный верный полиэдр, у которого все диагонали равны меж собой — верный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Кроме октаэдра еще есть один верный полиэдр, у которого все пространственные диагонали равны меж собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре схожих пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол меж дигоналями куба состаляет или arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), или arccos(-1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

ru.wikipedia.org — Википедия: Диагональ
dic.academic.ru — иллюстрация различия меж граневой и пространственной диагоналями полиэдра

Дополнительно в базе данных New-Best.comа:

Как отыскать диагональ прямоугольника?
Сколько вершин, ребер и граней у тетраэдра?
Сколько вершин, ребер и граней у куба (гексаэдра)?

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Прямоугольная конструкция

Одна из сторон прямоугольного фундамента под дом привязывается к любому объекту, имеющемуся на площадке. Ориентиром могут стать соседние постройки. При разметке нужно не забывать о местонахождении солнца и учитывать этот фактор.

По ориентиру натягивается первый шнур. Устанавливается два первых колышка. Иногда, когда выкапывается траншея, колья начинают проваливаться. Чтобы этого не происходило, их монтаж делается немного подальше от угла фундамента. Точка пересечения шнуров показывает местонахождение угла. Этот метод дает возможность сохранить сделанную разметку, во время выемки почвы.

Нахождение третьего и четвертого углов

При расчете используется теорема Пифагора

Соответствие частей в треугольнике, по которому размечается прямой угол на участке, можно проверить теоремой Пифагора. Она выражается формулой a² + b² = c²: квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов.

Чтобы высчитать длину соединяющей гипотенузы, нужно высчитать квадрат одного расстояния на шнуре с квадратом другой стороны угла и сложить полученные значения. Из результата следует высчитать квадратный корень, чтобы получить длину гипотенузы. Так можно выровнять диагональ прямоугольника, чтобы получить идеальный прямой угол.

Третий и четвертый углы находятся аналогичным способом по отправной вершине и существующей стороне. После выставления последнего угла проверяется противоположные диагонали и стороны в фигуре для сравнения. Используется шнур, который не растягивается по длине, чтобы не искажать измерения.

Правильный расчет диагонали фундамента

После изучения плана основания нужно приступать к разметке одной из сторон. Это может быть боковая часть, фасадная или задняя, в данном случае это не является важным условием, т.к

принимается во внимание только ориентирование направления

Длина фундаментной стены не учитывается, можно взять на 1,0 метр больше от места предстоящих углов. В этих точках забивают колья, и натягивают шпагат. Запас по длине дается, чтобы при копке траншеи не вытащить колышек, и он остался для обозначения направления стороны.

Колышки заменяют доской длиной 1 – 2 метра с прибитыми кольями в торце. Привязанный к ним шнур можно оперативно передвигать из стороны в сторону при необходимости. Такое приспособление для работы называют обноской, оно позволяет расчертить участок с точностью до нескольких миллиметров.

Порядок работы:

• После натяжки шпагата находят точку отсчета по длине и определяют угол фундамента, на шпагате в этой точке цепляют прищепку или забивают кол в грунт, так появляется 2 угла.
• Идентично поступают с перпендикулярной стороной и определяют направление.
• Перед тем как рассчитать диагональ прямоугольного треугольника, по сторонам откладывают 3 и 4 равные части, отмечают их на шпагате (например, 3 и 4 метра).
• Зависимость расстояния между отмеченными точками такова, что гипотенуза должна быть равна пяти частям (5 метров) и не отличаться даже сантиметром, иначе пойдет скос.

Исследуем

574. а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника (n). Результаты занесите в таблицу.
б) Задайте формулой зависимость d от n.

а) Зависимость: (число диагоналей выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, на 3 меньше, чем сторон этого многоугольника)

n	4	5	6	7	8	9	10	11	12
d	1	2	3	4	5	6	7	8	9

б) d = n — 3.

575. а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника от числа его сторон (n). Результаты занесите в таблицу.
б) Задайте формулой зависимость d от n.

а) Зависимость:

n	4	5	6	7	8	9	10	11	12
d	2	5	9	14	20	27	35	44	54

б) d = n • (n — 3) 2.

← Предыдущая

Следующая →