Свойства углов и сторон описанного и вписанного четырехугольника
Теорема 81. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна двум прямым.
Дано. Вписан четырехугольник ABCD (черт. 115).
Требуется доказать, что A + C = 2d, B + D = 2d.
Доказательство. Угол B измеряется половиной дуги ADC, угол D измеряется половиной дуги ABC, следовательно сумма углов B + D измеряется ½ (ADC + ABC), т. е. полуокружностью.
Полуокружность есть мера двух прямых, следовательно,
B + D = 2d.
Это же заключение справедливо и для суммы углов A и C
A + C = 2d (ЧТД).
Теорема 82. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.
Дан описанный четырехугольник ABCD (черт. 116); a, b, c, d четыре точки прикосновения его сторон с окружностью.
Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.
Доказательство. Соединим вершины и точки прикосновения a, b, c, d описанного четырехугольника с центром O.
Из чертежа 116 видно, что
∆OaC = ∆ObC∆ObD = ∆OcD∆OcA = ∆OdA∆OdB = ∆OaB
ибо они, будучи прямоугольными, имеют по равной гипотенузе OC, OD, OA, OB и равным катетам, следовательно,
aC = bC
aB = dB
cA = dA
cD = bD
Сложив эти равенства, получаем:
aC + aB + cA + cD = bC + dB +dA + bD
или
BC + AD = CD + AB (ЧТД).
Зависимость между углами, дугами и хордами
Теорема 57. В двух равных кругах равным углам при центре соответствуют равные дуги.
Дано. Две окружности описаны (черт. 88) одними и теми же радиусами и углы при центре равны:
∠AOB = ∠A’O’B’.
Требуется доказать, что ◡AB = ◡A’B’.
Доказательство. Наложим круг O’ на круг O так, чтобы центр O’ совпал с центром O и сторона OA со стороною O’A’. Точка A’ по равенству радиусов совпадает с точкой A. По равенству углов A’O’B’ и AOB отрезок O’B’ пойдет по отрезку OB и по равенству радиусов точка B’ упадет в точку B. Две крайние точки дуги A’B’ совпадут с двумя крайними точками дуги AB, следовательно, и все промежуточные точки дуги A’B’ совпадут с промежуточными точками дуги AB, так как окружность O’ совпадает с окружностью O, ибо они описаны равными радиусами.
Теорема 58 (обратная 57). Равным дугам соответствуют равные углы.
Дано. Дуги AB и A’B’ равны (◡AB = ◡A’B’) (черт. 88).
Требуется доказать, что ∠AOB = ∠A’O’B’.
Доказательство. Наложим сектор A’O’B’ на сектор AOB так, чтобы отрезок O’A’ совпал с отрезком OA. Дуга A’B’ упадет на дугу AB и B’ упадет в B. Отрезок B’O’ совпадет с отрезком BO и угол AOB совпадет с углом A’O’B’, следовательно,
∠AOB = ∠A’O’B’ (ЧТД).
Теорема 59. Диаметр больше всякой хорды.
Даны диаметр CD и хорда MN (черт. 87).
Требуется доказать, что CD > MN.
Доказательство. Проведем радиусы MO и NO. Ломаная линия MON больше прямой MN
MON > MN или MO + ON > MN
Так как MO = CO, NO = OD, то заменяя MO и NO равными им величинами, получим неравенства:
CO + OD > MN или CD > MN (ЧТД).
Теорема 60. Равные хорды стягивают равные дуги.
Даны равные хорды AB и CD (черт. 89) (AB = CD).
Требуется доказать, что ◡AB = ◡CD.
Доказательство. Соединив точки A, B, C, D с центром, имеем
∆AOB = ∆COD, ибо
OA = OC и OB = OD как радиусы, AB = CD по условию.
Следовательно, ∠AOB = ∠COD, откуда ◡AB = ◡CD (ЧТД).
Теорема 61 (обратная 60). Равные дуги стягиваются равными хордами.
Дано. Дуги AB и CD равны (черт. 89) (◡AB = ◡CD).
Требуется доказать, что AB = CD.
Доказательство. Два треугольника AOB и COD равны, ибо OA = OC и OB = OD как радиусы, ∠AOB = ∠COD ибо по условию дуги AB и CD равны, а потому и углы равны (теорема 58). Следовательно, AB = CD (ЧТД).
Теорема 62. Если дуги меньше полуокружности, то против большей дуги лежит большая хорда.
Дано. Дуга BD больше дуги AC (черт. 90) (◡BD > ◡AC).
Требуется доказать, что BD > AC.
Доказательство. Соединим точки A, C, B, D с центром O. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BOD > AOC. Следовательно, BD > AC (теорема 23) (ЧТД).
Теорема 63 (обратная 62). Против большей хорды лежит большая дуга.
Дано. Хорда BD больше хорды AC (черт. 90) (BD > AC).
Требуется доказать, что ◡BD > ◡AC.
Доказательство. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BD > AC по условию. Поэтому ∠BOD > ∠AOC (теорема 24). Следовательно, ◡BD > ◡AC (ЧТД).
Вычисление радиуса
Радиус можно посчитать разными способами.
Если известна длина окружности круга
Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.
Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:
Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.
Если известна площадь круга
Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:
В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.
Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.
Единицы времени
Каждый человек хочет понять время. Оно нам нужно, потому что мы живем по режиму, а магазины, библиотеки, вокзалы — по расписанию. Определенное количество дел намечаем сделать в единицу времени.
Давайте познакомимся с единицами измерения времени.
Земля обращается вокруг Солнца за 365 суток. Это год. Один раз в 4 года он увеличивается на сутки, и называется високосным.
С глубокой древности круг считается символом годовых сезонных циклов: зимы, весны, лета и осени. Рассмотрите рисунок годового круга: он поделен на 4 доли — четыре времени года.
Единица величины каждого времени года делится на 3 месяца.
В году 3 ∙ 4 = 12 месяцев. Месяц — единица времени, за которую Луна обходит планету Земля вокруг.
В каждом месяце 30 или 31, а в феврале 28 или 29 суток.
Исторически основной единицей для времени были сутки (часто говорят «день»). За одни сутки Земля поворачивается вокруг своей оси.
В результате деления суток на меньшие временные интервалы возникли часы, минуты и секунды. Сутки – единица времени, равная 24 часам. Один час — это 60 минут. Минута состоит из 60 секунд.
Выполните задания
1. Выразите время в указанных единицах измерения
|
8 ч 25 мин. = … мин. |
95 мин. = … ч … мин. |
|
2 мин. 14 сек. = … сек. |
187 сек. = … мин. … сек. |
Решение:
1 час = 60 мин. Значит, в восьми часах будет в 8 раз больше. Нужно выполнить умножение.
60 ∙ 8 = 480 (мин.)
В 8 часах — 480 минут да еще 25 мин. Действие сложения.
480 + 25 = 505 (мин.)
Ответ: 8 ч 25 мин. = 505 мин.
Дальше решайте аналогично:
2 мин. 14 сек. = 60 ∙ 2 + 14 = 134 сек.
95 мин. = 1 ч 35 мин.
187 сек. = 3 ч. 7 сек.
2. Выберите единицы времени, которые расположены в порядке возрастания
а) час, минута, секунда
б) секунда, минута, час
в) минута, час, секунда
Проверьте себя.
Правильный ответ — б.
3. Автомобиль до Москвы едет 2 суток, а обратно 48 часов. Почему такая разница?
Проверьте себя.
2 сут. = 48 ч. Разницы нет.
Наш урок подходит к концу. Я надеюсь, что вы будете ценить свое время, не будете терять его зря.
Я с вами прощаюсь, а вы проверьте свои знания.
Относительное положение двух окружностей
Концентрические и эксцентрические круги. Два круга называются концентрическими, когда они имеют один общий центр, и эксцентрическими, когда из центры не совпадают.
На чертеже 96 представлены круги концентрические и на чертежах 97, 98, 99, 100 и 101 круги эксцентрические.
Внешние и внутренние круги. Круги называются внешними, когда все точки одного лежат вне площади другого круга, и внутренними, когда все точки одного лежат внутри площади другого круга.
На чертежах 97 и 99 изображены круги внешние, на чертежах 96, 98 и 100 круги внутренние.
Касательные окружности. Окружности называются касательными, когда они имеют одну общую точку.
Общая точка двух касательных окружностей называется их точкой соприкосновения. Соприкосновение называется внешним, когда два круга, имея общую точку, лежат один вне другого, и внутренним, когда один круг лежит внутри другого. На черт. 99 имеем случай внешнего, а на чертеже 100 случай внутреннего соприкосновения.
Пересекающиеся окружности. Окружности называются пересекающимися, когда они имеют две общие точки (черт. 101).
Линия центров есть отрезок, соединяющий центры двух кругов.
Теорема 71. Две окружности, имеющие общую точку на линии центров, другой общей точки иметь не могут.
Дано. Две окружности с центрами O и O’ имеют общую точку A (черт. 102).
Требуется доказать, что другой общей точки у них нет.
Доказательство. Положим, существует другая общая точка B, следовательно,
OB = OA и O’B = O’A.
Складывая эти равенства, мы имели бы
OB + O’B = OA + O’A или
OB + O’B = OO’
равенство несообразное, ибо ломаная не может равняться прямой.
Итак, другой общей точки быть не может (ЧТД).
Теорема 72. Две окружности, имеющие одну общую точку вне линии центров, имеют и другую общую точку по другую сторону линии центров.
Дано. Две окружности, центры которых O и O’, имеют общую точку A вне отрезка OO’ (черт. 103), соединяющей центры.
Требуется доказать, что существует и другая общая точка по другую сторону центров.
Доказательство. Из точки A опустим на линию центров перпендикуляр AG и на продолжении его отложим отрезок BG, равный AG.
Докажем, что точка B будет другая общая точка. Точка B лежит на окружности O, ибо AO = BO как равные наклонные, находящиеся на равных расстояниях AG и BG от перпендикуляра OO’. Точка B лежит на окружности O’, ибо AO’ = BO’ как равные наклонные, находящиеся на равных расстояниях AG и BG от перпендикуляра OO’, следовательно, точка B есть другая общая точка (ЧТД).
Теорема 73. Если две окружности пересекаются в двух точках, то линия центров перпендикулярна и делит пополам хорду, соединяющую точки пересечения.
Дано. Точки A и B есть точки пересечения (черт. 104) двух окружностей.
Требуется доказать, что AG = BG и AB ⊥ OO’.
Доказательство. Треугольники OAO’ и OBO’ равны, ибо OO’ сторона общая.
OA = OB как радиусы окружности O.
O’A = O’B как радиусы окружности O’.
Следовательно,
∠AOO’ = ∠BOO’
Треугольники AOG и BOG равны, ибо OG сторона общая, AO = BO как радиусы, ∠AOG = ∠BOG по доказанному. Следовательно, AG = BG (хорда AB делится линией центров пополам), ∠AGO = ∠BGO (хорда AB перпендикулярна к линии центров).
Таким образом, хорда AB делится пополам и перпендикулярна к линии центров OO’ (ЧТД).
Об этой статье
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 139 человек(а). Количество просмотров этой статьи: 746 448.
Категории: Геометрия
English:Calculate the Circumference of a Circle
Français:calculer la circonférence d’un cercle
Italiano:Calcolare la Circonferenza di un Cerchio
Español:calcular la circunferencia
Deutsch:Einen Kreisumfang berechnen
Português:Calcular a Circunferência de um Círculo
Nederlands:De omtrek van een cirkel berekenen
中文:计算圆的周长
Bahasa Indonesia:Menghitung Keliling Lingkaran
Čeština:Jak vypočítat obvod kruhu
日本語:円の円周を計算する
ไทย:คำนวณเส้นรอบวงของวงกลม
हिन्दी:गोलाकार चीजों की परिधी ज्ञात करें
العربية:حساب محيط دائرة
Tiếng Việt:Tính Chu vi Hình tròn
한국어:원의 원주 구하는 법
Türkçe:Bir Dairenin Çevresi Nasıl Hesaplanır
فارسی:محیط یک دایره را محاسبه کنیم
Печать