Извлечение квадратного корня в математике с примерами решения и образцами выполнения

Извлечение квадратного корня из любого данного числа с любым заданным числом десятичных знаков

Способ извлечения квадратного корня, изложенный в § 5 и 6, применялся там только к числам, заключенным между 1 и 100, т. е. к числам с однозначной или двузначной целой частью. Однако этот способ легко распространяется на любые положительные числа, целые или заданные десятичной дробью. Это следует из того, что при умножении подкоренного числа на 100 корень увеличивается в 10 раз, а при делении подкоренного числа на 100 корень уменьшается в 10 раз.

Действительно, если то

так как а

ибо

Умножение или деление на 100 равносильно перенесению запятой на два разряда вправо или влево. Умножение или деление на 10 равносильно перенесению запятой на один разряд. Повторное умножение или деление на 100 равносильно перенесению запятой на четное число урядов. Очевидно, что за счет такого перенесения запятой в подкоренном числе можно добиться того, чтобы целая часть нового подкоренного числа оказалась однозначным или двузначным числом.

К этому числу можно применить указанный прием для извлечения квадратного корня. Чтобы получить корень из исходного числа, нужно в полученном корне перенести запятую в обратном направлении на вдвое меньшее число разрядов.

Например, чтобы извлечь корень мы сначала перенесем запятую на два разряда вправо. мы вычислили; он равен 9,61 (с точностью до 0,01). Следовательно, (с точностью до 0,001).

Сформулируем теперь общее правило для извлечения корня из данного числа с данным числом десятичных знаков, обобщив в этом правиле все высказанные выше соображения.

Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного положительного целого или записанного в виде десятичной дроби числа с, данной точностью, нужно:

Целая часть, вычисляемая в п. 5 правила, может оказаться больше 9 только на первом шагу вычислений, т. е. при вычислении второй цифры.

1. Записать это число под знаком квадратного корня и разбить его цифры на «грани» по две цифры в каждой, начиная от запятой, вправо и влево. Если требуется вычислить корень с точностью до 1, то грани, расположенные направо от запятой, можно отбросить. Если требуется вычислить корень с точностью до 0,1, следует справа от запятой сохранить одну грань, при вычислении с точностью до 0,01 оставить две грани и т. д. Если при этом окажется, что цифр для заполнения нужного числа граней не хватает, приписать надлежащее количество нулей.
2. Извлечь корень из старшей грани с точностью до 1, с недостатком (или точно, если это возможно). Полученное число принять за первую цифру искомого корня.
3. Из старшей грани вычесть квадрат первой цифры и к полученной разности приписать вторую грань. Слева от полуденного результата провести вертикальную черту.
4. Слева от черты записать удвоенную первую цифру.
5. Найти целую часть частного от деления числа десятков первой разности на число, записанное слева. Если полученное число окажется больше 10, заменить числом 9.
6. Полученное однозначное число подвергнуть следующему испытанию: приписать его в качестве цифры к числу, записанному слева, получившееся число умножить на испытуемое однозначное число и сравнить произведение с разностью, записанной справа от черты. Если это произведение больше указанной разности, уменьшить испытуемое число на одну единицу и вновь подвергнуть испытанию.
7. Если после испытания произведение окажется меньше указанной разности, подписать его под ней и вычесть. Испытанное однозначное число принять за вторую цифру корня.
8. К вновь полученной разности приписать следующую грань и определить третью цифру тем же приемом, каким била определена вторая цифра.
9. Продолжать аналогичные вычисления до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
10. Запятую в результате нужно поставить после того, как будут исчерпаны грани, предшествующие запятой в подкоренном числе.

Отрицательный результат испытания в п. 6 правила довольно часто имеет место на первом шагу вычислений, когда поправка еще не очень мала, по сравнению с первым приближением. На дальнейших шагах вычислений отрицательный результат испытания получается крайне редко.

Если подкоренное число имеет 0 целых и вслед затем следует нуль, корень имеет тоже 0 целых и затем столько нулей, сколько граней из нулей следует за запятой в подкоренном числе. Первая значащая цифра корня есть целая часть корня из первой значащей грани подкоренного числа.

График квадратного корня

На координатной плоскости функция выглядит следующим образом:

График берет начало в точке , является монотонно возрастающим, располагается исключительно в I четверти координатной плоскости, т.к. определен только для , при которых принимает положительные значения y .

По какому принципу производится сокращение дробей с квадратными корнями?

Например, как сократить такую дробь:

Тут на помощь должнв приходить теория.

А теория эта для квадратных корней зиждется на трех основных истинах:

1) корень из числа Х возведенный в квадрат равен самому числу Х

2) корень из произведения чисел X и Y равен произведению из корней X и Y соответственно

3) корень из частного от деления чисел X и Y равен частному от деления корней X и Y соответственно.

В преобразованиях часто используется прием домножения числителя и знаменателя на выражение обратное по смыслу знаменателю, таким образом, чтобы в знаменателе получалось выражение для разности квадратов. Тогда, от корней в знаменателе можно уйти совсем, что заметно облегчает задачу по сокращению дробей. Здесь я не могу (откровенно говоря — просто лень) представить символьно знак квадратного корня, потому и не привожу решения ваших уравнений.

Но проявив некоторую смекалку и выше названные правила вы вполне справитесь и самостоятельно (дам лишь «наводку» — применяйте правила группировки выражений). Например, 35 = 5 * 7, 14 = 2 * 7, 6 = 3 * 2, 15 = 5 * 3 и т.п.

Таким образом первое ваше выражение можно легко свести к корню из дроби 5 / 2.

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

Пример 14

15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

Пример 15

5+2и 5-2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2

Пример 16

15+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223.

Из этого следует: 15+2=5-223.

Советы: 

1. Если вы  работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь. 
2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Извлечение квадратного корня из числа, заключенного между 1 и 100, с точностью до 0,1

Приступим к объяснению одной удобной арифметической схемы для приближенного извлечения квадратного корня с заданной точностью.

Допустим, что нам уже известно, что число 7,236 есть приближенное значение квадратного корня из числа A= 52,365, взятое с недостатком, с точностью до 0,001. Тогда числа 7; 7,2; 7,23 и 7,236 представляют собой приближенные значения с недостатком, и каждое последующее из этих приближений является более точным, чем предыдущее. Мы можем считать, что каждое последующее получается из предыдущего прибавлением некоторой поправки. Именно, 7,2 = 7 + 0,2; 7,23 = 7,2 + 0,03; 7,236 = 7,23 + 0,006.

Мы сможем вычислять квадратные корни с любой степенью точности, если нам удастся указать способ вычисления поправки к уже известному приближению с недостатком так, чтобы после прибавления этой поправки получалось бы снова приближение с недостатком, но значительно более точное.

Для вывода удобного способа вычисления таких поправок рассмотрим задачу в общем виде.

Пусть а есть приближенное значение с недостатком для квадратного корня из положительного числа A, и пусть b есть поправка, которую нужно добавить к числу а, чтобы получить более точное приближение к корню, тоже с недостатком. Предположим, что эта поправка мала по сравнению с самим числом а.

Примем сначала, что a + b есть точное значение . Тогда имеет место равенство Раскрывая скобки, получим

откуда

Вспомним теперь, что поправку b мы ищем только приближенно. Ввиду сделанного предположения, что искомая поправка мала по сравнению с числом а мы можем отбросить в знаменателе слагаемое b, и тогда получим для b приближенное равенство

В знаменателе мы отбросили положительное слагаемое, тем самым мы уменьшили знаменатель, а всю дробь увеличили. Следовательно, число больше истинной поправки

Поэтому если мы хотим получить значение корня снова с недостатком, то мы должны взять в качестве поправки число, несколько меньшее, чем , например округлить это частное, приняв во внимание только первую значащую цифру

Для того чтобы проверить, что вычисленная таким способом поправка дает после прибавления к а снова приближение с недостатком, надо проверить, что разность положительна. Эту разность удобно представить в виде

Действительно, число уже вычислялось при вычислении поправки, а вычисление произведения выполняется без труда. Если исследуемая разность все же окажется отрицательной, то это обозначает, что вычисленная поправка велика и ее следует еще уменьшить.

Рассмотрим пример на применение этих соображений. Пример. Вычислить с точностью до 0,1.

Решение. В качестве первого приближения возьмем а = 9. В качестве поправки следует взять число, немного меньшее, чем

Берем поправку b = 0,6. Эта поправка дает значение с недостатком, ибо

Таким образом, число a + b = 9,6 есть приближение к с недостатком. Число 9,7 является приближением с избытком, ибо поправка , в силу сказанного выше, уже больше истинной, а поправка 0,7 и подавно. Итак, с точностью до (с недостатком).

Все вычисления очень удобно производить по следующей схеме:

Порядок действий следующий:

1) пишем данное число под знаком корня; 2) определяем целую часть корня 9, возводим ее в квадрат и вычитаем из подкоренного выражения; 3) слева от полученной разности проводим вертикальную черту и слева от нее запишем4) приближенно делим разность 11,43 на 18 с точностью до 0,1 с недостатком. Получаем 0,6; 5) к числу 18 добавляем 0,6 и сумму умножаем на 0,6. Произведение записываем под ранее вычисленной разностью 11,43 и вычитаем из нее. Так как последняя разность 0,27 оказалась положительной, то вычисление заканчивается. Число 0,6 присоединяется к числу 9 в качестве поправки. Напоминаем, что последняя разность 0,27 есть разность чисел 92,43 и

Пример:

Вычислить с точностью до 0,1.

Решение:

Решаем этот пример, пользуясь той же схемой:

При делении числа 15 на 6 мы получим, после округления, 0,8. Однако такая поправка слишком велика, так как 6,8 • 0,8 = 5,44 > 5. Примем в качестве поправки 0,7.

Поправка 0,7 оказалась подходящей.

Последняя разность 0,31 есть К числу 5 мы приписали нули после запятой, чтобы было удобнее производить вычитание.

Пример:

Вычислить с точностью до 0,l. Решение.

При делении числа 2,41 на 2 получается с точностью до 0,1 число 1,2, которое явно велико в качестве поправки. Такой плохой результат получается потому, что здесь поправка совсем немала по сравнению с первым приближением, и поэтому приближенное равенство оказывается очень грубым.

Даже 0,9 велико в качестве поправки, ибо 2,9 • 0,9 = 2,61 >2,41. Берем 0,8.

Метод 1: использование функции КОРЕНЬ

Множество операций в программе реализуется с помощью специальных функций, и извлечение корня – не исключение. В данном случае нам нужен оператор КОРЕНЬ, формула которого выглядит так:

=КОРЕНЬ(число)

Для выполнения расчета достаточно написать данную формулу в любой свободной ячейке (или в строке формул, предварительно выбрав нужную ячейку). Слово “число”, соответственно, меняем на числовое значение, корень которого нужно найти.

Когда все готово, щелкаем клавишу Enter и получаем требуемый результат.

Вместо числа можно, также, указать адрес ячейки, содержащей число.

Указать координаты ячейки можно как вручную, прописав их с помощью клавиш на клавиатуре, так и просто щелкнув по ней, когда курсор находится в положенном месте в формуле.

Вставка формулы через Мастер функций

Воспользоваться формулой для извлечения корня можно через окно вставки функций. Вот, как это делается:

1. Выбрав ячейку, в которой мы хотим выполнить расчеты, щелкаем по кнопке “Вставить функцию” (fx).
2. В окне мастера функций выбираем категорию “Математические”, отмечаем оператор “КОРЕНЬ” и щелкаем OK.
3. Перед нами появится окно с аргументом функции для заполнения. Как и при ручном написании формулы можно указать конкретное число или ссылку на ячейку, содержащую числовое значение. При этом, координаты можно указать, напечатав их с помощью клавиатуры или просто кликнуть по нужному элементу в самой таблице.
4. Щелкнув кнопку OK мы получим результат в ячейке с функцией.

Вставка функции через вкладку “Формулы

1. Встаем в ячейку, в которой хотим произвести вычисления. Щелкаем по кнопке “Математические” в разделе инструментов “Библиотека функций”.
2. Пролистав предложенный перечень находим и кликаем по пункту “КОРЕНЬ”.
3. На экране отобразится уже знакомое окно с аргументом, который нужно заполнить, после чего нажать кнопку OK.

Наши дни

С точки зрения математики, квадратный корень из числа y — это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z2=y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.

В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z2=y и (-z)2=y, имеем: √y=±z или √y=|z|.

Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.

Что такое арифметический квадратный корень

А почему же число  \( a\) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен \( \sqrt{-9}\)?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: \( {{3}^{2}}=9\), а не \( -9\).

Может, \( \left( -3 \right)\)? 

Опять же, проверяем: \( {{\left( -3 \right)}^{2}}=9\).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа\( a\)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен\( a\)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример \( {{x}^{2}}=4\) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом \( \displaystyle 4\). Ответом были \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle -2\)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, \( \displaystyle {{x}^{2}}=4\) (квадратное уравнение) не равносильно выражению \( x=\sqrt{4}\) (арифмитический квадратный корень).

Из \( {{x}^{2}}=4\) следует, что

\( \left| x \right|=\sqrt{4}\), то есть \( x=\pm \sqrt{4}=\pm 2\) или \( {{x}_{1}}=2\); \( {{x}_{2}}=-2\)

(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из \( x=\sqrt{4}\) следует, что \( x=2\).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как \( 2\), так и \( x=-2\).

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 

Пример 5

8÷36, переписываем так 836

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

836=2×2×26×6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2266×62×2×2, из этого следует: 836=226

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. 

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Пример 8

В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе:

623×33=62×33×3=669=663

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

Пример 9

26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
6. Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Извлечение квадратного корня из целых чисел с произвольно заданной точностью

Эту операцию поясним опять же на примерах.

1) Найти приближенное значение с точностью до

Найдем сначала с точностью до 1.

Легко понять, что значение с точностью до будет с недостатком , а с избытком

2) Найти приближенное значение с точностью до .

Найдем сначала с точностью до единицы:

Значение с точностью до будет с недостатком , а с избытком .

При извлечении квадратного корня с точностью до вычисления можно располагать так:

Здесь каждый раз мы приписывали к остатку два нуля. Иначе говоря, мы предварительно представляли в формегде после запятой поставлено четное число нулей.

Если в десятичной дроби после запятой имеется нечетное число десятичных знаков, то следует приписать еще один десятичный знак, равный нулю, и лишь после этого разбивать подкоренное число на грани.

Примеры:

16,03 есть приближенное значение о недостатком о точностью до 0,01.

16,04 будет приближенным значением с избытком с той же точностью.

Пользуясь правилами извлечения квадратного корня, можно установить, например, что

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

x2 = 16 не равно  x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

• x2 = 16 — это квадратное уравнение.
• x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x2 = 16 следует, что:

|x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

1. Пример решен неверно
2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения: 

1. x2 = 36
2. x = √36

Первое выражение — квадратное уравнение. 

|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.

Второе выражение — арифметический квадратный корень. 

√36 = 6
x = 6.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Определение квадратного корня

Арифметический квадратный корень из числа a – это такое число x , которое при возведении в квадрат (или другими словами во вторую степень) дает число a .

Квадратный корень (иногда также называют корнем второй степени) обозначается специальным знаком – √ . Например √ 4 , читается как “квадратный корень из четырех”.

Другой вид записи –. Но цифру 2 обычно опускают, подразумевая именно ее.

Подкоренное выражение для примера выше – это 4. Однако оно может быть представлено не только числом, но и и математическим выражением, содержащим как буквы, так и цифры. Например, .

Вычисление значения x называется извлечением квадратного корня из числа a (является обратным возведению в квадрат действием):

• √ 4 = 2
• √ 9 = 3
• √ 16 = 4
• √ 25 = 5

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа. При этом ответ ( x ), также, всегда будет больше нуля.

Примечание:

Для удобства можно выучить или всегда иметь под рукой таблицу квадратов чисел, хотя бы до 10-20.

Советы

• Перемещение десятичного разделителя при увеличении числа на 2 цифры (множитель 100), перемещает десятичный разделить на одну цифру в значении квадратного корня этого числа (множитель 10).
• В нашем примере, 1,73 может считаться остатком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Данный метод верен для любых чисел.
• Записывайте процесс вычисления в том виде, который вам наиболее удобен. Например, некоторые записывают результат над исходным числом.
• Альтернативный метод с использованием непрерывных дробей включает формулу: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, для вычисления квадратного корня из 780,14, целым числом, квадрат которого близок к 780,14 будет число 28, поэтому z=780,14, x=28, y=-3,86. Подставляя эти значения в уравнение и решая его в упрощении до х+у/(2x), уже в младших членах получаем результат 78207/2800 или около 27,931(1), а в следующих членах 4374188/156607 или около 27,930986(5). Решение каждого последующего члена добавляет около 3 цифр к дробной доли по сравнению с предыдущем членом.

Теорема о квадратном корне из двух

Теорема:

Среди целых и дробных чисел не существует такого числа, которое равнялось бы точно .

Эту теорему можно сформулировать и так: среди целых и дробных чисел нет такого числа, квадрат которого равнялся бы точно двум.

Доказательство:

Сначала докажем, что среди целых чисел не существует такого числа, квадрат которого равен 2. Квадрат единицы есть единица; квадрат двух — четыре; квадраты последующих целых чисел будут числами, еще большими, чем четыре. Поэтому нет такого целого числа, квадрат которого был бы равен 2:

Теперь докажем, что среди дробей также нет такой дроби, квадрат которой был бы равен 2.

Предположим противное тому, что требуется доказать, т. е. предположим, что существует дробное число , квадрат которого равен 2. Мы можем считать дробь несократимой, так как в виде несократимой дроби можно представить всякое дробное число.

Итак, допустим, что

где р и q — целые взаимно простые* числа. Но тогда из равенства (А) получим, что . Из последнего равенства следует, что р есть четное число. (Если бы р было нечетным, то было бы также нечетным, а потому равенство не могло иметь места.) Но всякое четное число можно представить в виде произведения, в котором один множитель равен двум, а другой — целому числу. Поэтому где —целое. Подставляя в равенство вместо р выражение получим , или Отсюда следует, что и q есть четное число.

Итак, оказалось, что числа р и q оба четные, что противоречит несократимости дроби .

Таким образом, предположение, что существует дробное число, квадрат которого равен 2, привело нас к противоречию. Следовательно, такой дроби не существует, что и требовалось доказать.

Замечание:

Аналогично можно доказать, что среди целых и дробных чисел не существует и таких, квадраты которых были бы равны, например 3; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 17;…

Ниже мы убедимся в существовании прямолинейных отрезков, отношение длин которых также не выражается ни целым, ни дробным числом, подобно тому как не выражается целым, или дробным числом, например, .

Как найти корень из числа – 1 способ

• Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
• Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.

• Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
• Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
• В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
• Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив√5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.