Стандартный вид числа

Преобразование выражений с целыми степенями

Ранее мы рассматривали понятие рационального выражения. Так называлось выражение, в котором используются 4 основные арифметические операции (в том числе деление), а также возведение в степень. Однако использование отрицательной степени помогает избавиться от операции деления как ненужной. Например, возможны такие преобразования:

Во всех случаях мы заменили деление на возведение в отрицательную степень.

Рассмотрим несколько примеров по преобразованию выражений со степенями.

Пример. Упростите выражение

Решение. Возведение в степень (– 1) означает, по сути, переворачивание дроби:

Ответ: ab

Пример. Упростите дробь

Решение. Вынесем в числителе множитель а– 3 за скобки

Пример. Представьте в виде дроби выражение

Решение.

В данном случае мы воспользовались :

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Пример. Упростите выражение

(h2 + ht + t2)(h– 2 + h– 1t– 1 + t– 2)– 1

Решение.

Вынесем из первой скобки множитель h2t2. При вынесении множителя каждое слагаемое делится на этот самый множитель:

C учетом этого получаем:

(h2 + ht + t2) = h2t2(t– 2 + h– 1t– 1 + h– 2) = h2t2(h– 2 + h– 1t– 1 + t– 2)

Зная это, можно записать

(h2 + ht + t2)(h– 2 + h– 1t– 1 + t– 2)– 1 = h2t2(h– 2 + h– 1t– 1 + t– 2)(h– 2 + h– 1t– 1 + t– 2)– 1

В двух скобках стоят одинаковые выражения, но одно из них в степени (– 1). Такие выражения можно сократить, ведь они являются обратными числами:

а•a– 1 = 1

Поэтому

h2t2(h– 2 + h– 1t– 1 + t– 2)(h– 2 + h– 1t– 1 + t– 2)– 1 = h2t2

Ответ: h2t2

Пример. Докажите тождество

Решение. Преобразуем левую часть:

Определение степени с целым показателем

В 7 классе мы уже изучили . Напомним, что запись anозначает произведение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен a:

Число а именуется основанием степени, а n – это показатель степени. Отдельно напомним, что число в первой степени равно самому себе:

а1 = а

Любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, дает единицу:

а = 1

Сам же ноль в нулевую степень возводить нельзя (так же, как и нельзя делить на ноль).

Математики стремятся по возможности расширить используемые ими понятия. Можно ли сделать показатель степени отрицательным числом? Для этого надо дать новое определение степени

При этом важно, чтобы все уже известные нам правила действий со степенями (их умножение и деление) оставались справедливыми

При делении степеней их показатели вычитаются, например:

815:813 = 815 – 13 = 82 = 64

Теперь попробуем произвести деление в том случае, когда показатель делимого меньше показателя делителя:

815:817 = 815 – 17 = 8– 2

Получили отрицательную степень, смысл которой нам пока не понятен. Выполним это же деление с помощью дробей, при этом учтем, что 817 = 815•82:

Итак, мы получили, что

То есть 8– 2 – это число, обратное 82. Подобные рассуждения помогают сформулировать определение степени с отрицательным показателем:

Напомним, что обратными называются числа, которые при умножении друг на друга дают единицу. Примерами обратных чисел являются:

• 5 и 1/5
• 2 и 1/2
• (– 15) и – 1/15

Вообще для каждой дроби обратной является «перевернутая дробь», поэтому следующие пары чисел являются обратными:

Теперь покажем, как вычислять отрицательную степень числа, пользуясь определением:

Вообще находить отрицательную степень дроби удобней с помощью формулы

Докажем ее справедливость:

Покажем применение этой формулы:

Заметим, что возвести ноль в отрицательную степень не получится. Действительно, если мы попробуем, например, вычислить 0– 2, то получим деление на ноль:

Вообще, при возведении нуля в любую отрицательную степень получается деление на ноль, а потому выражение 0n, где n–отрицательное число, не имеет смысла.

Отрицательные степени очень удобны при работе с некоторыми выражениями. В частности, любую дробь с их помощью можно записать в виде произведения:

Пример: Запишите в виде произведения дробь

Решение.

Ответ: а2b– 4

Отдельно заметим, формулу, определяющую отрицательную степень

можно и «перевернуть». В ней число 1 выступает в роли делимого, выражение аn – это делитель, а a– n – это частное. Известно, что делитель можно получить, поделив делимое на частное, то есть верна запись

Это значит, что справедливо не только равенство

но и

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

Одночлен — это частный случай многочлена.

Рассмотрим примеры многочленов:

15x + 7x 4ab — b + 3

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

• 10x – 3×2
• 10x — одночлен
• – 3×2 — одночлен

Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем – 3×2, а не просто 3×2.

Этот же многочлен можно записать вот так:

10x – 3×2 = 10x – 3 x = 10 x + (-3x).

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит. Многочлен вида 10x – 3×2 + 7 называется трехчленом

Многочлен вида 10x – 3×2 + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x – b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

Например, в многочлене 6a + 2b -x + 2 число 2 — свободный член.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

16 + 13 (7 — 2) * 9 (25 + 25) : 5

Такие выражения состоят из свободных членов.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

1. Приводим многочлен к стандартному виду.
2. Выбираем одночлен с наибольшей степенью.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

• 6x и x — подобные слагаемые
• 4xy2 и xy2 — подобные слагаемые

Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.

• Степень первого одночлена (7x) — 1.
• Степень второго одночлена (5xy2) — 2.
• Наибольшая из двух степеней — 2.

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен второй степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен второй степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Дан многочлен 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x

Приведем его к стандартному виду: 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x = 6×4 + 5×3 — 3×4 — 3×3

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

• 5×3 и -3×3 — подобные слагаемые.
• 6×4 и -3×4 — подобные слагаемые.
• 6×4 + 3×3 — 3×4 — 3×3 = 3×4 — 2×3
• 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x — многочлен четвертой степени.

Алгебра

39. Стандартный вид числа

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объём Земли — 1 083 000 000 000 км3, а малым — диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.

В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде а • 10n, где n — целое число. Например:

Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключённого между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:

Говорят, что мы записали числа 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

Стандартным видом числа а называют его запись в виде а • 10n, где 1 < а < 10 и n — целое число. Число n называется порядком числа а.

Например, порядок числа, выражающего объём Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен -10.

Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3, то это означает, что 1000 ≤ а < 10 000. Если порядок числа а равен -2, то 0,01 ≤ а < 0,1. Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.

Пример 1. Представим в стандартном виде число а = 4 350 000.

Решение: В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 106 раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 106 раз. Отсюда

а = 4,35 • 106.

Пример 2. Представим в стандартном виде число а = 0,000508.

Решение: В числе а переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число а в 104 раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в 104 раз. Отсюда

Упражнения

1. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:

2. Запишите в стандартном виде число:

3. Запишите в стандартном виде:

4. Представьте число в стандартном виде:

5. Масса Земли приближённо равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода 0,0000000000000000000017 г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.

6. Выразите:

7. Представьте:

8. Выполните умножение:

9. Какой путь пройдёт свет за 2,8 • 106 с (скорость света равна 3 • 105 км/с)?

10. (Для работы в парах.)

    а) Масса Земли 6,0 • 1024 кг, а масса Марса 6,4 • 1023 кг. Что больше: масса Земли или масса Марса — и во сколько раз? Результат округлите до десятых,
    б) Масса Юпитера 1,90 • 1027 кг, а масса Венеры 4,87 • 1024 кг. Что меньше: масса Юпитера или масса Венеры — и во сколько раз? Результат округлите до единиц.

    1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
    2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены вычисления.
    3) Исправьте допущенные ошибки.
    4) Расположите указанные планеты в порядке возрастания их масс.

11. Плотность железа 7,8 • 103 кг/м3. Найдите массу железной плиты, длина которой 1,2 м, ширина 6 • 10- 1 м и толщина 2,5 • 10- 1 м.

12. Найдите значение выражения .

13. При каком значении m сумма корней уравнения Зx2 — 18x + m = 0 равна произведению этих корней?

14. Найдите целые отрицательные значения х, которые являются решением неравенства — х < 11.

15. Замените а каким-либо натуральным числом так, чтобы система неравенств:

    не имела решений.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.

2. Сформулируйте свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями.

3. Как возвести степень в степень?

4. Как возвести произведение и частное в степень?

5. Какую запись числа называют его стандартным видом?

6. Покажите на примере, как представить число в стандартном виде.

Действия с числами в стандартном виде

Стандартный вид чисел удобен тогда, когда есть необходимость сравнивать физические величины, а также перемножать их и делить. Рассмотрим правила сравнения умножения и деления чисел в стандартном виде.

Из двух чисел больше то, у которого больше порядок стандартного вида числа. Так, масса Солнца больше масса Земли, так как у нее порядок равен 30, а у нашей планеты – только 24. Если же порядки одинаковы, то больше то число, у которого больше значащая часть.

Пример. Радиус ядра Солнца оценивается в 1,73•108 м, а радиус Юпитера составляет 6,99•107 м. Какая из этих величин больше?

Решение. Порядок у радиуса ядра Солнца равен 8, а у Юпитера только 7, поэтому радиус ядра Солнца больше радиуса Юпитера.

Пример. Масса протона составляет 1,673•10– 27 кг, а масса нейтрона равна 1,675•10– 27 кг. Какая из этих двух частиц тяжелее?

Решение. У обоих величин одинаковый порядок, равный (– 27). Однако значащая часть у массы нейтрона больше:

1,675 > 1,673

Следовательно, нейтрон тяжелее.

Ответ: Нейтрон тяжелее.

Посмотрим, как перемножать числа, находящиеся в стандартном виде. Переставляя множители местами, можно получить:

(a•10n)•(b•10m) = a•b•10n•10m = (ab)•10n+m

В итоге можно сформулировать правило:

Пример. Земля двигается по своей орбите со средней скоростью 3•104 м/с. Какое расстояние она проходит в течение одного невисокосного календарного года (в каждом таком году 31536000 секунд)?

Решение. Переведем количество секунд в году в стандартный вид

31536000 = 3,1536 •107

Расстояние (обозначим его как S) равно произведению средней скорости на время:

S = 3•104 м/с • 3,1536•107c = 3•3,1536•104 + 7 = 9,4608•1011м.

Ответ: 9,4608•1011м.

Пример. Представьте в стандартном виде произведение чисел 9,5•108 и 1,38•10– 2.

Решение.

(9,5•108)•(1,38•10– 2) = (9,5•1,38)•108 + (– 2) = 13,11•106

Получили число НЕ в стандартном виде, так как 13,11 > 10. Поэтому следует произвести замену 13,11 = 1,311•10:

13,11•106 = 1,311•10•106 = 1,311•107

Ответ: 1,311•107

Теперь попытаемся поделить два числа, находящихся в стандартном виде:

Видно, что справедливо следующее правило:

Пример. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли?

Решение. Выше мы приводили данные, что масса Солнца оценивается в 1,9885•1030 кг, а масса нашей планеты составляет 5,97•1024 кг. Поделим массу звезды на массу планеты:

(1,9885•1030):(5,97•1024) = (1,9885:5,97)•1030 – 24≈0,333•106 = 333000

Получили, что Солнце примерно в 333 тысячи раз тяжелее Земли.

Ответ: В 333000 раз.

Стандартный вид

Термин может означать много разных вещей, в зависимости от того, с какой областью математики мы имеем дело. В нашем случае это еще одно название научной записи числа.

Она действительно проста. Выглядит следующем образом:

В этих обозначениях:

a — это число, которое называется коэффициентом.

Коэффициент должен быть больше или равен 1, но меньше 10.

«x» — знак умножения;

10 является основой;

n — показатель, степень десятки.

Таким образом, полученное выражение читается как «a на десять в n-й степени».

Возьмем конкретный пример для полного понимания:

2 x 10 3

Умножив число 2 на 10 в третьей степени, получаем в результате 2000. То есть имеем пару равносильных вариантов записи одного и того же выражения.

Свойства степени с целым показателем

Правила действий со степенями, имеющими целый показатель, не отличаются от тех, которые мы . Напомним их.

Убедимся в этом на нескольких примерах:

Однако эти примеры ещё не являются полноценными доказательствами этого свойства степеней. Приведем общее доказательство для того случая, когда число в натуральной степени умножается на число в отрицательной степени:

Также докажем справедливость этого правила и в том случае, когда перемножаются два числа в отрицательной степени:

Проиллюстрируем это:

Для строгого доказательства заменим операцию деления на умножение. Так как

Здесь мы сначала заменяем степень an на дробь 1/а– n (по определению отрицательной степени), а потом пользуемся тем, что равносильно умножению на «перевернутую дробь».

Продемонстрируем применение этого правила:

Следующие правила позволяют работать со степенями, у которых различаются основания, но совпадают показатели:

Покажем, как это работает:

Для общего случая доказательство будет выглядеть так:

Это правило можно проиллюстрировать так:

Приведем доказательство этого свойства для отрицательных степеней с целым показателем:

Как видим, свойства степеней с целыми показателями (в частности, с отрицательными), не отличаются от уже изученных нами свойств степеней с натуральными показателями. Единственное исключение – добавляется дополнительное ограничение, согласно которому основанием степени с отрицательным целым показателем не может быть ноль. То есть запись 0– 3 не имеет смысла, хотя выражение 03 имеет смысл:

03 = 0•0•0 = 0

Алгоритм преобразования

Возьмем некоторое число.

300000000000000000000000000000

В подсчетах использовать такое число неудобно. Попробуем привести его к стандартному виду.

1. Подсчитаем количество нулей, лежащих по правую сторону от тройки. Получим двадцать девять.
2. Отбросим их, оставив лишь однозначное число. Оно равно трем.
3. Допишем к результату знак умножения и десять в степени, найденной в пункте 1.

Вот так просто можно получить ответ.

Если бы перед первой ненулевой цифрой были бы еще другие, то алгоритм слегка бы изменился. Пришлось бы выполнять те же действия однако, величина показателя вычислялась бы по нулям слева и имела бы отрицательно значение.

0.0003 = 3 x 10 -4

Преобразование числа облегчает и ускоряет математические подсчеты, делает запись решения более компактной и наглядной.

Любая десятичная дробь может быть записана в виде a
,bc
… · 10 k
. Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись — это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.

Для начала — небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок « »). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:

Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

1. Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);
2. Умножаем: 2581 · 1 = 2581;
3. Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.

Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

1. Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);
2. Умножаем: 5 · 1 = 5;
3. Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.

Последнее выражение: 8,0034 · 100.

1. Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);
2. Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;
3. Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.

Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

1. 25,81 · 10 1 = 258,1;
2. 0,00005 · 10 3 = 0,05;
3. 8,0034 · 10 2 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k
(где k
> 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k
разрядов. Именно вправо — ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение на 10 −k
(где k
> 0) равносильно делению на 10 k
, т.е. сдвигу на k
разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:

1. 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
2. 25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
3. 1,447: 100 = 1,447: 10 2 = 1,447 · 10 −2 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10 1 = 1,3725 · 10 2 = 0,13725 · 10 3 = …

1. 8,25 · 10 4 = 82 500;
2. 3,6 · 10 −2 = 0,036;
3. 1,075 · 10 6 = 1 075 000;
4. 9,8 · 10 −6 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.

Стандартный вид числа

В физике и других естественных науках изучаются объекты, чьи характеристики (масса, длина, скорость и т.д.) могут измеряться очень большими или очень малыми величинами. Например, масса атома железа равна 0,0000000000000000000000000927 килограмм, а масса Солнца оценивается в 1988500000000000000000000000000 килограмм. Работать с такими числами достаточно неудобно. Сложно даже сравнивать их между собой, ведь для этого надо подсчитывать количество нулей в каждом числе. Поэтому в науке часто используется особая форма чисел, которую называют стандартным видом числа. Он основан на том, что любое число можно записать как произведение числа a, находящегося в пределах от 1 до 10, и какой-нибудь целой (в том числе отрицательной) степени десятки.

Приведем примеры представления чисел в стандартном виде

90 = 9•10 = 9•101

91 = 9,1•10 = 9,1•101

900 = 9•100 = 9•102

912 = 9,12•100 = 9,12•102

Покажем случаи, когда порядок равен нулю или меньше него

7 = 7•1 = 7•10

7,63 = 7,63•1 = 7,63•10

0,8 = 8•0,1 = 8•10– 1

0,0875 = 8,75•100 = 8,75•10– 2

Посмотрите, насколько короче выглядит запись физических величин с использованием стандартного вида:

• масса Солнца: 1988500000000000000000000000000 кг = 1,9885•1030 кг;
• масса Земли: 5970000000000000000000000 кг = 5,97•1024 кг;
• масса атома железа: 0,0000000000000000000000000927 = 9,27•10-26 кг.

Пример. Укажите стандартный вид числа 76000000.

Решение. Первой ненулевой цифрой в записи является семерка, поэтому стандартный вид будет выглядеть так:

7,6•10n

где n– какое-то целое число, которое нам надо найти. Поставим в исходном числе запятую после семерки:

7,6000000

Видно, что мы отделили запятой 7 разрядов, то есть перенесли запятую на 7 разрядов вправо. Поэтому n равно 7:

76000000 = 7,6•107

Действительно, умножение дробного числа на 10 приводит к смещению запятой на одну позицию влево, поэтому при умножении 7,6 на 107 получим 76000000. Наши действия можно проиллюстрировать рисунком:

В случае с числами, меньшими единицы, также надо смотреть на количество разрядов между запятой и первой ненулевой цифрой. Пусть надо представить в стандартном виде десятичную дробь 0,000005605. Значащей частью числа будет 5,605. Для того чтобы получить ее, надо в исходной дроби перенести запятую на 6 разрядов вправо. Поэтому порядок будет равен (– 6):

Теперь попробуем выполнить обратное преобразование – по стандартному виду числа записать его в привычной нам десятичной форме. Пусть есть запись 2,56•105. Для начала искусственно припишем несколько ноликов к значащей части:

2,56 = 2,5600000

Теоретически мы можем дописать любое количество нулей, величина дроби от этого не изменится. Порядок числа равен 5, а потому запятую надо перенести на 5 знаков вправо:

2,5600000•105 = 256000,00

Теперь лишние нули после запятой и саму запятую можно и убрать:

256000,00 = 256000

Обратите внимание, что порядок числа был равен 5, а в итоге мы получили шестизначное число. Можно сформулировать правило: у числа, имеющего в стандартной виде порядок n, в десятичной представлении перед запятой будет стоять (n + 1)знак

Например:

1,23456789•106 = 1234567,89

Здесь порядок числа равен 6, а потому перед запятой стоит 7 знаков.

Напомним, что если число целое и, соответственно, в его записи нет запятой, то ее можно искусственно добавить:

568 = 568,0

Теперь рассмотрим похожий пример с отрицательным порядком числа. Пусть надо записать в десятичном виде число 9,8765•10– 4. Для этого сначала можно условно «подрисовать» нолики перед значащей частью:

0000009,8765

Порядок равен (– 4), а потому надо передвинуть запятую на 4 знака влево

0000009,8765 =000,00098765

Получается, что мы подрисовали слишком много ноликов. Уберем два из нихи получим число в обычной форме:

0,00098765

Вообще, если у числа отрицательный порядок (– n), то первая ненулевая цифра должна оказаться на n-ой позиции после запятой:

Запись больших и маленьких чисел

В точных науках время от времени встречаются очень большие или, наоборот, маленькие значения величин. Чтобы было комфортнее работать с ними, и тем более, одновременно использовать вместе в одних и тех же расчетах, был придуман некий общий принцип записи чисел, так называемый стандартный вид.

Чтобы в полной мере усвоить представленный ниже материал, необходимо знать, что такое степень. К примеру, продемонстрируем ее разные варианты на числе 10:

• 10-3 = 0,001
• 10-2 = 0,01
• 10-1 = 0,1
• 10 = 1
• 101 = 10
• 102 = 100
• 103 = 1000

Также напомним, для того, чтобы какое-то число умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., мы просто приписываем к нему количество нулей, которое содержится в 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Например,

• 3 · 10 = 30
• 43 · 100 = 4300
• 17 · 1000 = 17000

То же самое касается и деления на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., только здесь мы убираем нули:

• 650 : 10 = 65
• 1400 : 100 = 14
• 78000 : 1000 = 78

Перечисленные выше действия можно представить в другом виде – как произведение на 10 в определенной степени:

• положительной, если выполняется умножение на 10, 100, 100 и т.д.;
• отрицательной, если производится деление.

Например:

• 3 · 10 = 3 · 101 = 30
• 17 · 1000 = 17 · 103 = 17000
• 1400 : 100 = 1400 · 10-2 = 14

Десятичные дроби

Если мы имеем дело с десятичным дробями, то в целом всё аналогично. При их умножении на 10, 100, 1000 и т.д. мы смещаем запятую-разделитель вправо на столько позиций, сколько нулей содержится в 10, 100, 1000 и т.д.

• 6,2 · 10 = 6,2 · 101 = 62
• 2,31 · 100 = 2,31 · 102 = 231
• 0,147 · 1000 = 0,147 · 103 = 147
• 3,106 · 10000 = 3,106 · 104 = 31060

Если нужно разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., то мы смещаем запятую влево на соответствующее нулям количество позиций:

• 34 : 10 = 34 · 10-1 = 3,4
• 19 : 100 = 19 · 10-2 = 0,19
• 27 : 1000 = 27 · 10-3 = 0,027