Определение положения центров тяжести звеньев тела человека

Библиотека элементарных фигур.

Для симметричных  плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.

Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.

Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.

Простая задачка

Пусть имеются 2 шара. Они расположены так, что соприкасаются друг с другом. Сделаны тела из одного материала, но при этом радиусы у них отличаются вдвое. Значение первого равняется r = 20 см, а второго 40, то есть 2r. Найти, где находится точка равновесия такого объекта. Такого рода задачи обычно любят демонстрировать на презентациях, касающихся темы. Задача простая, но между тем помогает понять принцип нахождения центра равновесия.

Итак, при решении нужно будет воспользоваться формулой: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Так как по условию радиусы шаров отличаются вдвое, их массы будут отличаться в 8 раз. Объём всегда пропорционален кубу линейных размеров.

Массу первого шара можно обозначить как m, а второго — 8m. Начало координат для удобства лучше поместить в центр меньшей фигуры. В результате середина большого шара будет иметь координату 3r. Значит, искомая координата равняется: x = ((m* 0 + 8m * 3r)) / (m + 8m) = (8 * 3r) / 9 = 8r/3.

Рычаг

В каждом дворе есть качели, для которых нужны два качающихся (если в вашем дворе таких нет, посмотрите в соседнем). Большая доска ставится посередине на точку опоры. По сути своей, качели — это рычаг.

Рычаг — простейший механизм, представляющий собой балку, вращающуюся вокруг точки опоры.

Хорошо, теперь давайте найдем плечо этой конструкции. Возьмем правую часть качелей. На качели действует сила тяжести правого качающегося, проведем перпендикуляр от линии действия силы до точки опоры. Получилась, что плечо совпадает с рычагом, разве что рычаг — это вся конструкция, а плечо — половина.

Давайте попробуем опустить качели справа, тогда что получим: рычаг остался тем же самым по длине, но вот сместился на некоторый угол, а вот плечо осталось на том же месте. Если направление действия силы не меняется, как и точка опоры, то перпендикуляр между ними невозможно изменить.

Центр масс нескольких точечных масс на стержне

Чтобы продолжить предыдущий раздел, теперь мы разместим 3-х точечные гири на стержне.

Рис.3: Стержень с тремя точечными массами

Чтобы определить центр масс, мы разделили эту конструкцию на 2 части стержня. Для этого мы разрезаем стержень на месте и делим массу пополам на одну часть стержня, а другую половину — на другую часть стержня. Сначала мы вычисляем центры тяжести частичных стержней следующим образом, как известно из предыдущего раздела:
Икс2{\ displaystyle x_ {2}}м2{\ displaystyle m_ {2}}

Иксs1знак равно,5⋅м2м1+,5⋅м2⋅(Икс2-Икс1)+Икс1{\ displaystyle x_ {s1} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2}} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1}) + x_ {1}}

Иксs2знак равном3,5⋅м2+м3⋅(Икс3-Икс2)+Икс2{\ displaystyle x_ {s2} = {\ frac {m_ {3}} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot (x_ {3} -x_ {2}) + x_ {2}}

С учетом общей массы частичных стержней и центра масс частичные стержни теперь можно суммировать как новую точечную массу:

мИксs1знак равном1+,5⋅м2{\ Displaystyle m_ {xs1} = m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}

мИксs2знак равно,5⋅м2+м3{\ displaystyle m_ {xs2} = 0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}

С этими новыми значениями теперь вычисляется другой центр масс, который в конечном итоге является центром масс трех точечных масс:

Иксsзнак равномИксs2мИксs1+мИксs2⋅(Иксs2-Иксs1)+Иксs1{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {m_ {xs2}} {m_ {xs1} + m_ {xs2}}} \ cdot (x_ {s2} -x_ {s1}) + x_ {s1}}

При использовании это выглядит так:

Иксsзнак равно,5⋅м2+м3м1+м2+м3⋅(м3⋅(Икс3-Икс2),5⋅м2+м3+Икс2-,5⋅м2⋅(Икс2-Икс1)м1+,5⋅м2-Икс1)+,5⋅м2⋅(Икс2-Икс1)м1+,5⋅м2+Икс1{\ displaystyle {x_ {s} = {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}} {m_ {1} + m_ {2} + m_ {3}}} \ cdot \ left ({\ frac {m_ {3} \ cdot (x_ {3} -x_ {2})} {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} + m_ {3}}} + x_ {2} — { \ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ {2}}} — x_ { 1} \ right) + {\ frac {0 {,} 5 \ cdot m_ {2} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})} {m_ {1} +0 {,} 5 \ cdot m_ { 2}}} + x_ {1}}}

Если немного переформулировать это уравнение, получится следующий результат:

Иксsзнак равноИкс1⋅м1+Икс2⋅м2+Икс3⋅м3м1+м2+м3{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {x_ {1} \ cdot m_ {1} + x_ {2} \ cdot m_ {2} + x_ {3} \ cdot m_ {3}} {m_ {1}) + м_ {2} + м_ {3}}}}

Если сравнить этот результат с результатом из предыдущего раздела, можно увидеть закономерность. Если теперь распределить n много точечных масс на стержне, центр масс можно определить следующим образом:

Иксsзнак равно1М.⋅∑язнак равно1пИкся⋅мя{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} \ cdot m_ {i}}}

Это общая масса, т.е. сумма всех точечных масс:
М.{\ displaystyle M}

М.знак равно∑язнак равно1пмя{\ Displaystyle М = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} {м_ {я}}}

Момент силы

При решении задач на различные силы нам обычно хватало просто сил. Сила действует всегда линейно (ну в худшем случае под углом), поэтому очень удобно пользоваться законами Ньютона, приравнивать разные силы. Это работало с материальными точками, но не будет так просто применяться к телам, у которых есть форма и размер.

Вот мы приложили силу к краю палки, но при этом не можем сказать, что на другом ее конце будут то же самое ускорение и та же самая сила. Для этого мы вводим такое понятие, как момент силы.

Момент силы — это векторное произведение силы на плечо. Для определения физического смысла можно сказать, что момент — это вращательное действие.

Момент силы M = Fl M — момент силы F — сила l — плечо

Вернемся к примеру с дверями. Вот мы приложили силу к краю двери — туда, где самый длинный рычаг. Получаем некоторое значение момента силы.

Теперь ту же силу приложим ближе к креплению двери, там, где плечо намного короче. По формуле получим момент меньшей величины.

На себе мы это ощущаем таким образом: нам легче толкать дверь там, где момент больше. То есть, чем больше момент, тем легче идет вращение.

То же самое можно сказать про гаечный ключ. Чтобы закрутить гайку, нужно взяться за ручку дальше гайки.

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения плеча.

Расчет момента силы

Сейчас рассмотрим несколько вариантов того, как момент может рассчитываться. По идее просто нужно умножить силу на плечо, но поскольку мы имеем дело с векторами, все не так просто.

Если сила расположена перпендикулярно оси стержня, мы просто умножаем модуль силы на плечо.

Расстояние между точками A и B — 3 метра.

Момент силы относительно точки A:

           МА=F×AB=F×3м

Если сила расположена под углом к оси стержня, умножаем проекцию силы на плечо.

Обратите внимание, что такие задания могут встретиться только у учеников не раньше 9 класса!

Момент силы относительно точки B:

           MB=F×cos30×AB=F×cos30×3м

Если известно расстояние от точки до линии действия силы, момент рассчитывается как произведение силы на это расстояние (плечо).

Момент силы относительно точки B:

           MB=F×3м

Как определить центр тяжести?

Если на точки  М1(x1,y1,z1)  и   М2(x2,y2,z2) действуют параллельные силы то точка М приложения  равнодействующей этих сил делит отрезок М1М2 обратно пропорционально этим силам

Поэтому координаты точки М будут 

\(x=\cfrac{P_1x_1+P_2x_2}{P_1+P_2}\)

\(y=\cfrac{P_1y_1+P_2y_2}{P_1+P_2}\)

\(z=\cfrac{P_1z_1+P_2z_2}{P_1+P_2}\)

если речь идет о воздействии трех действующих сил то формулы аналогичные и высчитываются как арифметическое средневзвешенное

\(x=\cfrac{P_1x_1+P_2x_2+P_3x_3}{P_1+P_2+P_3}\)

\(y=\cfrac{P_1y_1+P_2y_2+P_3y_3}{P_1+P_2+P_3}\)

\(z=\cfrac{P_1z_1+P_2z_2+P_3z_3}{P_1+P_2+P_3}\)

таким же способом рассчитываются если в точках приложения сил не три, а четыре или пять или десять например.

Если принять что силой действующий на точки будет сила тяжести, а масса точек будет одинакова, то после сокращений одинаковых значений, наша формула для трех точек будет следующей

\(x=\cfrac{1}{n}\sum_{1}^n{x_i}\)

\(y=\cfrac{1}{n}\sum_{1}^n{y_i}\)

\(z=\cfrac{1}{n}\sum_{1}^n{z_i}\)

Здесь положение центра тяжести зависит только от положения точек. Точка () называется геометрическим центром тяжести этих точек

Если фигура симметрична — то центр тяжести совпадает с геометрическим центром фигуры.  Это касается таких например фигур как квадрат,  круг, правильный многоугольник, равносторонний треугольник и другие подобные объекты.

И еще, немного теории, которая поможет рассчитать центр тяжести сложных фигур.

Положение центра тяжести системы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заменить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве  массы сумму масс точек этой группы.

Рассчитаем центр тяжести треугольной пластины, произвольной формы, одинаковой толщины.

Из какого материала мы будем делать, из стали, бумаги или пластика не столь важно. Центр тяжести треугольника является одной из семи замечательных точек, и  определяется как точка пересечения медиан сторон этого треугольника

Центр тяжести треугольника является одной из семи замечательных точек, и  определяется как точка пересечения медиан сторон этого треугольника.

Если же нам известны только координаты  треугольника, например, мы его вырезали из тетрадки в клеточку, то координаты точки тяжести, будут определяться так

\(x=\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\)

\(y=\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\)

Не пытайтесь аппроксимировать эту формулу и подумать что центр трапеции будет вычисляться аналогично например по таким формулам

\(x=\cfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\)

\(y=\cfrac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}\)

Это неверно,  вернее неверно в случае когда масса распределена в плоскости между этими точками ( например пластины). 

Если же речь идет о точечных массах расположенных в этих координатах, то формула центра масс, будет правильной.

Как же тогда рассчитывать центр тяжести трапеции?

Умные люди нашли формулу  расчета точки, но в ней исходные данные представлены в виде длин сторон трапеции.

Вот эта формула.

 ==========

Она не удобна, когда нам известны только координаты трапеции. Но мы воспользуемся способом разбиения трапеции два треугольника, где для каждого из них  находим центр тяжести, а потом рассчитывая уже для двух точек(центров), находим окончательное решение.

Для каждого треугольника  центр будет рассчитывается  по известной формуле

\(x=\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\)

\(y=\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\)

Но вот, когда мы будем рассчитывать окончательную точку, надо учитывать что мы, «стягивая» в центр тяжести каждый треугольник, стягиваем и всю массу поверхности которая лежала между этими координатами. 

Так как между площадью фигуры ( при одинаковой толщине)  и массой  связь линейная, то легко предположить что окончательный  расчет будет не таким

\(x_0=\cfrac{x_a+x_b}{2}\)

\(y_0=\cfrac{y_a+y_b}{2}\)

а  с учетом линейности между массой и площадью( а значит можно не высчитывать массу каждой новой точки, а учитывать лишь площадь каждого из двух треугольников)  формула  для трапеции будет такой

\(x_0=\cfrac{S_ax_a+S_bx_b}{S_a+S_b}=\cfrac{S_ax_a+S_bx_b}{S}\)

\(y_0=\cfrac{S_ay_a+S_by_b}{S_a+S_b}=\cfrac{S_ay_a+S_by_b}{S}\)

Причем эта формула будет работоспособна при любом произвольном многоугольнике,  единственное условие  что бы площади каждого из треугольника  не пересекались друг с другом.

Итак, у нас есть фигура с координатами 0:0 5:5 10:5 15:0

Несложно представить эту фигуру и определить что это равносторонняя трапеция.

• Расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам >>

Сила: что это за величина

В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или тормозит, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.

Сила — это физическая векторная величина, которая воздействует на данное тело со стороны других тел.

Она измеряется в Ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.

Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат.

Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.

Общие сведения

Пусть имеется физическое тело, на которое не оказывается влияние, то есть другие объекты не действуют или их силы воздействия скомпенсированы. Рассматриваемое тело будет находиться в состоянии прямолинейного движения или покоя. Для удобства можно принять, что объект неподвижен, например, пусть это будет лодка на поверхности воды.

Если к плавательному средству приложить силу, смещённую к началу лодки F1, судно начнёт поворачиваться в сторону направления воздействия. Если ее переместить в горизонтальной плоскости в другой конец судна, лодка начнёт также поворачиваться, но направление вращения изменится. Отсюда можно сделать вывод, что существует такая точка приложения силы, точнее, линия, при воздействии на которую лодка не изменит своего положения, то есть плавательное средство начнёт двигаться ускоренно поступательно. Допустим, это будет сила F3.

При этом точку воздействия можно перемещать по линии её направления, так как, согласно правилу, величина действия при этом не изменяется. В итоге получится точка, где пересекутся приложенные силы F3 и F4. Таких моментов можно приложить сколько угодно, при этом они все соединятся в одном месте. Точку пересечения линий действия сил, которые вызывают ускоренное поступательное движение тела, называют центром масс.

На лодку действует ещё одна сила — притяжения. На самом деле она воздействует на каждую частичку объекта, поэтому на тело одновременно оказывает влияние огромное количество моментов. Это множество и принято заменять их равнодействующей — то есть силой, приложенной к центру тяжести. В физике параметр обозначают как mg. Другими словами, это точка приложения равнодействующих сил тяжести.

Существует взаимосвязь между массой и тяжестью. Если тело разбить на кусочки и бросить их, скорость падения будет для всех тел одинаковой, так как ускорение не зависит от массы. При этом падающий объект движется поступательно.

Математическое определение

Центр масс — это средневзвешенное значение векторов положения всех массовых точек тела:
р→s{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s}} р→{\ displaystyle {\ vec {r}}}dм{\ Displaystyle \ mathrm {d} м}

р→sзнак равно1М.∫Kр→dмзнак равно1М.∫Kр→ρ(р→)dV{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ mathrm {d} m} = { \ frac {1} {M}} \ int _ {K} {{\ vec {r}} \, \ rho ({\ vec {r}}) \, \ mathrm {d} V}}

Это плотность на месте и в элементе объема . Знаменатель этих терминов — полная масса.
ρ(р→){\ displaystyle \ rho ({\ vec {r}})}р→{\ displaystyle {\ vec {r}}}dV{\ displaystyle dV}М.{\ displaystyle M}

В случае однородного тела плотность может быть принята как множитель перед интегралом, тогда центр масс совпадает с центром объема (геометрическим центром тяжести). Во многих случаях можно упростить расчет; например, если центральная точка объема лежит на оси симметрии тела, например, в случае сферы в центре.
ρ{\ displaystyle \ rho}

В дискретных системах можно заменить суммой по векторам положения всех массовых точек:
р→я{\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {я}}

р→sзнак равно1М.∑ямяр→я{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {s} = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {i} m_ {i} \, {\ vec {r}} _ {i}}

где сумма всех индивидуальных масс равна:
М.{\ displaystyle M}мя{\ displaystyle m_ {i}}

М.знак равно∑ямя{\ Displaystyle М = \ сумма _ {я} м_ {я}}

Пример задания

Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.

Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.

Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.

Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.

Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.

Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.

В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ — поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R2 /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.

Центр масс с непрерывным распределением массы вдоль стержня

Здесь мы используем формулу из предыдущего раздела и формируем предельное значение. Это дает интегральное представление.

Центр массы:

Иксsзнак равно1М.⋅∫Икс1Икс2Икс⋅dмзнак равно1М.⋅∫Икс1Икс2Икс⋅λ(Икс)dИкс{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {x \ cdot \ mathrm {d} m} = {\ гидроразрыв {1} {M}} \ cdot \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {x \ cdot \ lambda (x) \ mathrm {d} x}}

Функция плотности:

dмdИксзнак равноλ(Икс){\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} x}} = \ lambda (x)}

Общая масса:

М.знак равно∫Икс1Икс2λ(Икс)dИкс{\ displaystyle M = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ lambda (x) \ mathrm {d} x}}

Пример расчета

Учитывая длину стержня . Плотность увеличивается пропорционально длине стержня. Теперь вычислите центр масс стержня!
лзнак равно1м{\ Displaystyle L = 1 \; \ mathrm {m}}

Функция плотности:

dмdИксзнак равноλ(Икс)знак равноcИкс{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} x}} = \ lambda (x) = c \; x}

Коэффициент пропорциональности здесь выбран произвольно как .
cзнак равно1kграммм2{\ displaystyle c = 1 {\ frac {\ mathrm {kg}} {\ mathrm {m ^ {2}}}}}

Общая масса:

М.знак равно∫лcИксdИксзнак равноc2⋅Икс2лзнак равно,5kграмм{\ displaystyle M = \ int _ {0} ^ {l} cx \; \ mathrm {d} x = {\ frac {c} {2}} \ cdot \ left _ { 0} ^ {l} = 0 {,} 5 \; \ mathrm {кг}}

Центр массы:

Иксsзнак равно1М.⋅∫лИкс⋅cИксdИксзнак равно1М.⋅13Икс3л≈0,667м{\ displaystyle x_ {s} = {\ frac {1} {M}} \ cdot \ int _ {0} ^ {l} {x \ cdot cx \; \ mathrm {d} x} = {\ frac {1 } {M}} \ cdot \ left _ {0} ^ {l} \ приблизительно 0 {,} 667 \; \ mathrm {m} }

Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.

Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках.  Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.

Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a1=80 мм, b1=40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a2=24 мм и высотой h2=42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x03=50 мм и y03=40 мм, радиусом r3=26 мм).

В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excelили программу OOo Calc. Любая из них легко справится с нашей задачей!

В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительныерасчеты.

В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты.

Синийшрифт – этоисходные данные.

Черныйшрифт – это промежуточные результаты расчетов.

Красныйшрифт – это окончательные результаты расчетов.

Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.

Исходные данные:

1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно

в ячейку D3: Прямоугольник

в ячейку E3: Треугольник

в ячейку F3: Полукруг

2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем

в ячейку D4: =80/2=40,000

xc1=a1/2

в ячейку D5: =40/2=20,000

yc1= b1/2

в ячейку E4: =24/2=12,000

xc2=a2/2

в ячейку E5: =40+42/3=54,000

yc2= b1+h2/3

в ячейку F4: =50=50,000

xc3=x03

в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965

yc3= y03-4*r3/3/π

3. Рассчитаем площади элементов F1, F2, F3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела  «Библиотека элементарных фигур»

в ячейке D6: =40*80=3200

F1=a1*b1

в ячейке E6: =24*42/2=504

F2=a2*h2/2

в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062

F3= -π/2*r3^2

Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!

Расчет координат центра тяжести:

4. Определим общую площадь итоговой фигуры F в мм2

в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642

F=F1+F2+F3

5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y

в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459

Sx=yc1*F1+ yc2*F2+ yc3*F3

в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955

Sy=xc1*F1+ xc2*F2+ xc3*F3

6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y

в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640

Xc=SyF

в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883

Yc=Sx/F0

Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ (ЦТ) ЗВЕНЬЕВ ТЕЛА ЧЕЛОВЕКА

Определение положения ЦТ звеньев тела человека необходимо для оценки моментов сил тяжести, действующих относительно суставов тела. Другими словами, для определения направленности силового упражнения (на какие группы мышц направленно данное силовое упражнение) необходимо знать, где расположены ЦТ звеньев тела человека.

Способ определения ЦТ звеньев тела человека по В. Брауне и О. Фишеру

Существует несколько способов определения положения ЦТ звеньев тела человека. Опишем один из них.

Центр тяжести твердого тела – это точка, относительно которой сумма моментов силы тяжести, действующих по часовой стрелке равна сумме моментов силы тяжести, действующих против часовой стрелки. На основе этого определения экспериментальным путем были найдены положения ЦТ звеньев тела человека. W. Braune, O. Fisher, (1889) расчленяли замороженные трупы на отдельные звенья. После этого они уравновешивали звенья тела человека на острие призмы. И таким образом определяли особую точку равновесия, которая и являлась ЦТ звена. В таблице 1. представлено положение ЦТ звеньев тела по В.Брауне и О.Фишеру (1889).

Таблица 1. Расположение ЦТ звеньев тела человека по В.Брауне и О.Фишеру (1889)

Звено	Измерение длины звена или положение ЦТ звена	Положение ЦТ звена	Относительное расстояние ЦТ звена от проксимального конца звена
Голова		ЦТ расположен над верхним краем наружного слухового отверстия
Туловище	от центра плечевого сустава до центра тазобедренного сустава		0,44
Плечо	от центра плечевого сустава до центра локтевого сустава		0,47
Предплечье	от центра локтевого сустава до центра лучезапястного сустава		0,42
Кисть (с полусогнутыми пальцами		ЦТ расположен в области пястно-фалангового сустава третьего пальца
Бедро	от центра тазобедренного сустава до центра коленного сустава		0,44
Голень	от центра коленного сустава до центра голеностопного сустава		0,42
Стопа (пальца	от пяточного бугра до конца большого пальца		0,44

Пример определения положения ЦТ тела человека

Чтобы понять, как использовать коэффициенты, полученные В.Брауне и О.Фишером для определения положения ЦТ звена, рассмотрим следующий пример.

Найти положение ЦТ тяжести звеньев тела человека по его фотографии на основе данных В.Брауне и О.Фишера, рис. 1, табл.2.

Чтобы найти положение ЦТ звеньев тела человека нужно:

1. Измерить длину звена (расстояние от центра одного сустава до другого). Занести полученное значение (L) в столбец 2 (табл. 2);
2. Умножить значение столбца 2 на коэффициент К (столбец 3 табл. 2);
3. Полученное значение отложить на оси звена от проксимального сустава.

Рис. 1. Расположение точек, соответствующих ЦТ головы и кисти, а также центрам суставов (лучезапястного, локтевого, плечевого, тазобедренного, коленного и маркеров для определения ЦТ стопы

Таблица 2. Пример определения ЦТ тела человека, изображенного на рис.1

Звено	L, мм	К	R=LK, мм
1	2	3	4
Голова	—	—	ЦТ расположен над верхним краем наружного слухового отверстия
Туловище	40	0,44	17,6
Плечо	20	0,47	9,4
Предплечье	13	0,42	5,46
Кисть	—	—	—
Бедро	30	0,44	13,2
Голень	30	0,42	12,6
Стопа	25	0,44	11

Обозначения: L – длина звена; k – коэффициент; R – расстояние от проксимального сустава до ЦТ звена

Следует заметить, что положение ЦТ туловища определяется по-разному в зависимости от того, выпрямлено оно или находится в согнутом состоянии.

При прямом положении туловища (рис.1), для определения положения его ЦТ нужно соединить прямой линией плечевой и тазобедренный суставы. После этого отложить на прямой линии, соединяющей плечевой и тазобедренный суставы значение R для туловища (табл. 2). Проксимальным считать плечевой сустав.

Если тело человека сильно изогнуто, например, при использовании «моста» при жиме штанги лежа, то после нахождения положения ЦТ на прямой, соединяющей плечевой и тазобедренный суставы, необходимо через середину туловища провести дугу, которая будет соответствовать изгибу тела. Из точки на прямой восстановить перпендикуляр, пересекающий дугу. Место пересечения дуги и перпендикуляра считать ЦТ туловища (рис. 2).

Рис. 2. Определение положения ЦТ туловища (Е.Г. Котельникова, 1974)

Заключение.

Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести  сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на  простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.

Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).

Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы  в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.

Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой.

Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике «Механика». Следите за новостями на блоге.

Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программпрошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.

Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!

Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!

Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.

Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!

Прошу,УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла: raschet-tsentra-tyazhesti (xls 17,0KB).