Интегральное исчисление
Если пластина снабжена ортонормированной системой координат, абсцисса и ордината центра масс могут быть вычислены с использованием интегрального расчета . Если называть общую длину участка пластины линией абсцисс , а если — площадь пластины, то абсцисса центра масс определяется формулой
л(Икс){\ Displaystyle l (х)}Икс{\ displaystyle x}в{\ displaystyle a}
- Иксграммзнак равно1в∫Икс⋅л(Икс)dИксзнак равно∫Икс⋅л(Икс)dИкс∫Икс⋅dИкс{\ displaystyle x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {1} {a}} \ int x \ cdot l (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {\ int x \ cdot l ( х) \ mathrm {d} x} {\ int x \ cdot \ mathrm {d} x}}}
Иногда бывает необходимо или удобнее прибегать к многократным интегралам .
Характеристики
Геометрический центр тяжести выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. У невыпуклого объекта центр тяжести может находиться за пределами самой фигуры. Центроид кольца или чаши , например, находится в центральной пустоте объекта.
Если центроид определен, это неподвижная точка всех изометрий в своей группе симметрии . В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит в пересечении всех его гиперплоскостях от симметрии . Центроид многих фигур ( правильный многоугольник , правильный многогранник , цилиндр , прямоугольник , ромб , круг , сфера , эллипс , эллипсоид , суперэллипс , суперэллипсоид и т. Д.) Может быть определен только по этому принципу.
В частности, центр тяжести параллелограмма — это точка пересечения двух его диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .
По той же причине центр тяжести объекта с трансляционной симметрией не определен (или находится вне ограничивающего пространства), потому что сдвиг не имеет фиксированной точки.
Как определить центр тяжести?
Если на точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2) действуют параллельные силы то точка М приложения равнодействующей этих сил делит отрезок М1М2 обратно пропорционально этим силам
Поэтому координаты точки М будут
\(x=\cfrac{P_1x_1+P_2x_2}{P_1+P_2}\)
\(y=\cfrac{P_1y_1+P_2y_2}{P_1+P_2}\)
\(z=\cfrac{P_1z_1+P_2z_2}{P_1+P_2}\)
если речь идет о воздействии трех действующих сил то формулы аналогичные и высчитываются как арифметическое средневзвешенное
\(x=\cfrac{P_1x_1+P_2x_2+P_3x_3}{P_1+P_2+P_3}\)
\(y=\cfrac{P_1y_1+P_2y_2+P_3y_3}{P_1+P_2+P_3}\)
\(z=\cfrac{P_1z_1+P_2z_2+P_3z_3}{P_1+P_2+P_3}\)
таким же способом рассчитываются если в точках приложения сил не три, а четыре или пять или десять например.
Если принять что силой действующий на точки будет сила тяжести, а масса точек будет одинакова, то после сокращений одинаковых значений, наша формула для трех точек будет следующей
\(x=\cfrac{1}{n}\sum_{1}^n{x_i}\)
\(y=\cfrac{1}{n}\sum_{1}^n{y_i}\)
\(z=\cfrac{1}{n}\sum_{1}^n{z_i}\)
Здесь положение центра тяжести зависит только от положения точек. Точка () называется геометрическим центром тяжести этих точек
Если фигура симметрична — то центр тяжести совпадает с геометрическим центром фигуры. Это касается таких например фигур как квадрат, круг, правильный многоугольник, равносторонний треугольник и другие подобные объекты.
И еще, немного теории, которая поможет рассчитать центр тяжести сложных фигур.
Положение центра тяжести системы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заменить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве массы сумму масс точек этой группы.
Рассчитаем центр тяжести треугольной пластины, произвольной формы, одинаковой толщины.
Из какого материала мы будем делать, из стали, бумаги или пластика не столь важно. Центр тяжести треугольника является одной из семи замечательных точек, и определяется как точка пересечения медиан сторон этого треугольника
Центр тяжести треугольника является одной из семи замечательных точек, и определяется как точка пересечения медиан сторон этого треугольника.
Если же нам известны только координаты треугольника, например, мы его вырезали из тетрадки в клеточку, то координаты точки тяжести, будут определяться так
\(x=\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\)
\(y=\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\)
Не пытайтесь аппроксимировать эту формулу и подумать что центр трапеции будет вычисляться аналогично например по таким формулам
\(x=\cfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\)
\(y=\cfrac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}\)
Это неверно, вернее неверно в случае когда масса распределена в плоскости между этими точками ( например пластины).
Если же речь идет о точечных массах расположенных в этих координатах, то формула центра масс, будет правильной.
Как же тогда рассчитывать центр тяжести трапеции?
Умные люди нашли формулу расчета точки, но в ней исходные данные представлены в виде длин сторон трапеции.
Вот эта формула.
==========
Она не удобна, когда нам известны только координаты трапеции. Но мы воспользуемся способом разбиения трапеции два треугольника, где для каждого из них находим центр тяжести, а потом рассчитывая уже для двух точек(центров), находим окончательное решение.
Для каждого треугольника центр будет рассчитывается по известной формуле
\(x=\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\)
\(y=\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\)
Но вот, когда мы будем рассчитывать окончательную точку, надо учитывать что мы, «стягивая» в центр тяжести каждый треугольник, стягиваем и всю массу поверхности которая лежала между этими координатами.
Так как между площадью фигуры ( при одинаковой толщине) и массой связь линейная, то легко предположить что окончательный расчет будет не таким
\(x_0=\cfrac{x_a+x_b}{2}\)
\(y_0=\cfrac{y_a+y_b}{2}\)
а с учетом линейности между массой и площадью( а значит можно не высчитывать массу каждой новой точки, а учитывать лишь площадь каждого из двух треугольников) формула для трапеции будет такой
\(x_0=\cfrac{S_ax_a+S_bx_b}{S_a+S_b}=\cfrac{S_ax_a+S_bx_b}{S}\)
\(y_0=\cfrac{S_ay_a+S_by_b}{S_a+S_b}=\cfrac{S_ay_a+S_by_b}{S}\)
Причем эта формула будет работоспособна при любом произвольном многоугольнике, единственное условие что бы площади каждого из треугольника не пересекались друг с другом.
Итак, у нас есть фигура с координатами 0:0 5:5 10:5 15:0
Несложно представить эту фигуру и определить что это равносторонняя трапеция.
- Расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам >>
Трёхмерный случай: многогранники
Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:
- Центр масс системы точек — вершин многогранника.
- Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
- Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
- Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.
Центр масс системы точек
Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:
который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.
Центр масс каркаса многогранника
Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.
Центр масс поверхности многогранника
Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.
Случай тетраэдра
Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.
Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).
Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.
Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:
(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )
Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.
Случай произвольного многогранника
Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.
Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.
Пример задания
Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.
Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.
Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.
Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.
Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.
Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.
В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ — поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R2 /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.
Центр тяжести неоднородных тел
Чтобы найти координаты центра тяжести, как и сам центр тяжести неоднородного тела, необходимо разобраться, на каком отрезке данного тела располагается точка, в которой пересекаются все силы тяжести, действующие на фигуру, если ее переворачивать. На практике для нахождения такой точки подвешивают тело на нить, постепенно меняя точки прикрепления нити к телу. В том случае, когда тело находится в равновесии, то центр тяжести тела будет лежать на линии, которая совпадает с линией нити. В противном случае сила тяжести приводит тело в движение.
Возьмите карандаш и линейку, начертите вертикальные прямые, которые визуально будут совпадать с нитевыми направлениями (нити, закрепляемые в различных точках тела). Если форма тела достаточно сложная, то проведите несколько линий, которые будут пересекаться в одной точке. Она и станет центром тяжести для тела, над которым вы производили опыт.
Координаты центра тяжести треугольника
Перед тем, как найти центр тяжести треугольника и его координаты, рассмотрим подробнее саму фигуру. Это однородная треугольная пластина, с вершинами А, В, С и соответственно, координатами: для вершины А — x1 и y1; для вершины В — x2 и y2; для вершины С — x3 и y3. При нахождении координат центра тяжести мы не будем учитывать толщину треугольной пластины. На рисунке ясно видно, что центр тяжести треугольника обозначен буквой Е – для его нахождения мы провели три медианы, на пересечении которых и поставили точку Е. Она имеет свои координаты: xE и yE.
Один конец медианы, проведенной из вершины А к отрезку В, обладает координатами x 1 , y 1 , (это точка А), а вторые координаты медианы получаем, исходя из того, что точка D (второй конец медианы) стоит посередине отрезка BC. Концы данного отрезка обладают известными нам координатами: B(x 2 , y 2) и C(x 3 , y 3). Координаты точки D обозначаем xD и yD . Исходя из следующих формул:
х=(Х1+Х2)/2; у=(У1+У2)/2
Определяем координаты середины отрезка. Получим следующий результат:
хd=(Х2+Х3)/2; уd=(У2+У3)/2;
D *((Х2+Х3)/2 , (У2+У3)/2).
Мы знаем, какие координаты характерны для концов отрезка АД. Также нам известны координаты точки Е, то есть, центра тяжести треугольной пластины. Также мы знаем, что центр тяжести расположен посередине отрезка АД. Теперь, применяя формулы и известные нам данные, мы можем найти координаты центра тяжести.
Таким образом, можно найти координаты центра тяжести треугольника, вернее, координаты центра тяжести треугольной пластины, учитывая то, что ее толщина нам неизвестна. Они равны среднему арифметическому однородных координат вершин треугольной пластины.
10) А что такое вообще центр тяжести плоской фигуры? Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта №7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу? Можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника
. Поэтому справедливо отношение
Нам известны точки . По формулам деления отрезка в данном отношении
:
Таким образом, центр тяжести треугольника:
Заключительный пункт урока:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для понимания решения необходимо хорошо изучить статью Линейные неравенства. Системы линейных неравенств
.
Для удобства перепишем найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:
Если не понятно, что к чему, пожалуйста, вернитесь к материалам про линейные неравенства
.
Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство .
И, наконец, для прямой составим многочлен , в который подставим координаты точки : . Таким образом, получаем третье неравенство: .
Итак, треугольник определяется следующей системой линейных неравенств:
Приехали.
Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна. Пунктов решения будет, конечно, не одиннадцать, а меньше, причём встретиться они могут в самых различных комбинациях. В этой связи вам придётся самостоятельно протягивать логическую цепочку решения. А вообще, всё довольно однообразно.
Может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) Ненасытные читатели могут ознакомиться с решениями других задач по аналитической геометрии. Подходящий архив можно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике
.
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения, которая освещена в самом начале урока. А теперь можно немного расслабиться, заданий для самостоятельного решения я не придумал. Кандидатур было много, но по основным приёмам решения все они до неприличия похожи на разобранные примеры.
Приятных треугольных сновидений!
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
ДРУГОЕ
Если Вы знаете пространственные координаты двух и более точек в определенной системе, то задачу: как найти длину…
Как найти координаты вектора?
В математике под вектором понимается отрезок заданной длины, имеющий направление и координаты в осях Х, У, Z. Вопрос о…
Как начертить круг?
Благодаря способности чертить идеально ровный круг можно научиться рисовать очень много других предметов. Например,…
Как найти параболу?
Параболой является график квадратичной функции. Данная линия обладает весомым физическим значением. Для того чтобы…
Математика – сложная наука, требующая запоминания и умения оперировать большим количеством формул. Рассмотрим…
Гипербола — это график функции, состоящий из двух удаляющихся друг от друга ветвей. Каждая из ветвей является…
Слово «центр» достаточно часто используется в различных областях. Но прежде чем у этого слова появились…
Термин «ускорение» один из немногих, смысл которого понятен тем, кто говорит по-русски. Он обозначает…
На что действует сила тяжести?
Одним из четырёх фундаментальных взаимодействий, известных современной физике, является гравитационное взаимодействие.…
«Медиана — обезьяна, которая будет точно в середине стороны против вершины, где находится сейчас» — при помощи…
Как начертить окружность?
Итак, начнем нашу сегодняшнюю тему с жизненной ситуации: как начертить окружность, если циркуля нет? Не беда, можно…
Как начертить треугольник?
Как начертить треугольник?Построение различных треугольников — обязательный элемент школьного курса геометрии. У многих…
Как найти биссектрису треугольника?
Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника…
Как найти длину отрезка?
Определить длину отрезка возможно разными способами. Для того чтобы узнать, как найти длину отрезка, достаточно иметь в…
Как найти радиус вписанной окружности?
Окружность считается вписанной в границы правильного многоугольника, в случае, если лежит внутри него, касаясь при этом…
Как найти вершину треугольника?
Для того чтобы найти координаты вершины равностороннего треугольника, если известны координаты двух других его вершин,…
Как найти высоту треугольника?
Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками,…
Для начала разберемся с том, какую окружность можно назвать вписанной в треугольник. Это вам не просто взять и…
Как разделить окружность на части?Для того чтобы разделить отрезок или угол на равные части, особых навыков не…
Свойства прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, в которой один угол обязательно прямой. Треугольник с прямым…
Как найти высоту пирамиды?
Треугольная пирамида — это пирамида, в основе которой находится треугольник. Высота этой пирамиды — это перпендикуляр,…
История
Термин «центроид» появился недавно (1814 г.). Он используется вместо старых терминов « центр тяжести » и « центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку. Французы в большинстве случаев используют « центр притяжения », а другие используют термины схожего значения.
Центр тяжести, как следует из названия, возник в механике, скорее всего, в связи со строительством. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, так как эта концепция, вероятно, пришла в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями.
Хотя Архимед явно не заявляет об этом предположении, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был знаком с ним. Однако Жан-Этьен Монукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел — это предмет, которого Архимед не касался.
В 1802 году Шарль Боссут (1730–1813) опубликовал двухтомный Essai sur l’histoire générale des mathématiques. Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после публикации она была переведена на итальянский (1802–03), английский (1803) и немецкий (1804) языки. Босут приписывает Архимеду открытие центра тяжести плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах.
Хотя возможно, что Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимеда (287–212 гг. До н. Э.), Несомненно, что, когда Архимед посетил Александрию , Евклида там уже не было. Таким образом, Архимед не мог усвоить теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в точке — центре тяжести треугольника — непосредственно от Евклида, поскольку этого утверждения нет в «Элементах» Евклида . Первое явное утверждение этого предположения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, I век н. Э.) И встречается в его «Механике». Между прочим, можно добавить, что это положение не было распространено в учебниках по геометрии плоскости до XIX века.
Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.
Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках. Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.
Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a1=80 мм, b1=40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a2=24 мм и высотой h2=42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x03=50 мм и y03=40 мм, радиусом r3=26 мм).
В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excelили программу OOo Calc. Любая из них легко справится с нашей задачей!
В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительныерасчеты.
В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты.
Синийшрифт – этоисходные данные.
Черныйшрифт – это промежуточные результаты расчетов.
Красныйшрифт – это окончательные результаты расчетов.
Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.
Исходные данные:
1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно
в ячейку D3: Прямоугольник
в ячейку E3: Треугольник
в ячейку F3: Полукруг
2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем
в ячейку D4: =80/2=40,000
xc1=a1/2
в ячейку D5: =40/2=20,000
yc1= b1/2
в ячейку E4: =24/2=12,000
xc2=a2/2
в ячейку E5: =40+42/3=54,000
yc2= b1+h2/3
в ячейку F4: =50=50,000
xc3=x03
в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965
yc3= y03-4*r3/3/π
3. Рассчитаем площади элементов F1, F2, F3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела «Библиотека элементарных фигур»
в ячейке D6: =40*80=3200
F1=a1*b1
в ячейке E6: =24*42/2=504
F2=a2*h2/2
в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062
F3= -π/2*r3^2
Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!
Расчет координат центра тяжести:
4. Определим общую площадь итоговой фигуры F в мм2
в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642
F=F1+F2+F3
5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y
в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459
Sx=yc1*F1+ yc2*F2+ yc3*F3
в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955
Sy=xc1*F1+ xc2*F2+ xc3*F3
6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y
в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640
Xc=SyF
в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883
Yc=Sx/F0
Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!
Простая задачка
Пусть имеются 2 шара. Они расположены так, что соприкасаются друг с другом. Сделаны тела из одного материала, но при этом радиусы у них отличаются вдвое. Значение первого равняется r = 20 см, а второго 40, то есть 2r. Найти, где находится точка равновесия такого объекта. Такого рода задачи обычно любят демонстрировать на презентациях, касающихся темы. Задача простая, но между тем помогает понять принцип нахождения центра равновесия.
Итак, при решении нужно будет воспользоваться формулой: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Так как по условию радиусы шаров отличаются вдвое, их массы будут отличаться в 8 раз. Объём всегда пропорционален кубу линейных размеров.
Массу первого шара можно обозначить как m, а второго — 8m. Начало координат для удобства лучше поместить в центр меньшей фигуры. В результате середина большого шара будет иметь координату 3r. Значит, искомая координата равняется: x = ((m* 0 + 8m * 3r)) / (m + 8m) = (8 * 3r) / 9 = 8r/3.
Заключение.
Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.
Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).
Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.
Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой.
Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике «Механика». Следите за новостями на блоге.
Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программпрошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.
Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!
Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!
Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.
Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!
Прошу,УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
Ссылка на скачивание файла: raschet-tsentra-tyazhesti (xls 17,0KB).
