Площадь сферы — формулы и примеры вычислений

Единичные шары в нормированных векторных пространствах

Точнее, открытый единичный шар в нормированном векторном пространстве с нормой есть
V{\ displaystyle V} ‖⋅‖{\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}

{Икс∈V‖Икс‖<1}{\ Displaystyle \ {х \ в V: \ | х \ | <1 \}}

Это внутренняя часть замкнутого единичного шара в ( V , || · ||):

{Икс∈V‖Икс‖≤1}{\ Displaystyle \ {х \ в V: \ | х \ | \ Leq 1 \}}

Последний является несвязным объединением первых и их общей границы, единичной сферы ( V , || · ||):

{Икс∈V‖Икс‖знак равно1}{\ Displaystyle \ {х \ в V: \ | х \ | = 1 \}}

«Форма» единичного шара полностью зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть как n в случае максимальной нормы в R n . Естественно круглый шар получается как единичный шар, относящийся к обычной норме гильбертова пространства , основанный в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница — это то, что обычно подразумевается под единичной сферой .

Пусть Определить обычную -норму для р ≥ 1 , как:
Иксзнак равно(Икс1,…Иксп)∈рп.{\ displaystyle x = (x_ {1}, … x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}ℓп{\ displaystyle \ ell _ {p}}

‖Икс‖пзнак равно(∑kзнак равно1п|Иксk|п)1п{\ Displaystyle \ | х \ | _ {p} = (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p}) ^ {1 / p}}

Тогда — обычная норма гильбертова пространства .
называется нормой Хэмминга, или -нормой. Условие p ≥ 1 необходимо в определении нормы, поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым как следствие неравенства треугольника . Пусть обозначает максимально-норму или -норм х.
‖Икс‖2{\ Displaystyle \ | х \ | _ {2}}‖Икс‖1{\ Displaystyle \ | х \ | _ {1}}ℓ1{\ displaystyle \ ell _ {1}}ℓп{\ displaystyle \ ell _ {p}}‖Икс‖∞{\ Displaystyle \ | х \ | _ {\ infty}}ℓ∞{\ displaystyle \ ell _ {\ infty}}

Обратите внимание, что для окружностей двумерных единичных шаров (n = 2) мы имеем:
Cп{\ displaystyle C_ {p}}

C1знак равно42{\ displaystyle C_ {1} = 4 {\ sqrt {2}}} — минимальное значение.

C2знак равно2π.{\ Displaystyle C_ {2} = 2 \ пи \ ,.}

C∞знак равно8{\ displaystyle C _ {\ infty} = 8} — максимальное значение.

Сферическая геометрия

Большой круг на сфере

Основными элементами геометрии евклидовой плоскости являются точки и линии . На сфере точки определяются в обычном смысле. Аналог «линии» — геодезическая , представляющая собой большой круг ; Определяющей характеристикой большого круга является то, что плоскость, содержащая все его точки, также проходит через центр сферы. Измерение по длине дуги показывает, что кратчайший путь между двумя точками, лежащими на сфере, — это более короткий сегмент большого круга, который включает эти точки.

Многие теоремы классической геометрии верны и для сферической геометрии, но не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым постулатам классической геометрии , включая постулат параллельности . В сферической тригонометрии , углы определяются между большими кругами. Сферическая тригонометрия во многом отличается от обычной тригонометрии . Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Кроме того, любые два подобных сферических треугольника конгруэнтны.

Геометрические свойства

Сфера однозначно определяется четырьмя некомпланарными точками . В более общем смысле, сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. Д. Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарных точки определяют уникальный круг на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этого круга.

Изучая , можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, и плоскость, содержащая этот круг, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, окружность может быть воображаемой (у сфер нет общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке).

Угол между двумя сферами в реальной точке пересечения — это двугранный угол, определяемый касательными плоскостями к сферам в этой точке. Две сферы пересекаются под одинаковым углом во всех точках их круга пересечения. Они пересекаются под прямым углом ( ортогональны ) тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов.

Карандаш сфер

Если f ( x , y , z ) = 0 и g ( x , y , z ) = 0 — уравнения двух различных сфер, то

sж(Икс,у,z)+тграмм(Икс,у,z)знак равно{\ displaystyle sf (x, y, z) + tg (x, y, z) = 0}

также является уравнением шара для произвольных значений параметров s и t . Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер, определяемым исходными двумя сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, то все сферы пучка являются плоскостями, в противном случае в плоскости имеется только одна плоскость (радикальная плоскость). карандаш.

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Рис.1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Рис.3

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Рис.5

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Рис.6

Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Площадь поверхности

Площадь поверхности сферы радиуса r равна:

Азнак равно4πр2.{\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}.}

Архимед впервые вывел эту формулу из того факта, что проекция на боковую поверхность описанного цилиндра сохраняет площадь. Другой подход к получению формулы исходит из того факта, что она равна производной формулы для объема по r, потому что общий объем внутри сферы радиуса r можно рассматривать как сумму площади поверхности бесконечного числа сферических оболочек бесконечно малой толщины, концентрически уложенных друг в друга от радиуса 0 до радиуса r . При бесконечно малой толщине расхождение между площадью внутренней и внешней поверхности любой заданной оболочки бесконечно мало, а элементарный объем на радиусе r является просто произведением площади поверхности радиуса r на бесконечно малую толщину.

При любом заданном радиусе r дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поверхности радиуса r ( A ( r ) ) на толщину оболочки ( δr ):

δV≈А(р)⋅δр.{\ Displaystyle \ дельта В \ приблизительно A (г) \ CDOT \ дельта р.}

Общий объем — это сумма всех объемов оболочки:

V≈∑А(р)⋅δр.{\ Displaystyle В \ приблизительно \ сумма А (г) \ CDOT \ дельта р.}

В пределе, когда δr приближается к нулю, это уравнение принимает вид:

Vзнак равно∫рА(р)dр.{\ Displaystyle V = \ int _ {0} ^ {r} A (r) \, доктор}

Заменить V :

43πр3знак равно∫рА(р)dр.{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = \ int _ {0} ^ {r} A (r) \, dr.}

Дифференцируя обе части этого уравнения по r, получаем A как функцию от r :

4πр2знак равноА(р).{\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2} = A (r).}

Обычно это сокращается как:

Азнак равно4πр2,{\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2},}

где r теперь считается фиксированным радиусом сферы.

В качестве альтернативы элемент площади на сфере задается в сферических координатах как dA = r 2 sin θ dθ dφ . В декартовых координатах элемент площади равен

dSзнак равнорр2-∑я≠kИкся2∏я≠kdИкся,∀k.{\ displaystyle dS = {\ frac {r} {\ sqrt {r ^ {2} — {\ displaystyle \ sum _ {i \ neq k} x_ {i} ^ {2}}}}} \ prod _ {i \ neq k} dx_ {i}, \; \ forall k.}

Таким образом, общая площадь может быть получена путем интегрирования :

Азнак равно∫2π∫πр2грех⁡θdθdφзнак равно4πр2.{\ Displaystyle A = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} r ^ {2} \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ varphi = 4 \ пи г ^ {2}.}

Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые охватывают данный объем, и она включает в себя наибольший объем среди всех закрытых поверхностей с данной площадью поверхности. Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.

Площадь поверхности относительно массы шара называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как

SSАзнак равноАVρзнак равно3рρ,{\ displaystyle \ mathrm {SSA} = {\ frac {A} {V \ rho}} = {\ frac {3} {r \ rho}},}

где ρ — плотность (отношение массы к объему).

Об этой статье

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 31 человек(а). Количество просмотров этой статьи: 15 536.

Категории: Геометрия

English:Calculate the Volume of a Cone

Español:calcular el volumen de un cono

Italiano:Calcolare il Volume di un Cono

Français:calculer le volume d’un cône

Nederlands:De inhoud van een kegel berekenen

中文:计算一个圆锥体的体积

Bahasa Indonesia:Menghitung Volume Kerucut

Čeština:Jak vypočítat objem kuželu

العربية:حساب حجم المخروط

Tiếng Việt:Tính Thể tích Hình nón

हिन्दी:शंकु का आयतन ज्ञात करें

ไทย:คำนวณหาปริมาตรของทรงกรวย

한국어:원뿔의 부피 구하는 법

日本語:円錐の体積を計算する

Печать

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S₁, S₂, S₃,…S_n. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S₁, S₂, S₃,…S_n – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.

Необходимое количество пиломатериалов для кровли

Основная задача при проектировании, подобрать правильный уклон (в загородном жилье большей популярностью пользуется двускатный тип кровли). При малейшей погрешности крышу может просто сдуть резкий шквал ветра.

• Надежной основой для крыши будет пиломатериал 100 х 150 мм.
• В зависимости от площади и формы будущего дома, доски нужно приобретать толщиной 35 – 50 мм. Для обрешетки 25 – 30 мм.
• Материал для кровли можно укладывать на саму обрешетку и утеплять изнутри. При укладке битумной черепице или рубероида внутренняя отделка не требуется.
• Самым подходящим материалом для утепления считается пенопласт, минеральная вата и пенополиуретан.

Расчеты обычно помогает произвести калькулятор досок в кубе, но никакая программа не заменит настоящего специалиста-проектировщика. Любое программное обеспечение производит расчеты уже исходя из заданных формул и шаблона. Если понадобиться рассчитать данные, для которых калькулятор не подходит, то перенастроить его уже не получится и все расчеты придется делать самостоятельно.

Советы

Используйте кубические единицы измерения (например, 113 см³).
Убедитесь, что все значения представлены в одной единице измерения

В противном случае преобразуйте единицы измерения.
Обратите внимание, что символ «*» используется как знак умножения, чтобы избежать путаницы с переменной «x».
Если нужно найти объем некоторой части сферы, например, ее половины или четверти, сначала вычислите объем всей сферы, а затем полученное значение разделите на число, на которое поделена сфера. Например, чтобы найти объем полусферы, когда объем всей сферы равен 8, разделите 8 на 2 и получите 4.

Что такое квадратный метр

Для начала надо определиться, что из себя представляет квадратный метр. Люди, которые плохо учили в школе математику, все равно рано или поздно сталкиваются с проблемой подсчета количества строительных материалов. Поэтому квадратный метр – основная точка отсчета при определении площади помещения.

Если нарисовать квадрат (это геометрическая фигура с одинаковыми сторонами), и сторона будет равна 100 см, то при умножении на 100 получим число 10000 см. это означает, что размер данной фигуры 10000 см2. Можно проще. Посчитать в метрах: 100 см – это 1 м. Применяем формулу подсчета площади – перемножаем две стороны, то есть 1 умножаем на 1, получаем 1 м. Значит, размер квадрата 1 кв.м.

Как найти объем для фигур цилиндрической формы

Цилиндр – это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Одним из видов цилиндра является призма.

Чтобы произвести вычисления нужно найти диаметр тела (ширина) одного круглого основания и полученное число поделить на 2. Допустим, диаметр основания равен 30 см.

1. Производим расчеты: 30 см / 2 = 15 см. Половина диаметра круга ‒ радиус.
2. Возводим полученный радиус в квадрат или умножаем самого на себя: 15 * 15 = 225 см2.
3. Полученное число 225 см2 – это квадрат радиуса. Эту цифру умножаем на число ПИ — 3,14. Например: 225 см2 * 3,14 = 706,5 см2.
4. Проводим новый замер, чтобы узнать расстояние между круглыми основаниями, допустим, оно равно 12 см.
5. Это число умножаем на площадь круглого основания: 706,5 см2 * 12 см = 8 478 см3
6. Полученное значение и будет искомым объемом. Для перевода в кубические метры необходимо конечное число поделить на один миллион. Как мы делали в предыдущем примере.

Таблица кубатурник доски, сколько доски в кубе

Доска обрезная | Доска строганная

Наименование

Размеры

Кол-во штук в одном м3

Кол-во погонных метров в одном м3

Доска обрезная / строганная	25х100х2000	200	400
Доска обрезная / строганная	25х100х4000	100	400
Доска обрезная / строганная	25х100х6000	66	396
Доска обрезная / строганная	25х150х2000	133	266
Доска обрезная / строганная	25х150х4000	66	264
Доска обрезная / строганная	25х150х6000	44	264
Доска обрезная / строганная	25х200х2000	100	200
Доска обрезная / строганная	25х200х4000	50	200
Доска обрезная / строганная	25х200х6000	33	198
Доска обрезная / строганная	40х100х2000	125	250
Доска обрезная / строганная	40х100х4000	62	248
Доска обрезная / строганная	40х100х6000	41	246
Доска обрезная / строганная	40х150х2000	83	166
Доска обрезная / строганная	40х150х4000	41	164
Доска обрезная / строганная	40х150х6000	27	162
Доска обрезная / строганная	40х200х2000	62	124
Доска обрезная / строганная	40х200х4000	31	124
Доска обрезная / строганная	40х200х6000	20	120
Доска обрезная / строганная	50х100х2000	100	200
Доска обрезная / строганная	50х100х4000	50	200
Доска обрезная / строганная	50х100х6000	33	198
Доска обрезная / строганная	50х150х2000	66	132
Доска обрезная / строганная	50х150х4000	33	132
Доска обрезная / строганная	50х150х6000	22	132
Доска обрезная / строганная	50х200х2000	50	100
Доска обрезная / строганная	50х200х4000	25	100
Доска обрезная / строганная	50х200х6000	16	96

Нюансы расчета площади

В строящихся домах или новостройках замерами квартир занимается специалист. Все замеры производятся строго по правилам. Если произойдет какое-либо нарушение, то это повлечет за собой неправильные расчеты налога, а также в будущем возникнуть сложности при перепланировке.

Все замеры и схемы кадастровый инженер отображает в техпаспорте квартиры. Все происходит под наблюдением соответствующих органов. Также, информация о метраже отражается в договоре купли-продажи, в дарственной и при приватизации жилья.

В новостройках все замеры помещения производятся кадастровым инженером.

При перепланировке получают разрешение, где указывают точные величины замеров комнат в квартире.

Коммунальные платежи тоже рассчитываются исходя из метража квартиры, ее площади.

Существуют определения жилой и общей площади помещения:

Жилая площадь – это сумма всех спален и гостиной в доме или квартире.
Когда в документах прописывают общую площадь – это означает, что учтены замеры абсолютно всех помещений объекта

Но здесь важно знать – входит ли, например, в эту площадь балкон или лоджия, так как такие помещения (кухня, туалет, ванная и подсобки) обычно измеряются отдельно.. Все эти вычисления производятся в стандартных домах

Неотапливаемые помещения также учитываются в документации, и им присуждается пониженный коэффициент:

Все эти вычисления производятся в стандартных домах. Неотапливаемые помещения также учитываются в документации, и им присуждается пониженный коэффициент:

• Балконы и террасы – 0,3.
• Пристройки снаружи – 0,4.
• Балконы и лоджии – 0,5.
• Веранда – 0,8.

В старых домах и современных новостройках есть встроенные шкафы, которые при расчете жилой площади не учитываются, но включены в состав общей площади жилья

Этот нюанс важно помнить, когда потребуется верная величина площади квартиры

Как найти объем трехмерных объектов

Начнем с расчета для прямоугольных и квадратных фигур. Придерживайтесь инструкции и постарайтесь рассчитать самостоятельно, чтобы закрепить знания. Числа, указанные в описании, берутся в качестве примера. Вы можете производить другие расчеты.

1. Измеряем длину предмета в сантиметрах – 9. Сантиметры приходят на помощь, когда невозможно получить целое число в метрах .
2. Замеряем ширину в сантиметрах – 17.
3. Умножаем между собой длину и ширину 9 * 17 = 152 см2 – получили площадь основания
4. Производим замер высоты – 28 см.
5. Умножаем площадь основания на высоту 152 см2 * 28 см = 4256.

Полученное число необходимо перевести в кубические метры. Для этого конечный результат делим на 1.000.000. Пример будет выглядеть следующим образом – 4256 м3/1000000 = 0,004256 м3

Вычисление объема тел вращения

Телом вращения называют тело, которое может быть получено вращением какой-то плоской фигуры относительно некоторой оси вращения. Например, цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, а усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

В задачах на вычисление объемов таких тел ось координат Ох уже задана естественным образом – это ось вращения тела. Ясно, что каждое сечение тела, перпендикулярное оси вращения, будет являться кругом.

Рассмотрим случай, когда вокруг оси Ох поворачивают график некоторой функции у = f(x), ограниченный прямыми х = а и у = b. Тогда получится тело, сечениями которого являются круги, причем их радиусы будут равны величине f(x). Напомним, что площадь круга вычисляют по формуле:

Рассмотрим, как на практике используется эта формула.

Задание. Объемное тело получено вращением ветви параболы

вокруг оси Ох. Оно ограничено плоскостями х = 0 и х = 4. Каков объем такой фигуры?

Решение. Здесь пределами интегрирования, то есть числами а и b, будут 0 и 4. Используем формулу для тела вращения:

Кривые на сфере

Плоское сечение сферы: 1 круг

Коаксиальное пересечение сферы и цилиндра: 2 круга

Круги

Круги на сфере, как круги на плоскости, состоят из всех точек на определенном расстоянии от фиксированной точки на сфере. Пересечение сферы и плоскости — это круг, точка или пустота.

Более сложные поверхности могут также пересекать сферу по окружностям: пересечение сферы с поверхностью вращения , ось которой содержит центр сферы ( коаксиальные ), состоит из окружностей и / или точек, если они не пусты. Например, на диаграмме справа показано пересечение сферы и цилиндра, состоящего из двух окружностей. Если бы радиус цилиндра был радиусом сферы, пересечение было бы одним кругом. Если бы радиус цилиндра был больше, чем у сферы, пересечение было бы пустым.

Локсодромия

Локсодромия

В навигации , локсодромия или локсодромия дуга пересечения всех меридианов по долготе под тем же углом. Локсодромы совпадают с прямыми линиями в проекции Меркатора . Линия румба — это не сферическая спираль . За исключением некоторых простых случаев, формула румба является сложной.

Клелия кривые

сферическая спираль с cзнак равно8{\ displaystyle c = 8}

Кривая Клелии — это кривая на сфере, для которой долгота и широта удовлетворяют уравнению
φ{\ displaystyle \ varphi} θ{\ displaystyle \ theta}

φзнак равноcθ,c>{\ displaystyle \ varphi = c \; \ theta, \ quad c> 0}.

Особые случаи: кривая Вивиани ( ) и сферические спирали ( ), такие как спираль Зайфферта . Кривые Клелии аппроксимируют путь спутников на полярной орбите .
cзнак равно1{\ displaystyle c = 1}c>2{\ displaystyle c> 2}

Сферические коники

Аналогом конического сечения на сфере является сферическая коника , кривая четвертой степени, которую можно определить несколькими эквивалентными способами, в том числе:

• как пересечение сферы с квадратичным конусом, вершиной которого является центр сферы;
• как пересечение сферы с , ось которого проходит через центр сферы;
• как геометрическое место точек, сумма или разность расстояний по дуге большого круга от пары фокусов постоянна.

Многие теоремы, касающиеся плоских конических сечений, распространяются и на сферические коники.

Пересечение сферы с более общей поверхностью

Общее пересечение сфера-цилиндр

Если сфера пересекается другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.

Пример

сфера — цилиндр

Пересечение сферы с уравнением и цилиндра с уравнением — это не просто одна или две окружности. Это решение нелинейной системы уравнений
Икс2+у2+z2знак равнор2{\ displaystyle \; x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2} \;}(у-у)2+z2знак равноа2,у≠{\ displaystyle \; (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} = a ^ {2}, \; y_ {0} \ neq 0 \;}

Икс2+у2+z2-р2знак равно{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2} = 0}

(у-у)2+z2-а2знак равно .{\ displaystyle (y-y_ {0}) ^ {2} + z ^ {2} -a ^ {2} = 0 \.}

(см. неявную кривую и диаграмму)

Шаги

1. 1

   Запишите формулу для вычисления объема сферы. Формула: V = ⁴/₃πr³, где V — объем, r — радиус сферы.

2. 2

   Найдите радиус. Если радиус дан, перейдите к следующему шагу. Если дан диаметр, разделите его на два, чтобы найти радиус. Когда вы вычислите радиус, запишите его. Например, радиус равен 3 см.

   Если дана только площадь поверхности сферы, вычислите радиус так: площадь поверхности разделите на 4π, а затем из полученного значения извлеките квадратный корень. Таким образом: r = √(S/4π), где S — площадь поверхности сферы.

3. 3

   Возведите радиус в куб. Для этого умножьте радиус на себя три раза или возведите его в третью степень. Например, 33 = 3 * 3 * 3 = 27. Когда будете записывать окончательный ответ, не забудьте про единицу измерения (в нашем примере это кубические сантиметры). Теперь найденное значение подставьте в формулу для вычисления объема сферы (V = ⁴/₃πr³). Таким образом: V = ⁴/₃π * 27

   Если радиус равен 5 см, то кубический радиус равен 53 = 5 * 5 * 5 = 125.

   .

4. 4

   Кубический радиус умножьте на 4/3. Вы подставили в формулу значение r3 (в нашем примере 27); теперь умножьте это значение на 4/3: 4/3 * 27 = 36. Теперь формула запишется так: V = ⁴/₃ * π * 27 = 36π.

5. 5

   Умножьте полученное значение на π. Это последний шаг процесса вычисления объема сферы. Можно оставить π и записать ответ так: V = 36π. Или вместо π подставьте численное значение этой константы (π ≈ 3,14): V = 3,14 * 36 = 113,04 ≈ 113. Не забудьте указать кубические единицы измерения. Таким образом, объем шара с радиусом 3 см приблизительно равен 113 см3.

Пример нахождения объёма шара

Задача:

Найти объем шара радиусом сантиметров.

Решение:

Для того чтобы вычислить объем шара формула используется следующая:

где – искомый объем шара, – , – радиус.

Таким образом, при радиусе сантиметров объем шара равен:

В геометрии шар определяется как некое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые располагаются от центра на расстоянии, не более заданного, называемого радиусом шара. Поверхность шара именуется сферой, а сам он образуется путем вращения полукруга около его диаметра, остающегося неподвижным.

С этим геометрическим телом очень часто сталкиваются инженеры-конструкторы и архитекторы, которым часто приходится вычислять объем шара. Скажем, в конструкции передней подвески подавляющего большинства современных автомобилей используются так называемые шаровые опоры, в которых, как нетрудно догадаться из самого названия, одними из основных элементов являются именно шары. С их помощью происходит соединение ступиц управляемых колес и рычагов. От того, насколько правильно будет вычислен их объем, во многом зависит не только долговечность этих узлов и правильность их работы, но и безопасность движения.

В технике широчайшее распространение получили такие детали, как шариковые подшипники, с помощью которых происходит крепление осей в неподвижных частях различных узлов и агрегатов и обеспечивается их вращение. Следует заметить, что при их расчете конструкторам требуется найти объем шара (а точнее – шаров, помещаемых в обойму) с высокой степенью точности. Что касается изготовления металлических шариков для подшипников, то они производятся из металлической проволоки при помощи сложного технологического процесса, включающего в себя стадии формовки, закалки, грубой шлифовки, чистовой притирки и очистки. Кстати говоря, те шарики, которые входят в конструкцию всех шариковых ручек, изготавливаются по точно такой же технологии.

Достаточно часто шары используются и в архитектуре, причем там они чаще всего являются декоративными элементами зданий и других сооружений. В большинстве случаев они изготавливаются из гранита, что зачастую требует больших затрат ручного труда. Конечно, соблюдать столь высокую точность изготовления этих шаров, как тех, которые применяются в различных агрегатах и механизмах, не требуется.

Без шаров немыслима такая интересная и популярная игра, как бильярд. Для их производства используются различные материалы (кость, камень, металл, пластмассы) и используются различные технологические процессы. Одним из основных требований, предъявляемых к бильярдным шарам, является их высокая прочность и способность выдерживать высокие механические нагрузки (прежде всего, ударные). Кроме того, их поверхность должна представлять собой точную сферу для того, чтобы обеспечивалось плавное и ровное качение по поверхности бильярдных столов.

Наконец, без таких геометрических тел, как шары, не обходится ни одна новогодняя или рождественская елка

Изготавливаются эти украшения в большинстве случаев из стекла методом выдувания, и при их производстве наибольшее внимание уделяется не точности размеров, а эстетичности изделий. Технологический процесс при этом практически полностью автоматизирован и вручную елочные шары только упаковываются

Закрытый том

Сфера и описанный цилиндр

В трех измерениях объем внутри сферы (то есть объем шара , но классически называемый объемом сферы) равен

Vзнак равно43πр3знак равноπ6 d3≈0,5236⋅d3{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {\ pi} {6}} \ d ^ {3} \ приблизительно 0,5236 \ cdot d ^ {3} }

где r — радиус, d — диаметр сферы. Архимед впервые вывел эту формулу, показав, что объем внутри сферы в два раза больше объема между сферой и описанным цилиндром этой сферы (имеющей высоту и диаметр, равные диаметру сферы). Это можно доказать, вписав конус вверх ногами в полусферу, отметив, что площадь поперечного сечения конуса плюс площадь поперечного сечения сферы такая же, как и площадь поперечного сечения описывающего цилиндра. , и применяя принцип Кавальери . Эта формула может быть получена с помощью интегрального исчисления , т.е. интеграции диска суммировать объемы с бесконечным числом из дисков бесконечно малой толщины сложена бока о боке и по центру вдоль х оси х от й = — г до й = г , при условии , сфера радиуса r центрирована в начале координат.

При любом заданном x дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поперечного сечения в точке x на его толщину ( δx ):

δV≈πу2⋅δИкс.{\ displaystyle \ delta V \ приблизительно \ pi y ^ {2} \ cdot \ delta x.}

Общий объем — это сумма всех дополнительных объемов:

V≈∑πу2⋅δИкс.{\ Displaystyle V \ приблизительно \ сумма \ пи y ^ {2} \ cdot \ delta x.}

В пределе, когда δx приближается к нулю, это уравнение принимает вид:

Vзнак равно∫-ррπу2dИкс.{\ Displaystyle V = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi y ^ {2} dx.}

В любом заданном x прямоугольный треугольник соединяет x , y и r с началом координат; следовательно, применение теоремы Пифагора дает:

у2знак равнор2-Икс2.{\ displaystyle y ^ {2} = r ^ {2} -x ^ {2}.}

Использование этой замены дает

Vзнак равно∫-ррπ(р2-Икс2)dИкс,{\ Displaystyle V = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi \ left (r ^ {2} -x ^ {2} \ right) dx,}

которые можно оценить, чтобы дать результат

Vзнак равноπр2Икс-Икс33-ррзнак равноπ(р3-р33)-π(-р3+р33)знак равно43πр3.{\ displaystyle V = \ pi \ left _ {- r} ^ {r} = \ pi \ left (r ^ {3} — {\ frac {r ^ {3}} {3}} \ right) — \ pi \ left (-r ^ {3} + {\ frac {r ^ {3}} {3}} \ справа) = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}

Альтернативная формула находится с использованием сферических координат с элементом объема

dVзнак равнор2грех⁡θdрdθdφ{\ displaystyle dV = r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ varphi}

так

Vзнак равно∫2π∫π∫рр′2грех⁡θdр′dθdφзнак равно2π∫π∫рр′2грех⁡θdр′dθзнак равно4π∫рр′2dр′ знак равно43πр3.{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {r} r ‘^ {2} \ sin \ theta \, dr ‘\, d \ theta \, d \ varphi = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {r} r’ ^ {2} \ sin \ theta \, dr ‘\, d \ theta = 4 \ pi \ int _ {0} ^ {r} r’ ^ {2} \, dr ‘\ = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}. }

Для большинства практических целей объем внутри сферы, вписанной в куб, может быть приблизительно равен 52,4% от объема куба, поскольку V =π6 d 3 , где d — диаметр сферы, а также длина стороны куба иπ6 ≈ 0,5236. Например, сфера диаметром 1 м имеет 52,4% объема куба с длиной ребра 1 м или около 0,524 м 3 .

Как определить объём сферического изделия

Сферические изделия встречаются в нашей жизни почти каждый день. Это может быть элемент подшипника, футбольный мяч или пишущая часть шариковой ручки. В некоторых случаях нам необходимо узнать, как рассчитать кубатуру сферы для определения количества жидкости в ней.

Как утверждают эксперты, для вычисления объёма этой фигуры используется формула V=4/3ԉr3, где:

• V – подсчитываемый объём детали;
• R- радиус сферы;
• ԉ – постоянная величина, которая равняется 3,14.

Для проведения необходимых вычислений нам нужно взять рулетку, зафиксировать начало измерительной шкалы и провести замер, причём лента рулетки должна проходить по экваторe шара. После этого узнают диаметр детали, поделив размер на число ԉ.

А теперь ознакомимся с конкретным примером вычисления для сферы, если её длина по окружности равняется 2,5 метрам. Сначала определим диаметр 2,5/3,14=0,8 метра. Теперь подставляем это значение в формулу:

V= (4*3,14*0,8³)/3=2,14м³