Как найти координаты точки?

Вычисление углов между двумя плоскостями

Алгоритм решения будет таков:

• По трем точкам ищем уравнение первой плоскости: \( {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0\)
• По другим трем точкам ищем уравнение второй плоскости: \( {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0\)
• Применяем формулу: \( cos\varphi =\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}~ \right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\)

Как видишь, формула очень похожа на две предыдущие, при помощи которых мы искали углы между прямыми и между прямой и плоскостью.

Так что запомнить эту тебе не составит особого труда. Сразу переходим к разбору задач:

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа x_A и x_B, а точка С делит AB пополам. Определите координату x_C, соответствующую С. 

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\)

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\Leftrightarrow\left|x_C-x_A\right|=\left|x_B-x_C\right|\)

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

\(x_C-x_A=x_B-x_C\)

\(x_C-x_A=-\left(x_B-x_C\right)\)

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения x_C, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Следствием второго равенства будет следующее утверждение: 

\(x_A=x_B\)

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат x_C и y_C, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат A_x, A_y; B_x, B_y; C_x, C_y — это проекции исходных точек.

По построению прямые AA_x, BB_x, CC_x относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AA_y, BB_y, CC_y не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

\(A_xC_x=C_xB_x\)

\(A_yC_y=C_yB_y\)

Это значит, что C_x и C_y являются серединами отрезков A_xB_x и A_yB_y соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

\(y_C=\frac{y_A+y_B}2\)

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), вычисляются следующим образом:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)\)

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(x_A, y_A, z_A) и B(x_B, y_B, z_B). C(x_C, y_C, z_C) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить x_C, y_C, z_C.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — A_x, A_y, A_z; B_x, B_y, B_z;C_x, C_y, C_z — проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

\(\left|A_xC_x\right|=\left|C_xB_x\right|\)

\(\left|A_yC_y\right|=\left|C_yB_y\right|\)

\(\left|A_zC_z\right|=\left|C_zB_z\right|\)

Исходя из полученных равенств следует, что C_x, C_y, C_z — делят A_xB_x, A_yB_y, A_zB_z пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) используем формулу:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)

Расчеты

Приступаем к расчетам. Из открытых источников нам известно, что:

• Средний радиус Земли R = 6371210 м.

• Экваториальный радиус Земли R_Э = 6378,245 м.

• Полярный радиус Земли R_П = 6356,830 м.

Я для расчетов взял средний радиус. Естественно нужно помнить, что земля все-таки не идеальная сфера, поэтому погрешность есть и в этих расчетах, но для нашей задачи это допустимая погрешность.

Я написал небольшой код для проверки вычислений, и для того, чтобы я мог взять числа и проверить их на реальных данных.

В коде я сразу установил константу расстояния, радиуса земли и принял решение все считать в метрах, поскольку данные я нашел в метрах и лень было разделить их на 1000, да и в метрах казалось, что точность немного выше, чем в километрах с округлением.

Суть этого кода в следующем. Мы не забываем перевести градусы координат в радианы, поскольку формула из википедии рассчитана на радианы. Мы вычисляем дельту ширины и долготы одинаково по одной и той же формуле, поскольку мы условились что у нас идеальный шар и эта погрешность нам допустима. С помощью формулы мы узнаем сколько градусов у нас в одном километре, а дальше простая пропорция.

1 градус — 63046.689652997775 метровX градусов — 200000 метров

Если 1 градус, соответствует 63046.689652997775 метров (для широты вычисленной из координаты), то 20000 метров соответсвует X. Дальше, как в школе учили, наискосок умножаем на оставшееся делим. И так как там у нас получается умножение на 1, то это действие можно упустить и записать как `DISTANCE / deltaLat`. Тоже самое проделываем для координаты долготы. На этих конкретных координатах получаются числа 0.31722522007226484 и 0.22583381380662185. По сути это и есть числа, готовые прибавляться к координатам, чтобы получить тот самый заветный квадрат.Теперь мы можем добавить эти числа в SQL запрос, чтобы посмотреть, что за выборка у нас получится:

Ну и в моей выборке оказалось 7 объектов. Конечно я взял эту выборку и проверил координаты с помощью линейки на Яндекс Картах. В моем случае все попали в радиус обозначенных 20км. Но мы же помним, что взяли квадрат, а не окружность для вычисления?! Я там даже схему нарисовал в начале, что за квадрат. Итак, если сделать окружность, внутри этого квадрата, она как раз будет радиусом примерно те же 20 км.

Я добавил картинку для наглядности. Видно, что если высота квадрата 40 км, и в нем окружность, то радиус ее тоже будет соответствовать 20 км. Остаются лишние области — углы квадрата, которые я закрасил зеленым. Это то что у нас может попасть в выборку, но они уже не соответствуют именно радиусу в 20 км. Т.е. это лишние данные. И вот тут приходит на помощь та самая формула, о которой я говорил в начале — Расчет расстояния между координатами. С помощью этой формулы можно сравнить исходную точку с координатами из выборки и отсечь те, что будут превышать те самые 20 км, поставленные в задаче.

Коллинеарность векторов

Напомним, что если два вектора а и b коллинеарны друг другу, то должно существовать такое число k, что

Полученное отношение (1) является одновременно и признаком коллинеарных векторов, и их свойством. Слово «признак» означает, что любые вектора, чьи координаты соответствуют условию (1), будут коллинеарны. Слово «свойство» означает обратное – если известно, что вектора коллинеарны, то для них обязательно выполняется условие (1). В таких случаях в математике может использоваться словосочетание «тогда и только тогда»:

Очень важно то, что это правило действует только в случае, если все коорд-ты векторов ненулевые. Теперь рассмотрим случай, когда какие-то коорд-ты вектора b (одна или две из них) равны нулю

Например, пусть

В результате мы выяснили, что если коорд-та одного вектора нулевая, то и у любого вектора, коллинеарному ему, эта же коорд-та также должна быть нулевой. Особняком стоит случай с нулевым вектором с коорд-тами {0; 0; 0}. Он условно признается коллинеарным любому вектору.

Задание. Выясните, какие из этих пар векторов коллинеарны:

Решение. В первом задании просто делим друг на друга соответствующие коорд-ты и находим значение коэффициента k:

Значение коэффициента k оказалось одинаковым для каждой пары коорд-т, значит, вектора коллинеарны.

Повторяем эти действия в задании б):

На этот раз коэффициенты k оказались различными, значит, вектора неколлинеарны.

В задании в) у вектора е коорд-та z нулевая. Значит, если и у вектора f, если он коллинеарен z, эта координата должна быть нулевой, но это не так. Значит, вектора e и f неколлинеарны.

В задании г) снова указаны вектора с нулевыми коорд-тами. Но у обоих векторов коорд-та z нулевая, поэтому они могут быть коллинеарными. Однако необходимо проверить, что отношение ненулевых координат одинаково:

Коэффициент k получился одинаковым, поэтому вектора коллинеарны.

В последнем задании д) вектор n – нулевой, ведь все его коорд-ты нулевые. Нулевой вектор всегда коллинеарен другим векторам, в том числе и в этом задании.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.

Задание. Выясните, располагаются ли на одной прямой точки А(3; 5; 12), В(5; 7; 16) и С(0; 2; 6).

Решение. Ясно, что если эти точки находятся на одной прямой, то вектора АВ и ВС будут коллинеарными. Если же эти вектора неколлинеарны, то и точки должны находиться на разных прямых.

Сначала вычислим коорд-ты векторов АВ и ВС:

Теперь проверяем, коллинеарны ли эти вектора:

Коэффициенты k одинаковы, а потому АВ и ВС – коллинеарные векторы. Значит, точки А, В и С находятся на одной прямой.

Плоскость — как «обобщение» прямой

Однако с пространством не все так просто.

Как ты понимаешь, добавление еще одной координаты вносит существенное разнообразие в спектр фигур, «живущих» в этом пространстве. И для дальнейшего повествования мне потребуется ввести некоторое, грубо говоря, «обобщение» прямой.

Этим «обобщением» будет плоскость. Что ты знаешь про плоскость? Попробуй ответить на вопрос, а что такое плоскость? Очень сложно сказать.

Однако мы все интуитивно представляем, как она выглядит:

Грубо говоря, это некий бесконечный «лист», засунутый в пространство. «Бесконечность» следует понимать, что плоскость распространяется во все стороны, то есть ее площадь равна бесконечности.

Однако, это объяснение «на пальцах» не дает ни малейшего представления о структуре плоскости. А нас будет интересовать именно она.

Давай вспомним одну из основных аксиом геометрии: через две различные точки на плоскости проходит прямая, притом только одна.

Или ее аналог в пространстве: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом только одна.

Выбор системы координат

Ну вот, теперь у нас есть весь необходимый фундамент знаний, чтобы решать сложные стереометрические задачи по геометрии.

Однако прежде чем приступать непосредственно к примерам и алгоритмам их решения, я считаю, что будет полезно остановиться еще вот на каком вопросе: как именно выбирать систему координат для той или иной фигуры.

Ведь именно выбор взаимного расположения системы координат и фигуры в пространстве в конечном счете определит, насколько громоздкими будут вычисления.

Я напомню, что в этом разделе мы рассматриваем следующие фигуры:

• куб;
• Прямоугольный параллелепипед;
• Прямая призма (треугольная, шестиугольная…);
• Пирамида (треугольная, четырехугольная);
• Тетраэдр (одно и то же, что и треугольная пирамида).

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.

Решение 

Обозначим середину отрезка AB точкой C. Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B.

xC=xA+xB2=-7+22=-52yC=yA+yB2=3+42=72

Ответ: координаты середины отрезка АВ-52, 72.

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника АВС А (-1,), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.

Решение

1. По условию задачи AM – медиана, а значит M является точкой середины отрезка BC. В первую очередь найдем координаты середины отрезка BC, т.е. точки M:

xM=xB+xC2=3+92=6yM=yB+yC2=2+(-8)2=-3

1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы АМ:

AM=(6-(-1))2+(-3-)2=58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Заданы координаты точки C1(1, 1, ), а также определена точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: xM=xA+xC12 ⇒xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12⇒yA=2·yM-yC1=2·2-1=3zM=zA+zC12⇒zA=2·zM-zC1=2·(-4)-=-8

Ответ: координаты точки А (7,3,-8).

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Векторное произведение векторов

И если скалярным произведением двух векторов и будет число, то векторным произведением двух векторов \( \vec{a}\) и \( \vec{b}\) будет вектор \( ~\vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{b}\), причем данный вектор будет перпендикулярен к заданным:

Причем его модуль будет равен площади параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a}\) и \( \vec{b}\).

Данный вектор понадобится нам для вычисления расстояния от точки до прямой. Как же нам считать векторное произведение векторов \( \vec{a}\) и \( \vec{b}\), если их координаты заданы?

На помощь к нам опять приходит определитель третьего порядка.

Однако, прежде чем я перейду к алгоритму вычисления векторного произведения, я вынужден сделать небольшое лирическое отступление.

Данное отступление касается базисных векторов.

Базисными векторами в трехмерном пространстве называются три вектора:

\( \vec{i}\left( 1,0,0 \right),~\vec{j}\left( 0,1,0 \right),~\vec{k}\left( 0,0,1 \right)\)Схематично они изображены на рисунке:

Как ты думаешь, а почему они называется базисными? Дело в том, что любой вектор в трехмерном пространстве можно представить через сумму трех базисных векторов:

\( \vec a\left( {x,y,z} \right) = x \cdot \vec i + y \cdot \vec j + z \cdot \vec k.\)Или на картинке:

Справедливость этой формулы очевидна, ведь:

Метод координат (продвинутый уровень)

Мы с тобой продолжаем изучать метод координат. В прошлой части мы вывели ряд важных формул, которые позволяют:

• Находить координаты вектора;
• Находить длину вектора (альтернативно: расстояние между двумя точками);
• Складывать, вычитать векторы. Умножать их на вещественное число;
• Находить середину отрезка;
• Вычислять скалярное произведение векторов;
• Находить угол между векторами.

Конечно, в эти 6 пунктов не укладывается весь координатный метод.

Он лежит в основе такой науки, как аналитическая геометрия, с которой тебе предстоит познакомиться в ВУЗе. Я лишь хочу построить фундамент, который позволит тебе решать задачи ЕГЭ любого уровня сложности!

Этот раздел будет посвящен методу решения тех задач, в которых будет разумно перейти к методу координат. Эта разумность определяется тем, что в задаче требуется найти, и какая фигура дана.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Давай рассмотрим теперь следующую задачу: у нас есть две точки на координатной плоскости. Как найти расстояние между ними?

Пусть первая точка будет \( {{P}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}})\), а вторая \( {{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\).

Обозначим расстояние между ними через \( d\). Давай сделаем для наглядности следующий чертеж:

Что я сделал?

Я, во-первых, соединил точки \( {{P}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\) и \( {{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\).

А также из точки \( {{P}_{1}}\) провел линию, параллельную оси \( Ox\), а из точки \( {{P}_{2}}\) провел линию, параллельную оси \( Oy\).

Они пересеклись в точке \( R\), образовав при этом замечательную фигуру. Чем она замечательна?

Да мы с тобой почти что все знаем про прямоугольный треугольник. Ну уж теорему Пифагора – точно!

Искомый отрезок – это гипотенуза этого треугольника, а отрезки \( {{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) – катеты.

Чему равны координаты точки \( R\)?

Да, их несложно найти по картинке: \( R\left( {{x}_{2}},{{y}_{1}} \right).~\)

Так как отрезки \( {{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) параллельны осям \( Ox\) и \( Oy\) соответственно, то их длины легко найти: если обозначить длины отрезков \( {{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) соответственно через \( \left| {{P}_{1}}R\left| ,~ \right|{{P}_{2}}R \right|\), то\( \left| {{P}_{1}}R \right|={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\)\( \left| {{P}_{2}}R \right|={{y}_{2}}-{{y}_{1}}\)Теперь воспользуемся теоремой Пифагора. Длины катетов нам известны, гипотенузу мы найдем:

Легко заметить, что расстояние между точками не зависит от направления.

Тогда:

Отсюда делаем три вывода:

• Длина вектора = корень из суммы квадратов его координат;
• Найти расстояние между двумя точками = найти длину вектора, их соединяющего (в любом направлении);
• Длины векторов, соединяющих две точки в разном направлении, равны.

Ломаная линия

Определение

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Рис. 12 Ломаная линия

Вершинами ломаной линии называются концы отрезков, из которых она состоит.Звеньями ломаной линии называются составляющие ее отрезки.Смежные звенья – это звенья, которые имеют общие вершины.Смежные звенья принадлежать одной прямой.Длина ломаной линии – это сумма длин всех входящих в ее состав звеньев.

На рисунке 12 видно, что:

• KLMN – ломаная линия;
• K, L, M, N – вершины ломаной KLMN;
• KL, LM, MN – звенья ломаной KLMN;
• KL и LM – смежные звенья;
• LM и MN – смежные звенья;
• KL и MN – не являются смежными звеньями.

Называют ломаную линию по названию ее вершин, соблюдая их последовательность. Так, называть ломаную на рисунке 11 как KLMN или NMLK– , а MLKN или MNLK – .

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Название разомкнутой ломаной начинается с названия вершины, с которой она начинается. Замкнутую ломаную можно называть, начиная с любой ее вершины.

На рисунке 12:

• ABCDE
  — замкнутая ломаная;
• FGHKLM
  — разомкнутая ломаная

Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии

Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя
бы два пересекающихся звена.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.

Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии

На рисунке 13 у замкнутой ломаной ABCD два пересекающихся звена: BC ∩DA, а у разомкнутой ломаной EFGHI – три: EF ∩HI и FG ∩HI.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Для треугольника со сторонами a,b,ca, b, ca,b,c и углами α,β\alpha, \betaα,β и γ,\gamma,γ, противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:

b=a2+c2−2a⋅c⋅cos(β),b=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos (\beta),b=a2+c2−2a⋅c⋅cos(β), a=b2+c2−2b⋅c⋅cos(α),a=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos (\alpha),a=b2+c2−2b⋅c⋅cos(α), c=a2+b2−2a⋅b⋅cos(γ).c=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos (\gamma).c=a2+b2−2a⋅b⋅cos(γ).

Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.

Пример 1

Длины векторов KL⃗\vec{KL}KL и KM⃗\vec{KM}KM равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен π4.\frac{\pi }{4}.4π​. Вычислите длину вектора LM⃗.\vec{LM}.LM.

Длина вектора LM⃗\vec{LM}LM равна длине стороны LMLMLM в треугольнике LMKLMKLMK. Также нам известны стороны KLKLKL и KMKMKM треугольника LMKLMKLMK. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону LMLMLM треугольника △KLM.\triangle KLM.△KLM.

LM2=KL2+KM2−2KL⋅KM⋅cos⁡∠LKM.LM^2=KL^2+KM^2-2KL\cdot KM\cdot \cos \angle LKM.LM2=KL2+KM2−2KL⋅KM⋅cos∠LKM.LM2=22+42−2⋅2⋅4⋅cos⁡π4=4+16−82=20−82.LM^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot4\cdot \cos \frac{\pi }{4}=4+16-8\sqrt{2}=20-8\sqrt{2}.LM2=22+42−2⋅2⋅4⋅cos4π​=4+16−82​=2−82​.LM=20−82.LM=\sqrt{20-8\sqrt{2}}.LM=2−82​​.∣LM⃗∣=20−82.|\vec{LM}|=\sqrt{20-8\sqrt{2}}.∣LM∣=2−82​​.

Система координат

С чего было бы логично начать обсуждение метода координат? Наверное, с понятия системы координат. Вспомни, когда ты с нею впервые столкнулся.

Мне кажется, что в 7 классе, когда ты узнал про существование линейной функции \( y=ax+b\), например, \( y=2{x}-3\).

Напомню, ты строил ее по точкам. Помнишь?

Ты выбирал произвольное число \( x\), подставлял ее в формулу \( y=2{x}-3\) и вычислял таким образом \( y\).

Например, если \( x=0\), то \( y=2\cdot 0-3=-3\), если же \( x=1\), то \( y=2\cdot 1-3=-1\)и т. д.

Что же ты получал в итоге?

А получал ты точки с координатами: \( A\left( 0,-3 \right)\) и \( B\left( 1,-1 \right)\).

Далее ты рисовал «крестик» (систему координат \( X0Y\)), выбирал на ней масштаб (сколько клеточек у тебя будет единичным отрезком) и отмечал на ней полученные тобою точки, которые затем соединял прямой линией, полученная линия и есть график функции \( y=2{x}-3\).

Тут есть несколько моментов, которые стоит объяснить тебе чуть подробнее:

Глава 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

Расстояние d между двумя точками
(,
,
)
и
(,
,
)
в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z
точки М, которая делит отрезок , ограниченный
точками
(,
,
) и
(,
,
), в отношении ,
определяется по формулам

,
,
.

В частности, при имеет координаты
середины данного отрезка:

,
,
.

Даны точки A(1; -2; -3), B(2; -3; 0), C(3; 1;
-9), D(-1; 1; -12). Вычислить расстояние между 1). А и С, 2). B
и D, 3). C и D.

Вычислить
расстояния от начала координат О до точек A(4; -2; -4),
B(-4; 12; 6), C(12; -4; 3), D(12; 16; -15).

Доказать, что
треугольник с вершинами A(3; -1; 2), B(0; -2; 2), C(-3; 2; 1)
равнобедренный.

Доказать, что
треугольник с вершинами A₁(3; -1;
6), A₂(-1; 7; -2), A₃(1; -3; 2) прямоугольный.

Определить, есть ли
тупой угол среди внутренних углов треугольника с
вершинами M₁(4; -1; 4), M₂(0; 7; -4),
M₃(3; 1; -2).

Доказать, что
внутренние углы треугольника M(3; -2; 5), N(-2; 1; -3), P(5; 1;
-1) острые.

На ось абсцисс
найти точку, расстояние от которой до точки А(-3; 4;
равно 12.

На оси ординат
найти точку, равноудаленную отточек А(1; -3; 7) и В(5;
7; -5).

Найти центр C и
радиус R шаровой поверхности, которая проходит
через точку P(4; -1; -1) и касается всех трех
координатных плоскостей.

Даны вершины M₁(3; 2; -5), M₂(1; -4; 3), M₃(-3; 0; 1) треугольника. Найти середины его
сторон.

Даны вершины A(2; -1; 4).
B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его
медианы, проведенной из вершины А.

Центр масс
однородного стержня находится в точке С(1; -1; 5),
один из его концов есть точка A(-2; -1; 7). Определить
координаты другого конца стержня.

Даны две вершины A(2;
-3; -5), B(-1; 3; 2) параллелограмма ABCD и точка
пересечения его диагоналей E(4; -1; 7). Определить
две другие вершины этого параллелограмма.

Даны три вершины A(3;
-4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3) параллелограмма ABCD. Найти его
четвертую вершину D, противоположную B.

Даны три вершины A(3;
-1; 2), B(1; 2; -4), C(-1; 1; 2) параллелограмма ABCD. Найти его
четвертую вершину D.

Отрезок прямой,
ограниченный точками A(-1; 8; 3), B(9; -7; -2), разделен
точками C, D, E. F на пять равных частей. Найти
координаты этих точек.

Определить
координаты концов отрезка, который точками C(2; 0;
2), D(5; -2; 0) разделен на три равные части

Даны вершины
треугольника A(1; 1; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Вычислить
длину биссектрисы его внутреннего угла при
вершине B.

Даны вершины
треугольника A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Вычислить
длину биссектрисы его внутреннего угла при
вершине А.

В вершинах
тетраэдра A(x₁, y₁, z₁),
B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃),
D(x₄, y₄, z₄) сосредоточены
равные массы. Найти координаты центра масс этой
системы.

В вершинах
тетраэдра A₁(x₁, y₁, z₁),
A₂(x_, y₂, z₂), A₃(x₃, y₃,
z₃), A₄(x₄, y₄, z₄) сосредоточены массы m₁, m₂,
m₃, m₄. Найти координаты
центра масс этой системы.

Прямая проходит
через две точки M₁(-1; 6; 6) и M₂(3; -6; -2). Найти
точки ее пересечения с координатными
плоскостями.

Текст издания: Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998Решение задач: 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/, http://kirill-kravchenko.narod.ru/

Формулы координат середины отрезка

Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:
В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы  чудесным образом преображаются в нечто знакомое  и простое:

Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:

В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.

Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины  выражаются формулами:

Пример 7

Параллелограмм  задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.

Решение: Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.

По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения  делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.

Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :

В результате:

Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :

Таким образом:

Ответ:

Пространственный отрезок для самостоятельного решения:

Пример 8

Даны точки . Найти середину  отрезка .

Вычисления не самые простые получились, числа с ходу придумал. Решение в конце урока.

Как видите, задача деления отрезка пополам настолько прозрачна, что доступна и пятикласснику. На практике середину отрезка чаще всего находят, чтобы составить уравнение медианы треугольника. Но это уже тема другой статьи

Не вижу смысла открывать трёхлитровую банку примеров, поэтому заключительный аккорд урока – случай, когда известна середина отрезка и один из его концов:

Пример 9

Точка  делит отрезок  пополам. Найти точку , если известны точки

Решение: Используем формулы координат середины отрезка:

Нам неизвестны координаты . И снова можно вывести общую формулу для их нахождения, но гораздо легче сразу подставить числа. Только пропорциями верти:

Ответ:

Проверка выполняется даже устно: берём концы отрезка  и находим его середину.

Удачного распила!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: а) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:Ответб) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:Ответ

Пример 4: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:Из условия следует, что .

Примечание: формулировка условия «отрезок  в полтора раза короче отрезка » эквивалентна формулировке «отрезок  в полтора раза длиннее отрезка », именно из этих соображений и составлена пропорция.

По условию , таким образом:Ответ

Пример 6: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:В данной задаче .Таким образом:Ответ

Пример 8:  Решение: Используем формулы координат середины отрезка:Ответ

(Переход на главную страницу)

Метод координат в пространстве

Для этого необходимо рассмотреть, как найти длину вектора. Именно он и будет являться отрезком в евклидовом пространстве. Находится он почти таким же образом, как длина отрезка на плоскости. Построение вектора происходит в разных плоскостях
. Как найти длину вектора?

1. Найдите координаты вектора, для этого из координат его конечной точки нужно вычесть координаты его начальной точки.
2. После этого нужно возвести каждую координату вектора в квадрат.
3. Затем складываем квадраты координат.
4. Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов координат.

Рассмотрим алгоритм вычисления на примере. Необходимо найти координаты вектора АВ. Точки А и В имеют следующие координаты: А (1;6;3) и В (3;-1;7). Начало вектора лежит в точке А, конец расположен в точке В. Таким образом, чтобы найти его координаты, необходимо вычесть координаты точки А из координат точки В: (3 — 1; -1 — 6;7 — 3) = (2;-7;4).

Теперь возводим каждую координату в квадрат и складываем их: 4+49+16=69. И наконец, извлекает квадратный корень из данного числа. Его трудно извлечь, поэтому результат записываем таким образом: длина вектора равна корню из 69.

Если же вам не важно самому высчитывать длину отрезков и векторов, а нужен просто результат, то вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором, например, этим. Теперь, изучив данные способы и рассмотрев представленные примеры, вы без проблем сможете найти длину отрезка в любой задаче

Теперь, изучив данные способы и рассмотрев представленные примеры, вы без проблем сможете найти длину отрезка в любой задаче.

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание:
Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Решение:
по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор
, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём
– вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно)

Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате: Готово.

Вывод:
если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Пример 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат каждая точка имеет три координаты. Зная координаты двух точек, можно определить расстояние между этими двумя точками.

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (х_А;у_А) и В(х_B;у_B).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

а) М(2; 7) и К(6; 8);

б) М(5; 1) и К(2; 10);

в) М(0; и К(9; -5).

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m{5; – 6}. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (х_к; у_к). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (х_к; у_к), коор-ты можно вычислить так:

x = x_k — 8

y = y_k — 15

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

5 = x_k — 8

-6 = y_k — 15

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

5 = x_k — 8

x_k = 5 + 8 = 13

-6 = y_k — 15

y_k = -6 + 15 = 9

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Ответ:(13; 9).