Равномерное вращение
Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол,
то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:
где $(\varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.
Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот
($\Delta \varphi=2 \pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:
С числом оборотов в единицу времени ($\nu) угловая скорость связана формулой:
Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения,
но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно
с данной мгновенной величиной скорости.
Нормальное ускорение
При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.
При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.
an=∆v→∆t, ∆t→
Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:
an=v2R=ω2R
Докажем эти соотношения.
Рассмотрим, как изменяется вектор v→ за малый промежуток времени ∆t. ∆v→=vB→-vA→.
В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.
По определению ускорения:
a→=∆v→∆t, ∆t→
Взглянем на рисунок:
Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что OAAB=BCCD.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Если значение угла ∆φ мало, расстояние AB=∆s≈v·∆t
Принимая во внимание, что OA=R и CD=∆v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:. Rv∆t=v∆v или ∆v∆t=v2R
Rv∆t=v∆v или ∆v∆t=v2R
При ∆φ→, направление вектора ∆v→=vB→-vA→ приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆t→, получаем:
a→=an→=∆v→∆t; ∆t→; an→=v2R.
При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.
Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:
an→=-ω2R→.
Здесь R→ — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.
Примеры решения задач
Задача 1. Ротор центрифуги делает 2•10 4 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.
Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω — εt.
Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω/t = 2πn/t.
Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с), получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с 2 ).
Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ + ωt + εt 2 /2. Учитывая выражение для углового ускорения и то, что φ = 0, находим: φ(t)= ωt/2 = πnt.
Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8•10 4 (об.).
Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с 2 ; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8•10 4 об.
Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.
Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.
Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR 2 = F/mR.
Найдем время, за которое диск остановится: t = ω/ε, где ω — начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.
Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28•2•1•0,2/10 = 2,5 (с).
Ответ: время остановки равно 2,5 с.
Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности, центры которой расположены на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий точек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вращения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение дверей или створок окон при их открывании или закрывании.
Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).
Рис. 7.3. К анализу вращательного движения твердого тела
Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.
Для установления закона вращательного движения тела, по которому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полуплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, которая вращается около оси вместе с телом, теперь угол φ, образуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве (см. рис. 7.3). Угол φ называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота φ и временем t, т. е. знать закон вращательного движения тела:
Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.
Представим, что в некоторый момент времени t положение вращающегося тела определяется углом поворота φ, а в момент t + Δt – углом поворота φ + Δ φ. Следовательно, за время Δt тело повернулось на угол Δ φ, и величина
называется средней угловой скоростью.
Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение, обозначаемое . Среднее ускорение ;
.
Единица углового ускорения 1 рад/с 2 .
Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часовой стрелки – отрицательным.
Рис. 7.4. К определению вида вращательного движения
Векторы и – это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора (или ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.
Если векторы и направлены в одну сторону (рис. 7.4, а), то вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрастает. Если векторы и направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается (рис. 7.4, б).
Момент сил
Если, рассматривая физическую проблему, мы имеем дело не с материальной точкой, а с твердым телом, то действие нескольких сил на него, приложенных к различным точкам этого тела, нельзя свести к действию одной силы. В этом случае рассматривают момент сил.
Моментом силы называют произведение силы на плечо. Это векторная величина, и ее находят по формуле: M = RFsinα, где α — угол между векторами R и F. Если на тело действует несколько моментов сил, то их действие можно заменить их равнодействующей, векторной суммой этих моментов: M = M1 + M2 + …+ Mn.
Эксперименты и опыт показывают, что под действием момента силы угловая скорость тела меняется, то есть тело имеет угловое ускорение. Выясним, как зависит угловое ускорение материальной точки (совокупности материальных точек) от приложенного момента сил: F = mɑ, RF = Rma = R 2 mβ, β= M/mR 2 = M/I, где I = mR 2 — момент инерции материальной точки. Заметим, что момент инерции тела имеет зависимость как от массы тела, так и от расположения этой массы относительно оси вращения.
Число оборотов
Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.
Единица СИ частоты (или числа оборотов)
В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.
Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.
Если n — число оборотов, f — частота, T — продолжительность одного оборота, период, ? — угловое перемещение, N — полное число оборотов, t — время, продолжительность вращения, ? — угловая частота,
то
Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2?:
Угловая скорость
Из формулы для одного оборота следует:
Обратите внимание:• формулы справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N
Общие сведения
Первая лекция для студентов, изучающих кинематику, начинается с рассмотрения тангенциального ускорения, характеризуемого произвольным движением. По сути, рассматривается неравномерное прямолинейное движение общего вида. Кинематика входит в механику и изучает перемещение объектов без учёта сил, вызвавших их движение. Под перемещением понимают изменение положения в пространстве по отношению к другому физическому телу, которое и считается точкой отсчёта. Если изменение положения связать с координатами и временем, то образуется система отсчёта. С её помощью можно определить положение объекта в любой момент.
В кинематике любые процессы принято рассматривать, приняв тело за материальную точку. То есть его размерами и формой пренебрегают. При изменении за какой-то промежуток времени точка проходит путь, описывающийся линией — траекторией. Она является скалярной величиной, а само перемещение — векторной. Движение материальной точки может происходить с разной скоростью и ускорением. Быстроту движения разделяют на среднюю и мгновенную. Вторая определяется как предел, к которому стремится скорость на бесконечно малом временном интервале: v = Δs / Δt (Δt → 0).
Перемещение может происходить с ускорением. Это физическая величина, определяющая изменение быстроты перемещения. Иными словами, показывает изменение положения за единицу времени. Измеряется она в метрах на секунду в квадрате. В кинематике существует три вида ускорения:
- Тангенциальное — направленное вдоль касательного пути точки в определённый момент. Из-за происхождения слова его часто называют касательным.
- Нормальное — совпадающее с нормалью траектории изменения положения.
- Полное — определяющееся суммой тангенциального и нормального ускорений.
Общие сведения
Угловое ускорение тела, движущегося по окружности, определяет насколько изменяется скорость движения этого тела по окружности. Эту скорость также называют угловой скоростью. Когда мы говорим, что тело движется по окружности с ускорением, это может означать, что скорость уменьшается или увеличивается, но ускорение также может быть вызвано изменением направления движения. Движение по окружности характеризуется угловым ускорением, в то время как движение по прямой — линейным.
Оранжевое тело двигается по окружности с угловым ускорением A, которое обозначено розовым цветом. Тангенциальная скорость этого тела — B (темно-синяя). Кроме силы, толкающей тело, на него также действует центростремительная сила C (фиолетовая), которая направлена в центр вращения. Эта сила создает центростремительное ускорение D (голубое), которое также направлено в центр вращения
Угловое ускорение часто путают с центростремительным ускорением, которое вызвано центростремительной силой. Эта путаница происходит из-за того, что и угловое и центростремительное ускорение используют для описания движения по окружности. На рисунке центростремительная сила обозначена фиолетовым цветом (C), а центростремительное ускорение — голубым (D). В отличие от углового ускорения, центростремительное обозначает изменение скорости по касательной. Эту скорость также называют тангенциальной скоростью, то есть мгновенной линейной скоростью тела по касательной к окружности в точке, где тело в это время находится. На рисунке эта скорость обозначена темно-синим цветом (B).
Угловое ускорение параллельно силе, которая вызывает движение по окружности, и перпендикулярно радиусу вращения. На нашем рисунке угловое ускорение обозначено розовым цветом (A). Центростремительное ускорение, напротив, направлено к центру вращения, то есть перпендикулярно направлению движения тела. Из этого следует, что угловое ускорение перпендикулярно центростремительному.
Американские горки
Отличие углового и центростремительного ускорения также в силах, которыми оно ускорение вызвано. Как мы уже говорили, центростремительное ускорение зависит от центростремительной силы. Эта сила всегда направлена к центру вращения, и заставляет тело двигаться по окружности. Классический пример действия этой силы — в американских горках. Именно центростремительная сила не позволяет кабинкам упасть вниз, даже когда они движутся в перевернутом положении по окружности. Угловое ускорение, с другой стороны, вызвано силой, толкающей тело вперед.
Вычисляя угловое ускорение, также необходимо не перепутать его с центростремительным. Чтобы найти центростремительное ускорение, квадрат мгновенной линейной скорости делят на радиус вращения. Под радиусом вращения мы подразумеваем расстояние от тела до центра вращения. Из приведенной выше формулы следует, что чем больше радиус, тем меньше центростремительное ускорение. Угловое ускорение можно найти, поделив момент силы на момент инерции. Здесь под моментом силы мы подразумеваем свойство тел, благодаря которому они начинают вращаться, если к ним приложить силу. Момент инерции — наоборот мера инертности твердых тел при вращательном движении. То есть, зависимость между вращением тела и противодействием этому вращению аналогична подобной зависимости для прямолинейного движения, которая описана во втором законе Ньютона: F = ma, где a — это линейное ускорение, F — это сила, которая вызывает движение по прямой, а m — масса тела, которая как раз и влияет на то, как сильно тело противостоит движению.
Факторы, влияющие на угловое ускорение
Описанная выше зависимость между угловым ускорением, моментом силы и моментом инерции говорит о том, что. изменяя момент силы и момент инерции, мы можем манипулировать ускорением. То есть, чтобы ускорить движение тела нам необходимо увеличить силу, вызывающую движение по окружности, или уменьшить момент инерции, то есть сопротивление этому движению. Какую из этих двух величин изменить — зависит от ситуации, так как иногда проще изменить одну, а иногда — другую. Момент инерции зависит от веса и формы тела. Под формой подразумевается радиус от центра вращения до самой удаленной точки тела. Поэтому в некоторых случаях имеет смысл изменить вес или форму тела, чтобы не тратить дополнительную энергию на увеличение силы. В других случаях, наоборот, изменить форму или вес нет возможности, поэтому более целесообразно увеличить силу.
Основные понятия
Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.
Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 – t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 – ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: » open=» ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .
Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.
Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с – 2 ) .
Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.
Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.
В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.
Рисунок 1 . Вектор углового ускорения
Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть рисунка 1 ).
Закон равнопеременного вращения
Определение 5
Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).
Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t угол вращения равен ϕ=ϕ; угловая скорость — ω=ω (т.е. ω является начальной угловой скоростью).
Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω до ω, а правую – в пределах от до t, тогда:
ω=ω+εt, dφ=ωdt+εtdt.
Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:
Определение 6
Закон равнопеременного вращения: φ=φ+ωt+εt22.
Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.
Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.
Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.
Основные законы и формулы, применяемые при решении задач
Вращательное движение вокруг неподвижной оси
Рассмотри твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси . Сделаем рисунок. Ось вращения направим перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Пусть – угол поворота тела вокруг оси, отсчитываемый от некоторого начального положения. За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. Угловая скорость равна производной угла поворота по времени . При , тело вращается против часовой стрелки; при – по часовой. Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.
Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени:. Вектор углового ускорения также направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.
Скорость точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси
Рассмотрим точку , принадлежащую твердому телу. Опустим из нее перпендикуляр на ось вращения. Пусть – расстояние от точки до оси. Траекторией движения точки является окружность (или дуга) с центром в точке радиуса .
Абсолютное значение скорости точки определяется по формуле:. Вектор скорости направлен по касательной к траектории (окружности), перпендикулярно отрезку . При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор угловой скорости .
Касательное (или тангенциальное) ускорение точки определяется аналогично скорости:. Оно направлено по касательной к окружности, перпендикулярно . При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор углового ускорения .
Ускорение точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси
Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности и имеет абсолютную величину.
Полное ускорение точки , или просто ускорение, равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:. Поскольку векторы и перпендикулярны, то абсолютная величина ускорения точки определяется по формуле:.
Поступательное прямолинейное движение
Теперь рассмотрим прямолинейное поступательное движение тела. Направим ось вдоль его линии движения. Пусть есть перемещение тела вдоль этой оси относительно некоторого начального положения. Тогда скорость движения всех точек тела равна производной перемещения по времени:. При , вектор скорости направлен вдоль оси . При – противоположно этой оси.
Ускорение точек тела равно производной скорости по времени, или второй производной перемещения по времени:. При , вектор ускорения направлен вдоль оси . При – противоположно.
Соприкосновение тел без проскальзывания
Рассмотрим два тела, находящиеся в зацеплении без проскальзывания. Пусть точка принадлежит первому телу, а точка – второму. И пусть, в рассматриваемый момент времени, положения этих точек совпадают. Тогда, если между телами нет проскальзывания, то скорости этих точек равны:. Если каждое из тел вращается вокруг неподвижной оси, то равны соответствующие касательные ускорения:. Если одно из тел движется поступательно (пусть это второе тело), то ускорение его точек равно касательному ускорению точки соприкосновения первого тела:.
ссылки
- Ресник, Холлидей и Крейн (2002). Физика Том 1. Cecsa.
- Томас Уоллес Райт (1896). Элементы механики, включая кинематику, кинетику и статику. E и FN Spon.
- П. П. Теодореску (2007). «Кинематика». Механические системы, Классические модели: Механика частиц. прыгун.
- Кинематика твердого тела. (Н.Д.). В википедии. Получено 30 апреля 2018 г. с сайта es.wikipedia.org..
- Угловое ускорение. (Н.Д.). В википедии. Получено 30 апреля 2018 г. с сайта es.wikipedia.org..
- Резник, Роберт и Холлидей, Дэвид (2004). 4-я Физика. CECSA, Мексика
- Serway, Раймонд А.; Джеветт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е издание). Брукс / Коул.
Вывод формулы
Для доказательства формулы необходимо рассмотреть плоскую систему координат, в которой материальная точка изменяет своё положение по криволинейной траектории. В начальный момент её скорость будет равняться V0. Через некоторое время она изменится и станет V. На графике в плоском измерении это можно представить в виде синусоиды. В определённый момент времени скорость превышает начальную: V > V0. На схеме вектор нулевой скорости направлен из точки t0 вверх по касательной, а вектор V с нижней точки синусоиды параллельно оси ординаты.
Исходя из графика, можно сделать два вывода:
- Через промежуток времени Δt скорость изменяется как по направлению, так и по модулю: Δt = t — t0.
- Вектор изменения скорости, определяемый по правилу треугольника, будет равняться разности существующей скорости на данный момент и начальной: Δv = v — v0.
Для того чтобы построить вектор изменения Δv, нужно из конечной точки отрезка V0 провести линию к рассматриваемой точки, характеризующейся во времени скоростью V. Вершины полученного треугольника можно обозначить буквами ABD. Из верхнего угла B на сторону AD можно опустить медиану. Точка пересечения со стороной пусть будет C. Получается, что вектор Δv можно разложить на две составляющие — отрезки BC и СD. Причём медиана равняется Δvn, а изменение по оси ординаты Δvt.
Для разложения необходимо использовать вектор АС, длина которого совпадает с Vo по модулю: |AC| = |AB| = V0. Так как Δvn — результирующий вектор, то его можно вычислить через сумму: Δv = Δvn + Δvt. Причём первый член в равенстве характеризует изменение быстроты за промежуток времени по направлению, а второй — по модулю. Исходя из того, что t не равняется нулю, на него можно разделить левую и правую часть равенства: Δv / Δt = Δvn / Δt + Δvt / Δt. Если дельта-времени стремится к нулю, то формулу можно переписать в виде: lim Δv / Δt = lim Δvn / Δt + lim Δvt / Δt.
Учитывая связь между ускорениями и то, что полное значение состоит из суммы изменения быстроты движения по модулю и направлению, можно утверждать о верности формулы: a = at + an. Так как направление векторов ускорения и скорости всегда совпадают, то последний можно представить, как параметр, состоящий из двух взаимно перпендикулярных компонент:
- at — тангенциальной составляющей, совпадающей с отрезком V;
- an — перпендикулярным по отношению расположения V вектором.
