Как начертить равносторонний треугольник

Как нарисовать треугольник в фотошопе

Базовые уроки / Обучение фотошопу 18898 2 коммент.

В этой статье вы научитесь рисовать в фотошопе разные виды треугольника: равносторонний, равнобедренный, разносторонний и прямоугольный.

Как нарисовать равносторонний треугольник

У равностороннего треугольника все три стороны равны.

Самый простой вариант нарисовать в фотошопе такой треугольник — с помощью инструмента Многоугольник.

Выберите этот инструмент и на панели настроек сразу укажите количество сторон — 3.

Следующим этапом нужно определиться каким должен быть будущий треугольник: векторной фигурой, растровым со сплошной заливкой или нужен только контур. Рассмотри все варианты.

Векторный треугольник

На панели параметров выберите опцию Слой-фигура.

Теперь можно рисовать и сам треугольник. Во время создания вы будете видеть его границы. Это нужно для того, чтобы рассчитать его размеры. Также, пока не отпустили клавишу мыши, можно его крутить.

Векторный треугольник хорош тем, что можно быстро сменить его цвет, а также безболезненно изменить его размеры без потери качества. Для этого вызовете команду Свободного трансформирования — Ctrl+T.

Чтобы позже превратить его в растровый треугольник, используйте команду Растрировать.

Растровый треугольник со сплошной заливкой

Получится такой же треугольник, что и примером выше, но он будет сразу в растре.

Понятие векторного и растрового типа изображения

Для этого на панели параметров нужно выбрать настройку Выполнить заливку пикселов.

Перед созданием такого треугольника, нужно первоначально создать для него новый слой.

https://www.youtube.com/watch?v=UZ5AxBJLKJc

Теперь рисуйте фигуру и она будет как самый обычный элемент растрового изображения.

Как нарисовать контур равностороннего треугольника

Для такой фигуры выберите на панели параметров опцию Контуры.

Рисуйте треугольник. У вас, естественно, получится только его контур. Далее, при этом же выбранном инструменте, сделайте клик правой кнопкой мыши внутри контура. Появится контекстное меню. Выберите команду Образовать выделенную область.

Откроется диалоговое окно. Радиус растушевки оставьте 0. Жмите Ок.

В итоге мы из контура сделали выделенную область.

А теперь, как в примерах с квадратом и кругом, можно сделать обводку выделенной области.

Фотошоп сделал обводку, теперь уберите пунктир выделения, чтобы не мешал — Ctrl+D. Результат:

Как нарисовать равнобедренный треугольник

У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Разберем пример, когда нужно нарисовать равнобедренный треугольник заданных размеров. Допустим, основание 300 пикселей и высота 400 пикселей.

Создадим новый документ в фотошопе, который будет превышать будущие размеры треугольника, например, 600 на 600 пикселей.

Теперь с помощью направляющих и инструмента Линейка наметим габариты треугольника. Для этого сначала создайте горизонтальную направляющую ближе к низу документа (это будет основание). Затем вертикальную направляющую ближе к левому краю (от нее будем считать ширину):

В точке, где будет 300 пикселей проложите еще одну направляющую.

Теперь тоже самое сделаем с измерением высоты, напомню, она 400 пикселей. Отмеряем от нижней направляющей.

Так получили габариты треугольника в соответствии с заданными размерами. Теперь в этом прямоугольнике нужно нарисовать треугольник.

Нужно отметить, где проходит середина. Поскольку ширина 300 пикселей, то середина будет проходить на 150. Отсчитаем это расстояние Линейкой и проведем там еще одну направляющую.

Теперь, начиная с вершины, соединяйте углы треугольника линией. Благодаря направляющим, линия будет примагничиваться четко к центру пересечений, а значит нарисуем фигуру ровно пиксель в пиксель.

Объедините три стороны в один слой.

Для этого выделите их на палитре, а затем вызовете контекстное меню и выберите команду Объединить слои.

Равнобедренный треугольник по заданным размерам нарисован!

В разностороннем треугольнике все стороны различны.

Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».

Из этого мы можем создать зависимость:

«r» — относится к отрезку «AK», как «BM» к «AM»

«AK» и «BM» равны одному и тому же а/2.

«AM» — это у нас высота — «h».

Далее мы можем записать эту зависимость как :

r : а2 =

а2 : h

Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

r * 2а =

а2 * 1h

Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

r = а2 * а2 * 1h

В последней дроби заменяем «h» на наши значение и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

r = а2 * а2 * 1h =

а2 * а2 * 2√3 * а

Парами сокращаем а и 2

r =

а2 * а2 * 2√3 * а

И в итоге получаем :

Характеристики

Треугольник ABC , у которого есть стороны a , b , c , полупериметр s , площадь T , r _a , r _b , r _c (касательные к a , b , c соответственно), а R и r — радиусы и вписанная окружность соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда истинно любое из утверждений в следующих девяти категориях. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, напрямую подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник.

Стороны

• азнак равнобзнак равноc{\ displaystyle \ displaystyle a = b = c}
• 1а+1б+1cзнак равно25рр-2р24рр{\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} = {\ frac {\ sqrt {25Rr-2r ^ { 2}}} {4Rr}}}

Полупериметр

• sзнак равно2р+(33-4)р(Бландон){\ displaystyle \ displaystyle s = 2R + (3 {\ sqrt {3}} — 4) r \ quad {\ text {(Blundon)}}}
• s2знак равно3р2+12рр{\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3r ^ {2} + 12Rr}
• s2знак равно33Т{\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3 {\ sqrt {3}} T}
• sзнак равно33р{\ displaystyle \ displaystyle s = 3 {\ sqrt {3}} r}
• sзнак равно332р{\ displaystyle \ displaystyle s = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} R}

Углы

• Азнак равноBзнак равноCзнак равно60∘{\ Displaystyle \ Displaystyle А = В = С = 60 ^ {\ circ}}
• потому что⁡А+потому что⁡B+потому что⁡Cзнак равно32{\ displaystyle \ displaystyle \ cos {A} + \ cos {B} + \ cos {C} = {\ frac {3} {2}}}
• грех⁡А2грех⁡B2грех⁡C2знак равно18{\ displaystyle \ displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} \ sin {\ frac {B} {2}} \ sin {\ frac {C} {2}} = {\ frac {1} {8 }}}

Площадь

• Тзнак равноа2+б2+c243{\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {4 {\ sqrt {3}}}} \ quad}( Weitzenböck )
• Тзнак равно34(абc)23{\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {^ {\ frac {2} {3}}}}

Circumradius, inradius и exradii

• рзнак равно2р(Чаппл-Эйлер){\ displaystyle \ displaystyle R = 2r \ quad {\ text {(Chapple-Euler)}}}
• 9р2знак равноа2+б2+c2{\ displaystyle \ displaystyle 9R ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}
• рзнак равнора+рб+рc9{\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {r_ {a} + r_ {b} + r_ {c}} {9}}}
• разнак равнорбзнак равнорc{\ displaystyle \ displaystyle r_ {a} = r_ {b} = r_ {c}}

Равные чевианы

Три вида чевианов совпадают и равны для равносторонних треугольников (и только для них):

• Три высоты имеют одинаковую длину.
• Три медианы имеют одинаковую длину.
• Три имеют равную длину.

Совпадающие центры треугольников

Каждый треугольник центр равностороннего треугольника совпадает с его центроидом , что означает, что равносторонний треугольник — единственный треугольник без линии Эйлера, соединяющей некоторые из центров. Для некоторых пар центров треугольников их совпадения достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. Особенно:

• Треугольник считается равносторонним, если любые два из центра описанной окружности , центра тяжести, центроида или ортоцентра совпадают.
• Он также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля или если его центр совпадает с его .

Шесть треугольников, образованных разбиением медианами

Для любого треугольника три медианы делят его на шесть меньших треугольников.

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус.
• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры описанной окружности любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида.

Очки в плоскости

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки P на плоскости с расстояниями p , q и r до сторон треугольника и расстояниями x , y и z до его вершин,

4(п2+q2+р2)≥Икс2+у2+z2.{\ displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + r ^ {2}) \ geq x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}

Как нарисовать равнобедренный треугольник

У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Разберем пример, когда нужно нарисовать равнобедренный треугольник заданных размеров. Допустим, основание 300 пикселей и высота 400 пикселей.

Шаг 1

Создадим новый документ в фотошопе, который будет превышать будущие размеры треугольника, например, 600 на 600 пикселей.

Шаг 2

Теперь с помощью направляющих и инструмента Линейка наметим габариты треугольника. Для этого сначала создайте горизонтальную направляющую ближе к низу документа (это будет основание). Затем вертикальную направляющую ближе к левому краю (от нее будем считать ширину):

Итак, основание (оно же ширина) договорились будет 300 пикселей. Отмеряем это расстояние от левой направляющей. Для этого возьмите инструмент Линейка и проложите прямой отрезок измерения (с зажатой клавишей Shift). На панели параметров смотрите в поле Ш.

В точке, где будет 300 пикселей проложите еще одну направляющую.

Теперь тоже самое сделаем с измерением высоты, напомню, она 400 пикселей. Отмеряем от нижней направляющей.

Так получили габариты треугольника в соответствии с заданными размерами. Теперь в этом прямоугольнике нужно нарисовать треугольник.

Шаг 3

Нужно отметить, где проходит середина. Поскольку ширина 300 пикселей, то середина будет проходить на 150. Отсчитаем это расстояние Линейкой и проведем там еще одну направляющую.

Шаг 4

Возьмите инструмент Линия (расположен там же, где и многоугольник). На панели параметров выберите опцию в зависимости от того, какой треугольник нужен. Здесь прямая аналогия с тем, что было описано у равностороннего треугольника. Я выберу Слой-фигуру.

Теперь, начиная с вершины, соединяйте углы треугольника линией. Благодаря направляющим, линия будет примагничиваться четко к центру пересечений, а значит нарисуем фигуру ровно пиксель в пиксель.

Шаг 5

Объедините три стороны в один слой.

Для этого выделите их на палитре, а затем вызовете контекстное меню и выберите команду Объединить слои.

Готово

Равнобедренный треугольник по заданным размерам нарисован!

Основные понятия

Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:

1. Если вершины являются концами одной стороны, они называются соседними.
2. Если отрезок соединяет между собой несоседние вершины, то он имеет название диагонали. У треугольника не может быть диагоналей.
3. Внутренний угол — это угол при одной из вершин, который образован двумя его сторонами, сходящимися в этой точке. Он всегда располагается во внутренней области геометрической фигуры. Если многоугольник невыпуклый, его размер может превосходить 180 градусов.
4. Внешний угол при определенной вершине — это угол смежный с внутренним при ней же. Иными словами, внешним углом можно считать разность между 180° и величиной внутреннего угла.
5. Сумма величин всех отрезков носит название периметра.
6. Если все стороны и все углы равны — он носит название правильного. Правильными могут быть только выпуклые.

Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:

1. Многоугольник называется плоским, если ограничивает конечную часть плоскости. Эта геометрическая фигура может быть вписанной в окружность или описанной вокруг окружности.
2. Выпуклым называется n-угольник, который соответствует одному из условий, приведенных ниже.
3. Фигура расположена по одну сторону от прямой линии, которая соединяет две соседних вершины.
4. Эта фигура служит общей частью или пересечением нескольких полуплоскостей.
5. Диагонали располагаются внутри многоугольника.
6. Если концы отрезка располагаются в точках, которые принадлежат многоугольнику, весь отрезок принадлежит ему.
7. Фигура может называться правильной, если у нее все отрезки и все углы равны. Примерами могут служить квадрат, равносторонний треугольник или правильный пятиугольник.
8. Если n-угольник невыпуклый, все стороны и углы его равны, а вершины совпали с таковыми правильного n-угольника, он называется звездчатым. У таких фигур могут иметься самопересечения. Примерами могут служить пентаграмма или гексаграмма.
9. Треугольник или четырехугольник называется вписанным в окружность, когда все его вершины располагаются внутри одной окружности. Если же стороны этой фигуры имеют точки соприкосновения с окружностью, это многоугольник описанным около некоторой окружности.

Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники. При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.

Построение тупоугольного треугольника по углу и двум прилегающим сторонам

Если один из углов треугольника тупой (больше 90 градусов), его называют тупоугольным. Чтобы начертить по указанным параметрам тупоугольный треугольник необходимо сделать следующее:

1. С помощью линейки откладываем отрезок, равный по длине одной из сторон треугольника. Обозначим его буквами А и D.
2. Если в задании уже нарисован угол, и вам необходимо начертить такой же, то на его изображении отложить два отрезка, оба конца которых лежат в вершине угла, а длина равняется указанным сторонам. Соедините полученные точки. У нас получился искомый треугольник.
3. Чтобы его перенести на свой чертеж, вам необходимо измерить длину третьей стороны.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Читать также: Каким проводом делать заземление

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

1. диаметр описанной окружности;
2. диаметр вписанной окружности;
3. площадь;
4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а, или P=6R

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Читать также: Схема последовательного подключения лампочек с выключателем

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

1. Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
2. Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
3. Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
4. Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:

Построение прямоугольного треугольника

Треугольник, у которого один угол прямой, называют прямоугольным. Если нам даны катет и гипотенуза, начертить прямоугольный треугольник не составит труда. Его можно построить по катету и гипотенузе.

1. С помощью линейки чертим гипотенузу заданной длины. Назовем этот отрезок АВ.
2. Ставим острие циркуля в точку А и проводим полуокружность, радиус которой немного больше, чем половина отрезка.
3. Переставляем острие циркуля в точку В и проводим аналогичное действие. Наши дуги пересекаются в двух места. Соединяем эти точки. Точка пересечения данной линии и отрезка АВ – его середина, точка О.
4. С помощью циркуля рисуем окружность, центр которой находится в точке О, а радиус равен отрезку АО.
5. Из точки А проводим циркулем дугу, радиус которой равен заданному катету. Точка пересечения дуги и окружности – искомая третья вершина треугольника. Соединяем ее с точками А и В. Задача выполнена.

Варианты создания фигуры

Обязательно используйте линейку и один из представленных ниже способов:

1. Применение циркуля: надо начертить ровную линию. Проведите карандаш вдоль прямого края бумаги. Этот сегмент линии образует одну из сторон. А это означает, что нужно будет чертить вторую и третью линии одинаковой длины, каждая из которых достигает точки под углом 60° от первой линии. Удостоверьтесь, что достаточно места для рисования всех трех сторон!
2. Разделите сегмент циркулем. Вставьте карандаш и убедитесь, что он острый! Поместите точку циркуля на один конец сегмента и установите карандаш на другую. Опишите дугу. Не изменяйте установленную «ширину» инструмента от точки циркуля до точки карандаша. Нарисуйте вторую дугу, чтобы она пересекала первую дугу, которую уже нарисовали. Отметьте точку, в которой пересекаются две дуги. Это вершина (верхняя точка) треугольника. Он должен лежать в точном центре сегмента линии, который нарисовали. Теперь можете сделать две прямые линии, ведущие к этой точке: по одному от каждого конца «нижнего» сегмента линии. Закончите треугольник. Далее с помощью линейки надо нарисовать еще два сегмента прямой линии — это стороны в треугольнике. Подключите каждый конец исходного сегмента линии к точке, в которой пересекаются дуги. Чтобы закончить работу, сотрите дуги, которые нарисовали, так, чтобы остался только треугольник.
3. Использование объекта с круглой базой: этот совет подойдет для построения дуги. Предложенный метод по сути такой же, как с использованием циркуля.

Указанные советы помогут выяснить, как нарисовать равносторонний треугольник.

Как нарисовать треугольник в фотошопе

В этой статье вы научитесь рисовать в фотошопе разные виды треугольника: равносторонний, равнобедренный, разносторонний и прямоугольный.

У равностороннего треугольника все три стороны равны.

Самый простой вариант нарисовать в фотошопе такой треугольник — с помощью инструмента Многоугольник.

Выберите этот инструмент и на панели настроек сразу укажите количество сторон — 3.

Следующим этапом нужно определиться каким должен быть будущий треугольник: векторной фигурой, растровым со сплошной заливкой или нужен только контур. Рассмотри все варианты.

Векторный треугольник

На панели параметров выберите опцию Слой-фигура.

Теперь можно рисовать и сам треугольник. Во время создания вы будете видеть его границы. Это нужно для того, чтобы рассчитать его размеры. Также, пока не отпустили клавишу мыши, можно его крутить.

Векторный треугольник хорош тем, что можно быстро сменить его цвет, а также безболезненно изменить его размеры без потери качества. Для этого вызовете команду Свободного трансформирования — Ctrl+T.

Чтобы позже превратить его в растровый треугольник, используйте команду Растрировать.

Растровый треугольник со сплошной заливкой

Получится такой же треугольник, что и примером выше, но он будет сразу в растре.

Понятие векторного и растрового типа изображения

Для этого на панели параметров нужно выбрать настройку Выполнить заливку пикселов.

Перед созданием такого треугольника, нужно первоначально создать для него новый слой.

Теперь рисуйте фигуру и она будет как самый обычный элемент растрового изображения.

Как нарисовать контур равностороннего треугольника

Для такой фигуры выберите на панели параметров опцию Контуры.

Рисуйте треугольник. У вас, естественно, получится только его контур. Далее, при этом же выбранном инструменте, сделайте клик правой кнопкой мыши внутри контура. Появится контекстное меню. Выберите команду Образовать выделенную область.

Откроется диалоговое окно. Радиус растушевки оставьте 0. Жмите Ок.

В итоге мы из контура сделали выделенную область.

А теперь, как в примерах с квадратом и кругом, можно сделать обводку выделенной области.

Для этого выполните команду Редактирование — Выполнить обводку. Появится окно, в котором укажите толщину линии обводки, а также как она будет проходить относительно пунктирной линии выделения: внутри, по центру, снаружи.

Фотошоп сделал обводку, теперь уберите пунктир выделения, чтобы не мешал — Ctrl+D. Результат:

§ 9.1. Многоугольники: построение правильных многоугольников по заданной стороне

Многоугольники: построение правильных многоугольников по заданной стороне

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник с равными сторонами и равными углами

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и другие. 

Правильные многоугольники уже в глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

Практическая задача построения таких многоугольников с помощью циркуля и линейки имеет давнюю историю. Древнегреческий математик Евклид в своем труде по геометрии приводит способы построения правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), пятиугольника и пятнадцатиугольника, а также всех многоугольников, которые получаются из них удвоением числа сторон (не обязательно однократным). Следовательно, древние греки могли строить правильные многоугольники с числом сторон, равным 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 и т. д. Долгое время математиков занимал вопрос о построении правильного семиугольника. Лишь в 1796 г. К. Ф. Гаусc доказал принципиальную невозможность этого построения с помощью только циркуля и линейки. 

Построение правильных многоугольников, т. е. деление окружности на равные части, позволяло решать практические задачи (рис. 35.2): создание колеса со спицами, деление циферблата часов, строительство античных театров и создание астрономических сооружений.

Построение квадрата по заданной его стороне L

Последовательность построения1. На произвольной прямой строят отрезок AD=L. 2. Из любого конца отрезка, например, из точки A, восстанавливают перпендикуляр и на нем откладывают отрезок AB = L.3. Из точек B и D как из центров проводят дуги радиусом R = L и на пересечении их отмечают точку С. 4. Соединив прямыми точку C с точками B и D, получают квадрат с заданной стороной L.

Как вы считаете, какие построения необходимо произвести, чтобы получить правильный треугольник с заданной стороной?

Построение правильного шестиугольника по заданной его стороне LИзвестно, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности, описанной вокруг него. 1. На произвольной прямой строят отрезок AB=L. Из концов отрезка АВ как из центров проводят две дуги радиусом R=L до взаимного пересечения их в точке О. 2. Из точки О проводят окружность тем же радиусом R=L и делят ее на шесть равных частей. Точки деления являются вершинами правильного шестиугольника со стороной L.

Используя последовательность построения шестиугольника, постройте правильный восьмиугольник. 

Равносторонний треугольник

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера»

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Равносторонний треугольник. Свойства

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны  .

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме  , значит, каждый по  .

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не   особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка   – центр треугольника. Значит,   – радиус описанной окружности (обозначили его  ), а   – радиус вписанной окружности (обозначим  ).

Но ведь точка   – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении  , считая от вершины.

Поэтому  , то есть  .

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Почему?

Рассмотрим   – он прямоугольный.

 .

А это почему?

Мы уже выяснили, что точка   – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит,  .

Величину   мы уже находили. Теперь подставляем:

Это уже теперь должно быть совсем ясно

 .

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны   и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

Равносторонний треугольник. краткое изложение и основные формулы

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны:  .

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка  . В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной:  .

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны  :

Высота=медиане=биссектрисе:   Радиус описанной окружности:   Радиус вписанной окружности:   Площадь:   Периметр:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Как построить равнобедренный треугольник

Как построить равнобедренный треугольник? Это легко сделать с помощью линейки, карандаша и клеточек тетради.

Построение равнобедренного треугольника начинаем с основания. Чтобы рисунок получился ровным, количество клеточек в основании должно быть четным числом.

    Делим отрезок — основание треугольника — пополам.

Вершину треугольника можно выбрать на любой  высоте от основания, но обязательно ровно над срединой.

Как построить остроугольный равнобедренный треугольник?

Углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми. Чтобы равнобедренный треугольник получился остроугольным, угол при вершине тоже должен быть острым.

    Для этого вершину треугольника выбираем повыше, подальше от основания.

Чем выше вершина, тем меньше угол при вершине. Углы при основании при этом, соответственно, увеличиваются.

Как построить тупоугольный равнобедренный треугольник?

    С приближением вершины равнобедренного треугольника к основанию градусная мера угла при вершине увеличивается.

Как построить равнобедренный прямоугольный треугольник?

   Чтобы построить равнобедренный прямоугольный треугольник, надо вершину выбрать на расстоянии, равном половине основания (это обусловлено свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника).

Например, если длина основания — 6 клеточек, то вершину треугольника располагаем на высоте 3 клеточек над серединой основания

Обратите внимание: при этом каждая клеточка у углов при основании делится по диагонали

  Построение равнобедренного прямоугольного треугольника можно начать с вершины.

Выбираем  вершину, от нее под прямым углом откладываем равные отрезки вверх и вправо. Это — боковые стороны треугольника.

Соединим их и получим равнобедренный прямоугольный треугольник.

Рекомендации по построению равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник представляет собой фигуру с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Если знаете длину, основание и высоту стороны, это можно сделать только с линейкой и циркулем (или просто циркулем, если заданы размеры).

Как нарисовать равнобедренный треугольник:

Учитывая все боковые длины

Чтобы использовать этот метод, важно знать длину основания треугольника и длину двух равных сторон.
Учитывая две равные стороны и угол между ними. Чтобы использовать этот метод, нужно знать длину двух равных сторон и измерение угла между этими двумя сторонами.
Учитывая базовые и смежные углы – необходимо знать длину базы, градусы двух углов, смежных с основанием

Помните, что два угла, смежные с основанием равнобедренного треугольника, будут равны.
Основа и высота. Нужно знать длину основания треугольника, а также высоту этой геометрической фигуры.

Вывод формулы площади

Формула площади в терминах длины стороны a может быть получена непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.
Азнак равно34а2{\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}

Использование теоремы Пифагора

Площадь треугольника равна половине одной стороны а раз превышает высоту ч с той стороны:

Азнак равно12ачас.{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ах.}

Равносторонний треугольник со стороной 2 имеет высоту √ 3 , как синус 60 ° составляет √ 3 /2 .

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованного высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания a , а гипотенуза — это сторона a равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора.

(а2)2+час2знак равноа2{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}}

так что

часзнак равно32а.{\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a.}

Подстановка h в формулу площади (1/2) ah дает формулу площади равностороннего треугольника:

Азнак равно34а2.{\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}.}

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию , площадь треугольника с любыми двумя сторонами a и b и углом C между ними равна

Азнак равно12абгрех⁡C.{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin C.}

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 °, поэтому

Азнак равно12абгрех⁡60∘.{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin 60 ^ {\ circ}.}

Синус 60 ° равен . Таким образом
32{\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}}

Азнак равно12аб×32знак равно34абзнак равно34а2{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ times {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} ab = { \ frac {\ sqrt {3}} {4}} а ^ {2}}

так как все стороны равностороннего треугольника равны.