Таблица пропорциональности
Таблица пропорциональности — это таблица, в которой каждая строка пропорциональна другим. Это способ организации данных, который позволяет распознавать ситуации пропорциональности, определять коэффициент пропорциональности и использовать закон пропорциональности. Это инструмент, который широко используется в преподавании математики ; во Франции он используется из цикла 3 (CM1, CM2, 6 e ) .
Использование таблицы
У нас есть две серии значений, которые обычно соответствуют:
- купленное количество и уплаченная цена;
- продолжительность поездки и пройденное расстояние.
Чтобы построить таблицу, мы просто помещаем ряд значений в строку, одно над другим. В идеале мы ранжируем значения в порядке возрастания для одной из серий.
Рассмотрим следующие два примера:
| Приобретенное количество (кг) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Заплаченная цена (€) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| Время в пути (мин) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| Пройденное расстояние (км) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Мы видим, что ряд значений увеличивается, с одной стороны, а с другой стороны, мы можем переходить от одной строки к другой, умножая или деля на простое число. Таким образом, мы можем определить ситуацию соразмерности и рассчитать коэффициент пропорциональности: цена за единицу 4 евро / кг для помидоров, 10 мин / км для похода. Коэффициент можно указать рядом с таблицей:
| ↓ × 4 | ↑ ÷ 4 | Приобретенное количество (кг) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Заплаченная цена (€) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| ↓ ÷ 10 | ↑ × 10 | Время в пути (мин) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пройденное расстояние (км) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Тогда можно решить такие проблемы, как: «У меня 10 € , сколько помидоров я могу купить?» «Мне нужно 0,5 кг помидоров, сколько мне это будет стоить? »« Как далеко вы уедете за час (60 мин )? »
| ↓ × 4 | ↑ ÷ 4 | Приобретенное количество (кг) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ? | 0,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Заплаченная цена (€) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 10 | ? |
| ↓ ÷ 10 | ↑ × 10 | Время в пути (мин) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пройденное расстояние (км) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ? |
Ответы:
- за 10 € можно купить 10 ÷ 4 = 2,5 кг ;
- покупка 0,5 кг помидоров обойдется в 0,5 × 4 = 2 евро ;
- за час (60 мин ) мы преодолеем 60 ÷ 10 = 6 км , следовательно, скорость будет 6 км / ч .
Настольные манипуляции
Рассмотрим следующую таблицу:
| Количество | 1 | 3 | 1.5 |
|---|---|---|---|
| Цена | 2 | 6 | 3 |
Мы можем добавить столбец в таблицу пропорциональности, добавив два столбца: 3 + 1,5 = 4,5 и 6 + 3 = 9, поэтому
| Количество | 1 | 3 | 1.5 | 4.5 |
|---|---|---|---|---|
| Цена | 2 | 6 | 3 | 9 |
Мы также можем умножить столбец на константу: 3 × 2 = 6 и 6 × 2 = 12, поэтому
| Количество | 1 | 3 | 1.5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Цена | 2 | 6 | 3 | 12 |
Если мы выберем два столбца, произведение чисел, расположенных на одной диагонали, будет равно произведению чисел, расположенных на другой диагонали (перекрестные произведения):
| 3 | 1.5 |
| 6 | 3 |
3 × 3 = 6 × 1,5
Коэффициент ритмичности производства
Ритмичность производственного процесса означает равномерный выпуск продукции в определенный промежуток времени. Чем меньше промежуток времени, мет тяжелее организовать равномерный выпуск продукции. И если ежемесячная ритмичность на предприятиях обеспечивается, то еженедельная и особенно ежедневная – не всегда. Ритмичность производства является важным условием успешного выполнения задач по количественным и качественным показателям. Главные предпосылки ритмичности – надлежащее внутризаводское планирование, которое предусматривает создание и регулирование незавершенного производства, своевременное материально-техническое обеспечение, равномерность и высокое качество работы обслуживающих служб предприятия (ремонтная, складская, энергетическая). Коэффициент ритмичности рекомендуют находить по формуле:
V ф. – фактический объем выполненной работы за период, который анализируется в рамках плана.
V пл. – плановый объем работ.
Идеология расчета данного коэффициента следующая. Работа производства (цеха, участка) является ритмичной только тогда, когда она осуществляется в соответствии с запланированным графиком выпуска. То есть плановое задание является эталоном ритмичной работы. Работа с превышением задания и, разумеется, с невыполнением установленного задания, считается неритмичной.
Исходя из изложенного выше, расчет коэффициента ритмичности осуществляется следующим образом. В числитель дроби подставляется фактический объем производства за каждый день (час, смену, сутки, месяц, квартал), но не превышающий плановый показатель. Если выпуск за день (час, смену, сутки, месяц, квартал) превысил плановый показатель, то вместо него подставляется плановое значение. После чего находится сумма этих значений. В знаменателе этой дроби указывается сумма плановых значений выпуска за эти же периоды времени.
Поэтому сумма значений в числителе (факт, но не выше плана) всегда меньше или равна сумме значений в знаменателе (план).
Из этого следует:
- Перевыполнение плановых заданий в расчет не принимается
- Значение коэффициента ритмичности не может превышать единицы
Расчет коэффициента ритмичности производства часто применяется в системах оплаты труда в серийном или массовом производстве, чтобы стимулировать работников подразделения четко выполнять предписанные планом производственные задания, поскольку срыв своевременного выпуска отдельных деталей или узлов на отдельном участке может сделать невозможным выпуск продукции всего завода.
См. также: пример расчета ритмичности производства.
Управление производствомОписание курса Производственный цикл. Длительность цикла
Принципы построения графика обратной пропорциональности (гиперболы)
Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу – \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\).
Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.
Например, построим гиперболу \( \displaystyle y=\frac{3}{x}\).
Составим таблицу из \( 4\) точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):
| \( x\) | \( \frac{1}{2}\) | \( \displaystyle 1\) | \( \displaystyle 3\) | \( \displaystyle 6\) |
| \( y\) | \( \displaystyle 6\) | \( \displaystyle 3\) | \( \displaystyle 1\) | \( \frac{1}{2}\) |
Отмечаем точки на рисунке:
Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:
Это одна ветвь гиперболы
Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат:
Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь?
Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы.
Вот:
Еще один полезный факт.
Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны \( \sqrt{k}\) для правой ветви гиперболы, и \( -\sqrt{k}\) для левой.
Для функций, у которых \( k\) – точный квадрат (например, \( 1\), \( 4\) или \( \displaystyle \frac{1}{4}\)), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить.
В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.
Например, построим график функции \( \displaystyle y=\frac{4}{x}\)
Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви.
Точка симметрии: \( \displaystyle x=y=2\). Выберем еще одну точку, например, \( \displaystyle x=1\), \( \displaystyle y=4\). У третьей точки координаты будут наоборот: \( \displaystyle x=4\), \( \displaystyle y=1\).
Рисуем:
И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:
Теперь выясним, что будет, если \( \displaystyle k<0\)?
Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным \( \displaystyle k\), то нужно просто отразить его относительно оси \( \displaystyle Ox\)
То есть правая ветвь теперь будет ниже оси \( \displaystyle Ox\) (в \( \displaystyle IV\) четверти), а левая – выше (в \( \displaystyle III\) четверти).
Принцип построения же останется прежним:
Прямая пропорциональность
Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.
Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час
Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км
Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.
Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью.
Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.
и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.
Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.
Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.
В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.
Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50
Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности. Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.
Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения и составляют пропорцию:
Это отношение можно прочитать следующим образом:
Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.
Пример 2. Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.
Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.
Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму
Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:
Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.
Венера Милосская как образец идеальных пропорций тела
На протяжении многих веков люди науки ломали голову над выведением формулы идеальных параметров человеческого тела. В результате идеалом женской красоты стали считать древнегреческую богиню Венеру Милосскую, а мужской – Аполлона Бельведерского. При создании статуй, изображающих этих богов, скульпторы тщательно соблюдали вычисленные учеными идеальные пропорции тела.
Таким образом, для тех времен идеальными считались следующие параметры:
- голова должна была составлять 1/7 часть от роста человека;
- ноги – 1/6 часть от роста;
- запястье – 1/10 часть от роста.
Центральной точкой человеческого тела в пропорциональном соотношении должен был быть пупок.
Что же касается Венеры Милосской, то рост богини составлял 164 см, объем груди – 86 см, объем талии – 69 см, а объем бедер – 93 см. Следует отметить, что многие люди и по сей день считают подобные пропорции женского тела совершенными. Тут, что называется, дело вкуса.
Обратно пропорциональные величины
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».
Свойство обратной пропорциональности величин:
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Примеры обратно пропорциональной зависимости:
- время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
- при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
- количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.
|
Формула обратной пропорциональности y = k/x где y и x — это переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности. |
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
xy = k.
Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.
Свойства функции обратной пропорциональности:
- Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.
D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Область значений — все действительные числа, кроме y = 0.
Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Не имеет наибольших и наименьших значений.
- Является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.
- Непериодическая.
- Ее график не пересекает оси координат.
- Не имеет нулей.
- Если k > 0 (аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные — (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные — (-∞; 0).
Сила упругости и закон Гука
Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.
Примерами пластических деформаций являются:
- лепка из глины;
- погнутая алюминиевая ложка.
В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:
- резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
- пружина (после сжатия снова распрямляется).
В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:
F = — k·x;
где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).
Как рассчитать пропорции тела
Зная длину тела человека в положении стоя и сидя, можно вычислить коэффициент пропорциональности тела по следующей формуле:
КП = ((L1 – L2) / 2) х 100, где L1 – длина тела в положении стоя, L2 – длина тела в сидячем положении.
В норме KП = 87% – у женщин и 92% – у мужчин.
Теперь рассмотрим все параметры всех частей женского тела по отдельности.
Рост – это некорректируемый параметр, который чаще всего берется за основу при вычислении пропорций тела. Для девушек идеальным считается рост 166 – 170 см. У кого этот показатель ниже, рост считается ниже среднего, у кого выше – рост выше среднего. К данным цифрам допускается прибавление или вычет 2 см, что вполне соответствует пропорциям.
Ноги. Их длина при идеальном росте должна быть на 4 – 6 см больше половины тела. Так, например, при росте 170 см идеальная длина ног должна равняться примерно 90 см (измеряется длина ног обычно от выступающей бедренной кости).
Кроме того, существует специальный индекс, характеризующий длину ног. Его называют индекс скелии либо индекс Мануврие.
I = (длина ноги / рост сидя) х 100
Если величина индекса не достигает отметки 84,9, значит, ножки коротковаты. При величине индекса от 85 до 89 можно говорить о средних ногах. Ну а если индекс равен 90 и выше, речь идет о длинноногом человеке.
Шея, запястье и талия. Немаловажным параметром также являются объемы. Правильная пропорция тела подразумевает соотношение объема талии к объему шеи, как 2:1, тогда как объем шеи должен быть равен 2 объемам запястья. А чтобы тело считалось пропорциональным соотношение объема талии и бедер должно составлять 0, 7.
Окружность талии рассчитывается просто: нужно от высоты роста отнять 100.
В таблице, приведенной ниже, указаны параметры идеальной талии в зависимости от роста.
| Рост (см) | Окружность талии (см) |
| 148-150 | 55 |
| 151-152 | 56 |
| 153-154 | 57 |
| 155-156 | 58 |
| 157-158 | 59 |
| 159-160 | 60 |
| 161-162 | 61 |
| 163-164 | 62 |
| 165-166 | 63 |
| 167-168 | 64 |
| 169-170 | 65 |
| 171-172 | 66 |
| 173-174 | 67 |
| 175-176 | 68 |
| 177-178 | 69 |
| 179-180 | 70 |
| 181-182 | 71 |
| 183-184 | 72 |
| 185-186 | 73 |
| 187-188 | 74 |
| 189-190 | 75 |
Грудная клетка. Если при расчете пропорциональности тела брать за основу окружность, то у девушек идеалом считается окружность грудной клетки равная половине ее роста и еще плюс 2,5 см. Идеальной окружность бюста считается, если к окружности грудной клетки прибавить 8 – 10 см.
В чистом виде все перечисленные виды конституции встречаются редко. У многих людей они скомбинированы: верхняя часть тела принадлежит одному типу, а нижняя — другому и т. д. но это не значит, что отсутствие пропорциональности может сделать людей некрасивыми и непривлекательными. Отклонение от пропорций это и есть секрет уникальности и индивидуальности.
Фенотипическая конституция важна не столько для внешней привлекательности, сколько для здоровья и общего самочувствия человека. Вид телосложения передается по наследству от родителей к детям, определяя их склонности и предрасположенности. Осведомленность об особенностях своего телосложения позволяет подобрать эффективную диету с целью похудения или методы лечения того или иного заболевания.
Онлайн калькулятор определения пропорциональности тела. Норма пропорциональности тела по данному калькулятору:
- для женщин от 54 до 62;
- для мужчин — от 46 до 52.
https://youtube.com/watch?v=olNLaSSdLxM
Прямая и обратная пропорциональность
Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.
Пропорциональность — это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.
Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.
Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.
Прямая пропорциональность выражается так: (mathbf)
Обратная пропорциональность выражается так: (mathbf>)
где k — это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.
x и y величины, зависящие друг от друга.
Пример
Площадь прямоугольника равна (mathbf), где S— это площадь прямоугольника, а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.
Если один из множителей произведения — постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.
Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.
По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.
Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.
Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:
Ширина прямоугольника b постоянная величина
b = 4 см
a1 = 6 см
Увеличим ширину прямоугольника — сторону a1 на 1 см, получим
a2 = 7 см
Найдем площади прямоугольников S1 и S2
(mathbf = a_ cdot b = 6 cdot 4 = 24>) см 2
(mathbf = a_ cdot b = 7 cdot 4 = 28>) см 2
Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.
Рассмотрим другой вариант зависимости
Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см
Площадь прямоугольника S постоянная величина
S = 24 см 2
b1 = 4 см
Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b1 на 2 см, получим
b2 = 6 см
Найдем ширину прямоугольника- сторону a2
Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.
Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:
1) Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.
2) Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.
Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.
Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.
Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.
Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Пропорциональность и геометрия
Пропорциональность в геометрии в основном используется в теореме Фалеса и подобных треугольниках. Но он также находится в координатах коллинеарных векторов . В размерности 2 пропорциональность координат приводит к равенству перекрестных произведений ab ‘= ba’, которое затем становится ab ‘- ba’ = 0 (нулевой определитель).
Обозначения.
В плоской геометрии закон синусов утверждает соотношение пропорциональности между длинами и синусами углов треугольника. Его демонстрация основана на правиле перекрестного произведения. Пусть ABC — треугольник на евклидовой плоскости. Длины отрезков , и обозначаются буквами a , b и c соответственно. Отметим , и измерения углов , B и C . Рейтинги показаны на рисунке напротив. Длину h высоты, полученной из A, можно рассчитать двумя способами. Если H — ортогональная проекция A на прямую ( BC ), метрические соотношения в прямоугольных треугольниках ABH и ACH дают:
α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}γ{\ displaystyle \ gamma}КЧАСзнак равнопротивгрех(β)знак равнобгрех(γ){\ Displaystyle AH = с \ грех (\ бета) = б \ грех (\ гамма)}.
Расчет длин других высот также дает:
Кгрех(β)знак равнобгрех(α){\ Displaystyle а \ грех (\ бета) = б \ грех (\ альфа)}и .Кгрех(γ)знак равнопротивгрех(α){\ Displaystyle а \ грех (\ гамма) = с \ грех (\ альфа)}
Правило перекрестного произведения подразумевает, что ( a , b , c ) пропорционально a (закону синусов). Этот закон изложен в форме
(грехα,грехβ,грехγ){\ Displaystyle (\ грех \ альфа, \ грех \ бета, \ грех \ гамма)}грехαКзнак равногрехβбзнак равногрехγпротив{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a}} = {\ frac {\ sin \ beta} {b}} = {\ frac {\ sin \ gamma} {c}}}.
В трактате Евклида по геометрии два треугольника ABC и A’B’C ‘евклидовой плоскости определены как похожие, если они имеют одинаковые меры углов. Тогда закон синусов подразумевает, что длины AB, BC и CA пропорциональны A’B ‘, B’C’ и C’A ‘. Условие «быть похожим» эквивалентно существованию подобия евклидовой плоскости, отправляющей ABC в A’B’C ‘. Сходство умножает все длины на один и тот же коэффициент k, называемый коэффициентом подобия. Это коэффициент пропорциональности между длинами (AB, BC, CA) и (A’B ‘, B’C’, C’A ‘).
В векторной геометрии два вектора v и w одного векторного пространства E называются коллинеарными, если существует такой скаляр a , что v = aw . Положим их координаты в базу E :
vзнак равно(v1,…,vнет){\ displaystyle v = (v_ {1}, \ dots, v_ {n})}и .шзнак равно(ш1,…,шнет){\ Displaystyle ш = (ш_ {1}, \ точки, ш_ {п})}
Тогда векторы v и w коллинеарны тогда и только тогда, когда ( v 1 ,…, v n ) пропорционально ( w 1 ,…, w n ).
Обратная пропорциональность в жизни
Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.
И правда, вспомним формулу скорости: \( \displaystyle v=\frac{S}{t}\), где \( v\) – скорость, \( t\) – время в пути, \( S\) – расстояние (путь).
Отсюда можно выразить время: \( \displaystyle t=\frac{S}{v}\)
Пример:
Человек едет на работу со средней скоростью \( 40\) км/ч, и доезжает за \( 1\) час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью \( 60\) км/ч?
Решение:
Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:
\( \displaystyle 60\) км/ч – \( 60\) мин.\( \displaystyle 60\) км/ч – \( x\) мин.
Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:
\( \displaystyle \frac{40}{x}=\frac{60}{60}\text{ }\Rightarrow \text{ }x=40\)(мин).
То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.
Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:
\( \displaystyle t\left( v \right)=\frac{S}{v}\).
Известно, что \( t\left( 40 \right)=60\), тогда:
\( \frac{S}{40}=60\text{ }\Rightarrow \text{ }S=40\cdot 60=2400\).
Нужно найти \( t\left( 60 \right)\):
\( \displaystyle t\left( 60 \right)=\frac{2400}{60}=40\) (мин).
Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность.
