Многоугольники

Как вычислить периметр правильного многоугольника

Свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны.
2. Все углы равны.
3. Центр равно удален ото всех вершин и сторон.
4. Сумма всех углов равна 180º×(n−2).
5. Все внешние углы при сложении их градусных мер дадут 360º.
6. Все биссектрисы углов между сторонами равны и пересекают центр фигуры.
7. Возможно вписать окружность и описать круг. Площадь кольца зависит от длины стороны многоугольника.

Формула

P=a×n

где a — длина стороны, n — количество сторон.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Треугольный многоугольник

Такую фигуру называют треугольником. Она состоит из трёх углов и такого же числа сторон. Их, принято обозначать маленькими буквами a, b, c или подписывать двумя заглавными по названиям вершин, которые являются началом и концом отрезка. Например, треугольник ABC содержит стороны: AB = a, BC = b, AC = c.

В зависимости от особенностей, фигура может называться:

• разносторонней — многоугольник, у которого все 3 стороны не равны;
• равнобедренной — длины любых двух граней совпадают;
• равносторонней (правильной) — все стороны фигуры одинаковые.

Но несмотря на классификацию, все перечисленные виды обладают общими свойствами. Считается, что угол любого плоского треугольника образуется при пересечении двух лучей, содержащих его стороны, то есть если говорят об ∠A, то подразумевают, что был лучи AB и АС, при построении которых он и образовался. Таким образом, он заключается не между сторонами, а лучами.

Эти 3 параметра определяют свойства треугольной фигуры. С их помощью можно находить, площадь, стороны, значения углов. Определение медианы звучит так: это прямая, проведённая из угла к противолежащей стороне таким образом, что разделяет её пополам. Под биссектрисой же понимают отрезок, разделяющий угол на 2 равные части. Высотой называют перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону из вершины.

Треугольник, который выглядит, как прямой угол, называют прямоугольным. То есть построив в любом многоугольнике с тремя углами высоту, можно получить две фигуры, обе из которых точно будут прямоугольными. Боковые грани, перпендикулярные друг другу, называют катетами, а оставшуюся сторону — гипотенузой. По сути, тело представляет собой разделённый диагональю квадрат. Отсюда площадь многоугольника будет равняться произведению катетов, делённых на 2: S = a*b/2. А также следует отметить, что у равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектриса совпадают.

Общие свойства[ | ]

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов простого плоского n {\displaystyle n} -угольника равна 180 ∘ ( n − 2 ) {\displaystyle 180^{\circ }(n-2)} . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна 360 ∘ . {\displaystyle 360^{\circ }.}

Площадь

Пусть { ( X i , Y i ) } , i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n {\displaystyle n} -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S = 1 2 | ∑ i = 1 n ( X i + X i + 1 ) ( Y i − Y i + 1 ) | {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|} , где ( X n + 1 , Y n + 1 ) = ( X 1 , Y 1 ) {\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})} .

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона .

Площадь правильного n {\displaystyle n} -угольника вычисляется по одной из формул:

половина произведения периметра n {\displaystyle n} -угольника на апофему:

S = n 4 a 2 ctg ⁡ π n {\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}} .

S = 1 2 n R 2 sin ⁡ 360 ∘ n ; {\displaystyle S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};}

S = n r 2 t g π n {\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

где a {\displaystyle a} — длина стороны многоугольника, R {\displaystyle R} — радиус описанной окружности, r {\displaystyle r} — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F {\displaystyle F} называется квадрируемой

, если для любого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P {\displaystyle P} и Q {\displaystyle Q} , таких, что P ⊂ F ⊂ Q {\displaystyle P\subset F\subset Q} и S ( Q ) − S ( P ) < ε {\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon } , где S ( P ) {\displaystyle S(P)} обозначает площадь P {\displaystyle P} .

О периметре квадрата.

1. Формула периметра квадрата
2. Как найти периметр квадрата. если известна сторона!?
3. Как найти периметр квадрата. если известна площадь!?

Что такое периметр квадрата

Слово периметр пришло из древности и например древние-греческом обозначала окружность(περίμετρον).

Или если совсем по простому — периметр квадрата это — сумма всех границ.

Периметр квадрата это сумма всех сторон квадрата, поскольку их 4 одинаковых, то одну сторону, надо умножить на 4.

Формула периметра квадрата — периметр квадрата равен стороне умноженной на 4 -> P=4a

Где P — периметр квадрата,

a — длина одной из сторон.

Как мы уже говорили выше у нас есть формула нахождения периметра :

найдите периметр квадрата, если сторона квадрата равна 12 см.

Сторона квадрата это а, она равна 12см.

Подставляем 12 в формулу вместо буквы «а».

P = 4a -> P = 4 * 12-> P = 48см.

Если сторона квадрата равна 12 см, то периметр квадрата равен 48см.

найдите периметр квадрата, если площадь квадрата равна 25см².

Опять вспоминаем формулу площади квадрата :

Из этой формулы нам требуется вывести сторону :

Далее берем формулу периметра квадрата и заменяем сторону на корень квадратный.

Извлекаем корень из 25 на калькуляторе

После этого умножаем на 4 :

Если площадь квадрата 25см², то периметр будет равен 20см.

Периметр геометрической фигуры — суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина.

Первый способ вычисления периметра квадрата

Периметр квадрата равен сумме 4-х длин его сторон или произведению длины любой его стороны на четыре (так как у квадрат длины всех сторон равны).

где: P — периметр квадрата a — длина стороны квадрата

Второй способ вычисления периметра квадрата

Периметр квадрата равен произведению длины его диагонали на два корня из двух.

где: P — периметр квадрата a — длина стороны квадрата d — длина диагонали квадрата

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

• Математика
• Информатика
• Финансы
• Жизнь
• Здоровье

• Работа с текстом
• Работа с цветом
• Конвертеры
• Графики

• Алгебра
• Геометрия
• Тригонометрия
• Физика
• Химия
• Литература
• Информатика
• Астрономия
• Законы
• Единицы измерений
• Таблицы
• Инструкции

• Знаменитые химики
• Знаменитые физики
• Знаменитые математики
• Знаменитые биологи
• Знаменитые психологи
• Знаменитые философы

• ЕГЭ
• Гаджеты
• Разное

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

calcsbox.com

На сайте используется технология LaTeX. Поэтому для корректного отображения формул и выражений пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

• Пользовательское соглашение
• Cookie
• О сайте

2021 Все калькуляторы online

Копирование материалов запрещено

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти периметр квадрата.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления периметра квадрата, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

квадрата:

Многоугольник и его свойства

Многоугольником является геометрическая фигура, внутренность которой ограничена ломаной линией, и содержащая не менее одного угла. Другим определением многоугольника может служить следующее утверждение: многоугольник — это замкнутая линия, которая имеет n точек, соединенных между собой последовательными отрезками.

Самыми распространенными примерами многоугольников могут служить: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и так далее.

Основным фактом, о многоугольнике, можно назвать свойство его углов: сумма внутренних углов многоугольника определяется при помощи формулы:

где n — число углов фигуры.

Нахождение сторон прямоугольника при известных периметре и площади

Рассмотрим первую задачу:

Как известно, периметр прямоугольника находится по формуле \({\color{red} P=2\cdot (a+b)}\) , площадь – по формуле \({\color{red} S=a\cdot b}\) .

Так как периметр прямоугольника – это удвоенное произведение суммы двух сторон прямоугольника, то мы можем найти эту сумму, разделив значение периметра на 2:

\({\color{red} a + b = 24 : 2 = 12}\) см.

А дальше мы рассуждаем так.

Найдем максимально возможную площадь прямоугольника при данном значении суммы двух его сторон, то есть, полупериметра. Так как полупериметр – четное число, то очевидно, что прямоугольник с максимально возможным значением площади при сумме его двух сторон, равной 12, – это квадрат со стороной \({\color{red} 12 : 2 = 6}\) см.

Тогда площадь этого квадрата равна

\({\color{red}S_{k}=6\cdot 6=36}\) см2.

По условию нашей задачи площадь прямоугольника составляет 32 см2. Находим разницу между полученной площадью квадрата и заданной площадью прямоугольника.

\({\color{red} S–S _{k}=36-32=4}\) см2.

Это значит, что нам нужно изменить стороны рассматриваемого квадрата со стороной 6 см так, чтобы уменьшилась его площадь, но не изменился периметр.

Так как квадрат имеет самую большую площадь среди прямоугольников с одинаковым периметром, то для уменьшения площади нам нужно увеличить разницу между его длиной и шириной. То есть, ширину уменьшить, а длину увеличить на одно и то же число.

Но на какое?

Площадь 4 см2 – это квадрат со стороной 2 см. Это и есть нужное нам число.

Тогда, ширина искомого прямоугольника будет равна:

\({\color{red} a=6-2=4}\) см

а длина:

\({\color{red} b=6+2=8}\) см.

Проверим найденные длины сторон, определив периметр и площадь полученного прямоугольника:

\({\color{red} P=2\cdot (4+8)=2\cdot 12=24}\) см

\({\color{red} S=4\cdot 8=32}\) см2.

Задача решена верно.

Теперь рассмотрим вторую задачу.

Находим полупериметр, то есть, сумму двух сторон прямоугольника.

\({\color{red} a+b=46:2=23}\) см.

Найдем максимально возможную площадь прямоугольника при данном значении суммы двух его сторон, то есть, полупериметра. Так как полупериметр – нечетное число, значит, нам нужен такой прямоугольник, разница между значениями ширины и длины которого в натуральных числах минимальна, то есть, единица. Это прямоугольник со сторонами 11 и 12, т.к. \({\color{red} 23=11+12}\).

Площадь такого прямоугольника равна:

\({\color{red}S_{2}=11\cdot 12=132}\) см2.

Разница между полученной площадью и заданной по условию задачи составляет:

\({\color{red}S_{2}-S=132-126=6}\) см2.

6 см2 – это площадь прямоугольника со сторонами 2 и 3 см. Чтобы уменьшить площадь нашего прямоугольника со сторонами 11 см и 12 см, нужно увеличить разницу между значениями этих сторон, а именно, уменьшить его короткую сторону, то есть, ширину. При этом длину также нужно увеличить на это же число, чтобы сохранить значение периметра.

Для этого ширину 11 мы уменьшаем на одноименное значение, то есть, тоже на ширину прямоугольника с площадью 6 см2, а именно, на 2.

Кстати, подумайте и напишите в комментарии к этой статье, почему мы рассматриваем разницу в площадях именно как прямоугольник с максимальной площадью (например, в этой задаче как прямоугольник 2 на 3, а не 1 на 6, а в первой – как квадрат 2 на 2, а не прямоугольник 1 на 4), и почему ширину уменьшаем именно на ширину (в этой задаче 11 – 2, а не 11 – 3).

Находим ширину искомого прямоугольника:

\({\color{red} a=11-2=9}\) см.

Длину нужно увеличить также на это число, чтобы не изменился периметр прямоугольника:

\({\color{red} b=12+2=14}\) см.

Проведем проверку:

\({\color{red} P=2\cdot (9+14)=2\cdot 23=46}\) см.

\({\color{red}S=9\cdot 14=126}\) см2.

И эта задача решена тоже верно.

На этом все. Не забудьте написать в комментарии ответы на вопросы, почему мы рассматриваем разницу в площадях именно как прямоугольник с максимальной площадью, и почему ширину уменьшаем именно на ширину.

Вам также пригодится:

Текстовые задачи в начальной школе – так ли трудно научиться их решать?

Как научить ребенка преодолевать трудности?

6 правил, которые научат ребенка собранности

Решение вирусных школьных задач

Виды фигур

Треугольник

Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.

Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.

По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:

1. Равносторонние — у которых длина всех отрезков одинаковая.
2. Равнобедренные — треугольники, у которых равны два отрезка из трех.
3. Разносторонние — если длина всех отрезков разная.

Кроме того, принято различать следующие треугольники:

1. Остроугольные.
2. Прямоугольные.
3. Тупоугольные.

Четырехугольник

Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.

1. Если все углы четырехугольника прямые — эта фигура называется прямоугольником.
2. Прямоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую величину, называется квадратом.
3. Четырехугольник, все стороны которого равны, называется ромбом.

На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.

Простейшие четырёхугольники

Любой многоугольник, который состоит из четырёх углов, называют четырёхугольным. Он относится к простейшим геометрическим телам. Если о нём ничего не известно, его считают произвольным, то есть фигурой, у которой нет особенных углов или сторон. В другом случае четырёхугольники имеют собственные названия.

Наиболее часто приходится сталкиваться со следующими видами:

• прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равняются 90;
• ромб — фигура с четырьмя сторонами одинаковой длины;
• квадрат — многоугольник, удовлетворяющий одновременно условиям ромба и прямоугольника.

Для всех этих видов характерно, что каждая из фигур имеет 2 пересекающиеся диагонали. Причём точка их соприкосновения делит отрезок на 2 равные части. Кроме этого, для прямоугольника и квадрата длина одной диагонали равна другой. Если у четырёхугольного прямоугольника обозначить стороны a и b, противоположные им грани также будут a и b.

Каждый отрезок, образующий многоугольник, имеет свою длину. При их сложении получается периметр фигуры. Для его обозначения используют заглавную латинскую букву P. Например, если есть многоугольник, образованный сторонами AB, BC, CA, его периметр будет равняться: Pabc = AB + BC + CA

Можно обратить внимание, что количество углов соответствует числу сторон, складываемых для нахождения P. Это важный параметр, позволяющий оценить размер фигуры.

Из-за особенностей прямоугольника формулу для расчёта периметра можно переписать так: P = 2*(a + b). В то же время площадь такой фигуры находится путём простого перемножения примыкающих сторон: S = a*b. Параметры квадрата можно вычислить, зная длину только одной стороны. Всё дело в том, что длины отрезков, из которых он состоит, равны друг другу, поэтому для квадрата периметр находится как P = 4*a, а площадь: S = a*a = a2.

Именование

Слово многоугольник происходит от позднего латинского polygōnum (существительное), от греческого πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), существительного, использующего средний язык от πολύγωνος ( polygōnos / polugōnos , прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники называются (а иногда классифицируют) в соответствии с числом сторон, сочетая греческий -derived числового префикса с суффиксом -угольник , например , пятиугольник , двенадцатиугольником . Треугольник , четырехугольник и девятиугольник исключение.

Помимо десятиугольников (10-сторонних) и додекагонов (12-сторонних) математики обычно используют числовые обозначения, например 17-угольник и 257-угольник.

Исключения существуют для побочных подсчетов, которые легче выразить в устной форме (например, 20 и 30) или которые используются не математиками. Некоторые специальные многоугольники также имеют свои собственные имена; например, правильный пятиугольник звезды также известен как пентаграмма .

Имена многоугольников и прочие свойства

Имя	Стороны	Характеристики
моногон	1	Обычно не считается многоугольником, хотя в некоторых дисциплинах, таких как теория графов, иногда используется этот термин.
Digon	2	Обычно не считается многоугольником на евклидовой плоскости, хотя может существовать как сферический многоугольник .
треугольник (или тригон)	3	Простейший многоугольник, который может существовать в евклидовой плоскости. Можно выложить самолет плиткой .
четырехугольник (или четырехугольник)	4	Простейший многоугольник, который может пересекаться; простейший многоугольник, который может быть вогнутым; простейший многоугольник, который может быть нециклическим. Можно выложить самолет плиткой .
пятиугольник	5	Простейший многоугольник, который может существовать как правильная звезда. Звездный пятиугольник известен как пентаграмма или пентакль.
шестиугольник	6	Можно выложить самолет плиткой .
семиугольник (или септагон)	7	Простейший многоугольник такой, что правильную форму невозможно построить с помощью циркуля и линейки . Однако его можно построить, используя конструкцию Нойсиса .
восьмиугольник	8
нонагон (или эннеагон)	9	«Нонагон» смешивает латинский [ novem = 9] с греческим; «эннеагон» — чисто греческое.
десятиугольник	10
hendecagon (или undecagon)	11	Простейший многоугольник такой, что правильную форму нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла .
двенадцатиугольник (или двенадцатиугольник)	12
трехугольник (или трехугольник)	13
тетрадекагон (или тетракаидакагон)	14
пятиугольник (или пятиугольник)	15
hexadecagon (или hexakaidecagon)	16
гептадекагон (или гептадекагон)	17	Конструируемый многоугольник
octadecagon (или octakaidecagon)	18
enneadecagon (или enneakaidecagon)	19
икосагон	20
икоситетракон (или икосикаитетракон)	24
триаконтагон	30
тетраконтагон (или тессараконтагон)	40
пятиугольник (или пятиконтагон)	50
шестиугольник (или шестиугольник)	60
гептаконтагон (или hebdomecontagon)	70
восьмиугольник (или огдоэконтагон)	80
эннеконтагон (или эннеконтагон)	90
гектогон (или гекатонтагон)	100
257-угольник	257	Конструируемый многоугольник
чилигон	1000	Философы, включая Рене Декарта , Иммануила Канта , Дэвида Юма , использовали хилиагон в качестве примера в своих дискуссиях.
мириагон	10 000	Используется в качестве примера в некоторых философских дискуссиях, например, в « Размышлениях о первой философии» Декарта.
65537-угольник	65 537	Конструируемый многоугольник
мегагон	1 000 000	Как и в случае с примером хилиагона Рене Декарта, многоугольник с миллионами сторон использовался как иллюстрация четко определенной концепции, которую невозможно визуализировать. Мегагон также используется как иллюстрация схождения правильных многоугольников в круг.
апейрогон	∞	Вырожденный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Создание высших имен

Чтобы создать имя многоугольника с более чем 20 и менее чем 100 ребрами, объедините префиксы следующим образом. Термин «кай» применяется к 13-угольникам и выше, использовался Кеплером и поддерживался Джоном Х. Конвеем для ясности конкатенированных префиксных чисел при именовании квазирегулярных многогранников .

Десятки	и	Единицы	последний суффикс
-kai-	1	-hena-	-угольник
20	icosi- (icosa- в одиночестве)	2	-ди-
30	триаконта- (или триконта-)	3	-три-
40	тетраконта- (или тессаракта-)	4	-тетра-
50	пентаконта- (или пентеконта-)	5	-penta-
60	гексаконта- (или гексеконта-)	6	-hexa-
70	гептаконта- (или гебдомеконта-)	7	-гепта-
80	октаконта- (или огдоэконта-)	8	-окта-
90	эннеаконта- (или эненеконта-)	9	-ennea-

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 4. Урок 3,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 5. Урок 3,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 87. Урок 44,
Петерсон, Учебник, часть 3

2 класс

Страница 42,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 46,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 66,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 89,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 91,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 65,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 64. Вариант 1. Тест 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 52,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 49,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 1

3 класс

Страница 78,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 14. Вариант 1. № 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 44. Вариант 1. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 12,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 32,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 33,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 16,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 79,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 9,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 34,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 32,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 70,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 55,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 96,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 103,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 14,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 34,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 65,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс

Задание 207,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 208,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 209,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 210,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 211,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

6 класс

Задание 389,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 428,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 430,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Шаги

Метод 1 из 6: Прямоугольник

1. 1
   Найдите длины двух смежных сторон:

   Если даны только одна сторона и площадь прямоугольника, вы можете найти другую сторону по формуле: A=wh, то есть h=A/w или w=A/h. Поэтому, если даны высота и площадь, просто разделите площадь на высоту, чтобы найти ширину. Вы также можете разделить площадь на ширину, чтобы найти высоту.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   ширины и высоты. Прямоугольник – фигура с четырьмя сторонами, которые пересекаются под прямым углом, а две противоположные стороны параллельны и равны. Таким образом, две смежные стороны имеют разную длину (ширина и высота; если ширина равна высоте, то такая фигура – квадрат).

2. 2
   Сложите длины двух смежных сторон и умножьте полученное значение на 2. Если w — ширина и h — высота, периметр прямоугольника: P=2(w+h)

Метод 2 из 6: Квадрат

1. 1
   Найдите длину стороны квадрата (назовем ее х). Квадрат – фигура, у которой все стороны равны и пресекаются под прямым углом.

2. 2
   Если дана площадь (A) квадрата, вы можете найти длину стороны, взяв квадратный корень из площади:

   Если дана диагональ (d) квадрата, Вы можете найти длину стороны, разделив диагональ на квадратный корень из 2: х = d/√2

   х = √ (A).

3. 3
   Умножьте длину стороны на четыре. Поскольку все четыре стороны имеют одинаковую длину, периметр квадрата равен учетверенной длине одной стороны: Р = 4x.

Метод 3 из 6: Круг

1. 1
   Найдите длину радиуса (r). Радиус является расстоянием от центра круга до любой точки на окружности.

   • Если дан диаметр (d) круга, вы можете найти радиус, разделив диаметр на два: г = d/2
   • Если дана площадь (A) круга, вы можете найти радиус, разделив площадь на π, а затем взяв квадратный корень из полученного значения: г = √(A/π)

2. 2
   Найдите периметр, умножив радиус на 2π:

   Так как диаметр — это удвоенный радиус, периметр может быть найден по формуле: P = πd.

   Р = 2πr.

Метод 4 из 6: Прямоугольный треугольник

1. 1
   Найдите длины двух сторон треугольника (а и b), пересекающихся под прямым углом.

2. 2
   Найдите сумму квадратов а и b, а затем извлеките квадратный корень из полученной суммы: √(а^2 + b^2). По теореме Пифагора, а^2 + b^2 = с^2, где с — длина гипотенузы, то есть стороны, лежащей напротив прямого угла.

3. 3
   Теперь, когда у вас есть а, b и с (все три стороны треугольника), просто сложите их для нахождения периметра: P = а+b+с.

Метод 5 из 6: Треугольник

1. 1
   Найдите высоту треугольника (у) и его основание (х) (сторона, к которой проведен перпендикуляр – высота).

2. 2
   Найдите длины отрезков х1 и х2, на которые высота делит основание (то есть х = х1 + х2). Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника (один с катетами х1 и у, другой с катетами х2 и у), и необходимо найти длины гипотенуз этих треугольников с1 и с2.

3. 3
   Найдите с1 и с2. Для этого используйте теорему Пифагора: а^2 + b^2 = с^2, и подставьте x1 вместо a, y вместо b, c1 вместо c. Повторите для х2, у, и с2.

4. 4
   Сложите х, с1 и с2, которые являются тремя сторонами исходного треугольника.

Метод 6 из 6: Правильный многоугольник

1. 1
   Найдите длину одной стороны правильного многоугольника. По определению, правильный многоугольник – это фигура с равными сторонами и углами.

   • Если дана апофема (перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника к одной из его сторон), Вы можете найти длину стороны. Если n – число сторон многоугольника, А – длина апофемы, длина стороны: x=2Atan(180/n).
   • Если дан радиус (расстояние между центром и любой вершиной), вы можете найти длину стороны: x=2rsin(180/n), где r – радиус, n – число сторон многоугольника.

2. 2
   Умножьте длину одной стороны многоугольника на число его сторон. Таким образом, P=nx, где n – число сторон многоугольника, х – длина одной стороны многоугольника.

Понятие многоугольника. Что такое многоугольник

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, представляющая собой замкнутую ломаную линию.

Существуют три варианта определения многоугольников:

• Многоугольник — это плоская замкнутая ломаная линия;
• Многоугольник — это плоская замкнутая ломаная линия без самопересечений;
• Многоугольник — это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом

Многоугольник называют выпуклым, при условии, что одно из следующих условий является верным:

• Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины;
• Выпуклый многоугольник является пересечением нескольких полуплоскостей;
• Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих выпуклому многоугольнику, полностью ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Классификация (виды) многоугольников

Классификация многоугольников по видам может быть по многим свойствам, самые главные из них:

• количество вершин
• выпуклость
• правильность
• возможность вписать или описать окружность

треугольникчетырехугольникквадратлюбого треугольника всегда можно описать окружность

В природе

Дорога гигантов в Северной Ирландии

Многоугольники появляются в горных породах, чаще всего в виде плоских граней кристаллов , где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого сделан кристалл.

Правильные шестиугольники могут возникать, когда при охлаждении лавы образуются области плотно упакованных столбов базальта , которые можно увидеть на Мосту гигантов в Северной Ирландии или на Дьявольской столбе в Калифорнии .

В биологии поверхность восковых сот, созданных пчелами, представляет собой массив шестиугольников , а стороны и основание каждой соты также представляют собой многоугольники.

Варианты определений[ | ]

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник ; в этом случае сама ломаная называетсяконтуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.