Найти поверхность правильной треугольной призмы

Решение простого примера

Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE

Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E2 = C1C2 + CE = 22 + (4 c3) 2. C1E2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

Шаги

Метод 1 из 4: Формула

1
Определение треугольной призмы

Треугольная призма является трехмерной фигурой, состоящей из двух треугольных оснований и трех квадратных или прямоугольных сторон.

При нахождении площади поверхности треугольной призмы нужно сложить вместе площадь трех сторон и двух оснований.
Обратите внимание, что трехмерную фигуру с четырьмя треугольными сторонами и одним квадратным основанием называют пирамидой, а не треугольной призмой.

2
Основная формула. Основная формула для расчета площади поверхности призмы:SA = L + 2*B

SA — «площадь поверхности»

L — «боковая поверхность»

Боковая поверхность — это площадь всех трех прямоугольных сторон (сумма площадей).

B — «площадь основания». Так как оснований два и они одинаковые, необходимо умножить эту площадь на 2.

3
Развернутая формула. Более подробный вариант этой же формулы можно записать в виде:SA = ah + bh + ch + 2*(1/2 * A * b)

А – высота треугольника (лежащего в основании призмы).

b – основание треугольника (сторона треугольника, на которую опущена высота).

h — высота призмы.

a,b и c — стороны треугольника (лежащего в основании призмы). Обратите внимание, что а и А в формуле обозначают две разные величины.
Формула для нахождения боковой поверхности:ah + bh + ch

Формула для нахождения площади поверхности двух треугольных оснований: 2*(1/2 * A * b) = (A*b)

4
Обычно формула для вычисления площади поверхности записывается как:SA = h*(a + b + c) + (A * b)

В выражении ah + bh + ch h выносится за скобки.
Числа 2 и 1/2 в выражении 2*(1/2 * A * b) сокращаются и остается просто A*b.

Метод 2 из 4: Вычисление площади треугольных оснований

1. 1
   Как было показано выше, формула для нахождения площади поверхности двух треугольных оснований: (A*b).

   • А — высота треугольника; b — основание треугольника.
   • Пример:
     • А= 2 см
     • b = 4 см

2. 2
   Перемножьте высоту и основание треугольника.

   Пример: A*b = 2*4 = 8 см2

3. 3
   Поймите, почему эта формула не совпадает со стандартной формулой для вычисления площади треугольника. Потому что эта формула для нахождения площади двух треугольников.

   • При нахождении площади треугольника используется формула: 1/2 * A * b
   • Однако, в нашем случае необходимо сложить площади двух треугольных оснований призмы.

Метод 3 из 4: Вычисление боковой поверхности

1. 1
   Как было показано выше, формула для нахождения боковой поверхности записывается в виде:h*(a + b + c)

   • h — высота призмы (длинная сторона прямоугольника).
   • a,b и c — стороны треугольника (лежащего в основании призмы).
   • Пример:
     • h = 7 см
     • b = 4 см
     • a= 6 см
     • с = 5 см

2. 2
   Сложите значения трех сторон треугольника.

   Пример: a + b + c = 6 + 4 + 5 = 15 см

3. 3
   Умножьте это значение на высоту призмы.

   • В результате этого получим боковую поверхность призмы.
   • Пример: h*(a + b + c) = 7 * (6 + 4 + 5) = 7 * 15 = 105 см2

4. 4
   Таким образом, боковая поверхность есть сумма площадей трех боковых сторон треугольной призмы.

   • Стандартная формула для вычисления площади прямоугольника: длина, умноженная на ширину.
   • Здесь каждый прямоугольник имеет общую длину. В формуле для вычисления боковой поверхности призмы длина прямоугольника превращается в высоту призмы, т.е. h.
   • Каждый прямоугольник в треугольной призме имеет ширину, равную одной соответствующей стороне треугольника, а, b или с. Таким образом, здесь сторона треугольника заменяет ширину прямоугольника.

Метод 4 из 4: Складываем вместе

1. 1
   Запомните, что площадь поверхности треугольной призмы является суммой площадей двух треугольных оснований и боковой поверхности призмы:SA = L + 2*B

   Подробная формула: SA = h*(a + b + c) + (A * b)

   .

2. 2
   Теперь сложите найденные значения для боковой поверхности и площади оснований.

   • Пример: SA = L + 2*B = 105 + 8
   • Пример: SA = h*(a + b + c) + (A * b) = 7 * (6 + 4 + 5) + 2 * 4 = 7 * 15 + 2 * 4 = 105 + 8

3. 3
   Таким образом, вы успешно нашли площадь поверхности треугольной призмы.

   Пример: SA = L + 2*B = 105 + 8 = 113 см2

Характеристики трапециевидной призмы

Чтобы увидеть характеристики трапециевидной призмы, вы должны сначала узнать, как она нарисована, затем, каким свойствам соответствует основание, какова площадь поверхности и, наконец, как рассчитывается ее объем..

1- Рисование трапециевидной призмы

Чтобы нарисовать его, нужно сначала определить, что такое трапеция.

Трапеция представляет собой неправильный многоугольник с четырьмя сторонами (четырехугольник), так что у него есть только две параллельные стороны, называемые основаниями, а расстояние между его основаниями называется высотой.

Чтобы нарисовать прямую трапециевидную призму, начните с рисования трапеции. Затем вертикальная линия длиной «h» проецируется из каждой вершины и, наконец, рисуется другая трапеция, так что ее вершины совпадают с концами ранее нарисованных линий..

Вы также можете иметь наклонную трапециевидную призму, конструкция которой аналогична предыдущей, вам просто нужно нарисовать четыре линии, параллельные друг другу..

2- Свойства трапеции

Как было сказано ранее, форма призмы зависит от многоугольника. В частном случае трапеции мы можем найти три различных типа основ:

-Трапециевидный прямоугольник: является ли эта трапеция такой, что одна из ее сторон перпендикулярна ее параллельным сторонам или что она просто имеет прямой угол.

-Равнобедренная трапеция: трапеция такая, что ее непараллельные стороны имеют одинаковую длину.

Шкала трапеции: это та трапеция, которая не равнобедренная или прямоугольная; его четыре стороны имеют разную длину.

Как вы можете видеть в соответствии с типом трапеции, будет получена другая призма.

3- Площадь поверхности

Чтобы вычислить площадь поверхности трапециевидной призмы, нам нужно знать площадь трапеции и площадь каждого параллелограмма..

Как вы можете видеть на предыдущем изображении, область включает в себя две трапеции и четыре разных параллелограмма..

Площадь трапеции определяется как T = (b1 + b2) xa / 2, а площади параллелограммов: P1 = hxb1, P2 = hxb2, P3 = hxd1 и P4 = hxd2, где «b1» и «b2» основания трапеции, «d1» и «d2» непараллельные стороны, «a» — высота трапеции, а «h» — высота призмы..

Следовательно, площадь поверхности трапециевидной призмы A = 2T + P1 + P2 + P3 + P4.

4- Том

Поскольку объем призмы определяется как V = (площадь многоугольника) x (высота), можно сделать вывод, что объем трапециевидной призмы равен V = Txh..

5- Приложения

Одним из наиболее распространенных объектов, имеющих форму трапециевидной призмы, является золотой слиток или пандусы, используемые в гонках на мотоциклах..

ссылки

1. Clemens, S.R., O’Daffer, P.G. & Cooney, T.J. (1998). геометрия. Пирсон Образование.
2. Гарсия, W.F. (s.f.). Спираль 9. Редакция Норма.
3. Ицкович, Х. (2002). Изучение фигур и геометрических тел: занятия для первых лет обучения. Новые книги.
4. Ландаверде, Ф. д. (1997). геометрия (перепечатка ред.). Редакция Прогресо.
5. Ландаверде, Ф. д. (1997). геометрия (Переиздание ред.). прогресс.
6. Шмидт Р. (1993). Начертательная геометрия со стереоскопическими фигурами. Реверте.
7. Урибе Л., Гарсиа Г., Легуизамон С., Сампер С. и Серрано С. (s.f.). Альфа 8. Редакция Норма.

Усеченная пирамида

   Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

   Пусть дана пирамида ABCDES. ABCDE — основание пирамиды, пятиугольник. S — вершина пирамиды. α — секущая плоскость. Подвергнем пирамиду преобразованию подобия (гомотетии) с коэффициентом подобия k относительно вершины S.

   Так как при преобразовании подобия расстояние от вершины до точек фигуры изменяется в одно и тоже k число раз, то пятиугольник в основании переходит в плоскость α, параллельную основанию, т.е. секущую плоскость.
Точки A’B’C’D’E’ — точки пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью α. И пирамида, которая образуется путем отсечения данной пирамиды плоскостью α, является подобной данной.

Задача высокого уровня

Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.

Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.

В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.

Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.

Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R2 = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.

Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a2 * sin60 / 2 = (R2 * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Треугольная призма

Эта фигура относится к классу призм, поэтому она, как любой представитель этого класса, состоит из двух одинаковых и параллельных оснований и параллелограммов. Основаниями являются треугольники произвольного типа (равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и другие), боковые же стороны могут быть произвольными параллелограммами, ромбами, квадратами и прямоугольниками. Число боковых сторон равно трем. Рисунок ниже демонстрирует, о какой фигуре пойдет речь.

На этом рисунке мы видим геометрическую фигуру, которая состоит из пяти сторон, девяти ребер и шести вершин. Стороны мы уже охарактеризовали. Что касается ребер, то любое из них можно отнести к одному из двух типов: либо ребро принадлежит одному из оснований (в этом случае оно является стороной треугольного основания), либо оно образовано пересечением боковых граней (боковое ребро). Важным свойством призмы является равенство всех ее боковых ребер.

Все треугольные призмы классифицируются по двум признакам:

• прямые и наклонные;
• правильные и неправильные.

Прямая призма обладает прямоугольными боковыми сторонами. Если ее основания будут равносторонними треугольниками, тогда она будет правильной. Далее мы приведем формулы объема призмы треугольной прямой, правильной фигуры, призмы с прямоугольным треугольником и фигуры наклонной.

Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

Определение призмы

Призма — это объемный многогранник, две грани которого представляют собой равные (одинаковые) многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани представляют собой параллелограммы, противолежащие грани у которых являются общими с соответствующими сторонами параллельных многоугольников.

Ниже, на рисунке изображены треугольная, четырехугольная и наклонная четырехугольная призма. Обычно (но не обязательно) для упрощения понимания взаимного расположения оснований и их сторон, обозначения нижнего основания начинают латинскими буквами А, B, C и так далее, а соответствующие стороны верхнего основания обозначают теми же буквами с добавлением единицы — А1, B1, C1 и так далее.

Другие определения призмы:

Призма — многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, соответствующие боковые грани которого представляют собой параллелограммы.

Другие определения:

Равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы.

Грани призмы, соединяющие ее основания призмы (ABCD и A1B1C1D1), называются боковыми гранями. 

Площадь (объединение, совокупность) всех боковых граней призмы называется боковой поверхностью.

Общие грани параллелограммов, соединяющие основания призмы, называются боковыми ребрами. (AA1 BB1 CC1 и т.д.)

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям, является (называется) высотой призмы.

Отрезок проведенный между двумя вершинами многогранника, представляющего собой призму, так, чтобы он не принадлежал ни одной плоскости призмы (основаниям или боковым граням) называется диагональю призмы. (АС1)

Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания (не путать с диагональю призмы!) называется диагональной плоскостью. (AA1C1C)

Виды фигуры

Пирамида – геометрическая фигура, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

• правильная;
• усечённая.

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два – большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Объем призмы

Формула нахождения объема призмы выглядит следующим образом:

V = Sh, где

V — объем призмы
S — площадь основания призмы
 h — высота призмы

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Площадь боковой поверхности произвольной призмы S=P х l, где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

Площадь боковой поверхности прямой призмы S=P х h, где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

Содержание главы:

Объем призмы

Площадь боковой поверхности призмы

Прямая призма

Правильная четырехугольная призма

Диагональное сечение правильной призмы

Параллепипед

Площадь поверхности и объем параллелепипеда

Призма с треугольником в основании

Призма с правильным треугольником в основании

Призма с правильным треугольником в основании (часть 2)

Призма с треугольником в основании ( часть 2)

Призма с треугольником в основании ( часть 3)

Параллелограмм в основании призмы

Ромб в основании призмы

Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольникаОписание курса Объем призмы   

Построение пирамиды и ее плоских сечений

    Для того чтобы построить пирамиду, необходимо сначала построить основание — плоский многоугольник. Затем взять точку, не лежащую в плоскости основания, и соединить ее боковыми ребрами с вершинами основания.

    Сечения пирамиды, проходящие через ее вершину, представляют собой треугольники. Например, треугольниками являются диагональные сечения, т.е. сечения, проходящие через два несоседних боковых ребра .

    Сечение пирамиды с боковым следом строится аналогично, как и сечение призмы (Рис.5). Т.е. сначала задается прямая в плоскости основания — след g. Затем берется какая-нибудь точка В, принадлежащая сечению, и строится пересечение следа g секущей плоскости c плоскостью этой грани — точка D. Полученный таким образом отрезок АС, представляет собой линию пересечения плоскости грани и плоскости сечения пирамиды.

    Если точка В лежит на грани, параллельной следу g (Рис.5.1), то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку BC, параллельному следу g. Концы отрезка также соединяют со следом по прямой ED в плоскости α другой грани и получают прямую пересечения этой грани с плоскостью сечения и т.д. Таким образом можно построить линии пересечения плоскости сечения со всеми гранями пирамиды.